16.7 二次根式  全章復習與鞏固（知識講解）【學習目標】1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運算.3、了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、二次根式相關(guān)概念1．二次根式：一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)． 2．n次根式：形如的代數(shù)式叫做n次根式，其中若n為偶數(shù)，則必須滿足．3．最簡二次根式：滿足以下兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：①一般地，被開方數(shù)不含分母，即被開方數(shù)是整數(shù)或整式；②被開方數(shù)中不含有能開方的因數(shù)或因式．4．兩個重要性質(zhì)：；5．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式之后，如果被開方數(shù)相同，則這幾個根式叫做同類二次根式． 要點二、二次根式的四則運算1．乘除法：；．2．加減法：，．3．混合運算：遵循有理式中的運算順序，運算律和乘法公式等仍然適用．4．乘法公式的推廣：①；②； ③．5．二次根式的分母有理化定義：在二次根式中，將無理數(shù)的分母化為有理數(shù)的過程．方法：分子分母同時乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母變?yōu)橛欣頂?shù)的因式）．6．（1）單項根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：．（2）兩項根式的分母有理化，同乘以使分母構(gòu)成平方差公式的因式．例：．【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì) 1．當是怎樣的實數(shù)時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】二次根式有意義的條件是，據(jù)此解題．【詳解】二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是故選：A．【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.舉一反三【變式1】若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)即可得出的取值范圍．【詳解】∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x＋1≥0∴x≥﹣1故選：B【變式2】若有意義，則a能取的最小整數(shù)為（     ）A．0 B．1 C．－ D．－4【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出不等式求解，即可判斷．【詳解】依題意可得4a+1≥0解得a≥-∴a能取的最小整數(shù)為0故選A．2．已知的算術(shù)平方根是8，且,則的平方根是_______.【答案】±5【解析】根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義可得方程=0,從而求得x,y的值，代入可得答案．解：根據(jù)二次根式的意義，=0，則a=0由題意，得
，
解得x=9，y=1．
∴3x-2y=25，
∴3x-2y的平方根是±=±5．故答案為±5.【總結(jié)升華】利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式，即=，同時聯(lián)系絕對值的意義正確解答.舉一反三
【變式】已知﹣=2，則+的值為_____________．【答案】5.解：∵﹣=2，∴=+2，兩邊平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4，∴2=3，兩邊平方得4（15﹣x2）=9，化簡，得x2=，∴+=+=5．故答案為：5． 3.二次根式 中最簡二次根式是______．【答案】、、解：第一個根式不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)的因式不是整數(shù)，第二個根式不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)含有開的盡方的因數(shù)，第三個根式為最簡二次根式，第四個根式為最簡二次根式，第五個根式不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)含有開的盡方的因數(shù)和因式，第六個根式為最簡二次根式，故答案為【總結(jié)升華】本題考查了最簡二次根式的定義.最簡二次根式要滿足：（1）被開方數(shù)是整數(shù)或是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開方的因式或因數(shù).類型二、二次根式的運算4．計算：（1）      （2）（1）解：原式=，=，=；（2）解：原式=-（3-2+2）-，=2+3-3+2-2-，=；【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的計算法則是關(guān)鍵，要注意：①二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式；②與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；③靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑．舉一反三【變式】解答題（1）計算：.（2）已知，求代數(shù)的值.解：（1）原式，．（2）將代入代數(shù)式中有：．【總結(jié)升華】本題的求解用到了積的乘方的性質(zhì)，乘法運算律，平方差公式及根式的性質(zhì)，是一道綜合運算題型. 5．先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)、使，，這樣，，那么便有．例如：化簡．解：首先把化為，這里，；由于，，即，，．由上述例題的方法化簡：（1）．（2）．（3）．【分析】先把各題中的無理式變成 的形式，再根據(jù)范例分別求出各題中的a、b，即可求解．解：（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】本題考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡．二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡是符合完全平方公式的特點的式子．

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