專題5.11  《分式與分式方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件. 2．了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則． 3．掌握分式的四則運(yùn)算．4．結(jié)合分式的運(yùn)算，將指數(shù)的討論范圍從正整數(shù)擴(kuò)大到全體整數(shù)，構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的    知識體系．5．結(jié)合分析和解決實(shí)際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會解方程中的化歸思想．【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特別說明：分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)B≠0時(shí)，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)
　　（M為不等于0的整式）.
3．最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡.要點(diǎn)二、分式的運(yùn)算1．約分　利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．　　3．基本運(yùn)算法則　 分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:（1）加減運(yùn)算   ；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. ；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減. （2）乘法運(yùn)算   ，其中是整式，.兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算  ，其中是整式，.兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算               分式的乘方，把分子、分母分別乘方.
4.分式的混合運(yùn)算順序　先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.要點(diǎn)三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程． 3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根－－－增根.要點(diǎn)詮釋：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.要點(diǎn)四、分式方程的應(yīng)用
　　列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.【典型例題】類型一、分式及其基本性質(zhì) 1、（2020·山東濟(jì)南市·濟(jì)南十四中八年級期中）關(guān)于x的方程：①－＝6；②＝；③＋1＝x；④＝；⑤－＝4；⑥＝－x.分式方程有____________(填序號)．【答案】②④⑤【詳解】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程，知：分式方程有：②＝；④＝；⑤－＝4.故答案為②④⑤.2（2018·全國八年級單元測試）當(dāng)______，分式的值為零．【答案】-1【分析】讓分子為0，分母不為0列式求解即可．解：由題意得：，解得：，∴x＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)撥】本題考查了分式值為0的條件．用到的知識點(diǎn)為：分式的值為零，則分子為0，同時(shí)要考慮分母不為0這個(gè)條件．舉一反三：【變式】（2019·福建漳州市·八年級期中）當(dāng)x____時(shí)，分式有意義；當(dāng)x＝____時(shí)，分式的值等于零．【答案】≠3,    9    解：分式有意義, 即 分式的值等于零， 解得： 故答案為點(diǎn)撥：分式有意義:分母不為零.分式值為零：分子為零，分母不為零.類型二、分式運(yùn)算 3、（2016·山西九年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x是從-1、0、1、2中選取一個(gè)合適的數(shù)．【答案】.【分析】先把分子分母因式分解，約分后進(jìn)行通分化為同分母，再進(jìn)行同分母的加法運(yùn)算，然后再約分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入計(jì)算即可．解：,====，當(dāng)x=0時(shí)，原式=.舉一反三：【變式】（2019·全國八年級單元測試）先化簡:，再選取一個(gè)合適的x值代入求值.【答案】原式=；當(dāng)時(shí)，原式=4. 【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算先化簡，再帶入求值，即原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，選值時(shí)，必須滿足分式有意義. 解：原式= × = ；當(dāng)時(shí)，原式=4.（x不能取1，2）【點(diǎn)撥】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．類型三、分式方程的解法4、 （2018·全國八年單元測試）解下列分式方程：(1) ；       (2)＋1＝.【答案】(1) x＝1;(2) x＝1.【解析】按照解分式方程的步驟解方程即可.試題解析：(1)解：去分母，得 去括號，得 移項(xiàng)，得 解得 檢驗(yàn)：時(shí)， ∴原分式方程的解為(2)解：方程兩邊同乘 ，得 解得檢驗(yàn)：時(shí)， ∴是原分式方程的解．點(diǎn)撥：解分式方程的一般步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把系數(shù)化為1，檢驗(yàn).舉一反三：【變式】 （2019·全國八年級單元測試）解下列分式方程：(1)＝；                   (2) －＝1.【答案】（1）x＝4；（2）x＝－3.【分析】解分式方程，首先要去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，再解整式方程，注意驗(yàn)根. 解：(1)去分母得3x＝4x－4，解得x＝4.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原分式方程的解．(2)去分母得x(x－1)－4＝x2－1，去括號得x2－x－4＝x2－1，解得x＝－3.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－3是原分式方程的解．【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.類型四、分式方程的應(yīng)用5、 （2016·山西九年級專題練習(xí)）某超市用3000元購進(jìn)某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥9000元資金購進(jìn)該種干果，但這次的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)提高了20%，購進(jìn)干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，如果超市按每千克9元的價(jià)格出售，當(dāng)大部分干果售出后，余下的600千克按售價(jià)的8折售完．（1）該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克多少元？（2）超市銷售這種干果共盈利多少元？【答案】（1）該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克5元.（2）超市銷售這種干果共盈利5820元．【詳解】試題分析：（1）、設(shè)第一次進(jìn)價(jià)x元，第二次進(jìn)價(jià)為1.2x，根據(jù)題意列出分式方程進(jìn)行求解；（2）、根據(jù)利潤=銷售額－進(jìn)價(jià).解：（1）、設(shè)該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克x元，則第二次進(jìn)價(jià)是每千克（1+20%）x元，由題意，得=2×+300，解得x=5， 經(jīng)檢驗(yàn)x=5是方程的解． 答：該種干果的第一次進(jìn)價(jià)是每千克5元； （2）、[﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000=5820（元）． 答：超市銷售這種干果共盈利5820元． 舉一反三：【變式】（2020·遼寧阜新市·八年級期末）進(jìn)入防汛期后，某地對河堤進(jìn)行了加固．該地駐軍在河堤加固的工程中出色完成了任務(wù)．這是記者與駐軍工程指揮官的一段對話:通過這段對話，請你求出該地駐軍原來每天加固的米數(shù)．【答案】300米  解：設(shè)原來每天加固x米，根據(jù)題意，得 ． 去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，（或分母不等于0）．∴是原方程的解． 答：該地駐軍原來每天加固300米．

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