考點(diǎn)06一元二次方程考點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程及其解法           關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1. 一元二次方程的相關(guān)概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a、b、c分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．例：方程是關(guān)于x的一元二次方程，則方程的根為－1.2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開(kāi)平方求解.( 2 )因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.(4)配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法．解一元二次方程時(shí)，注意觀察， 先特殊后一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時(shí)，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知識(shí)點(diǎn)二 ：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系3.根的判別式 (1)當(dāng)Δ＝>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)Δ＝=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(3)當(dāng)Δ＝<0時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程的判別式等于－8，故該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.*4.根與系數(shù)的關(guān)系（1）基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的常見(jiàn)變形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分點(diǎn)警示在運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解題時(shí)，注意前提條件時(shí)△=b2-4ac≥0.知識(shí)點(diǎn)三 ：一元二次方程的應(yīng)用4.列一元二次方程解應(yīng)用題（1）解題步驟：①審題；② 設(shè)未知數(shù)；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答．運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問(wèn)題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；③傳播、比賽問(wèn)題： ④面積問(wèn)題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過(guò)割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.  真題演練 一、單選題1．（2021·山東濱州·中考真題）下列一元二次方程中，無(wú)實(shí)數(shù)根的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中的Δ的值，然后根據(jù)Δ＞0有兩個(gè)不等式的實(shí)數(shù)根，Δ=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，Δ＜0無(wú)實(shí)數(shù)根判斷即可．【詳解】解：在x2-2x-3=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A不符合題意；在x2+3x+2=0中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即該方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B不符合題意；在x2-2x+1=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)C不符合題意；在x2+2x+3=0中，Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．（2021·山東濰坊·中考真題）若菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度是方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該菱形的邊長(zhǎng)為（  ）A． B．4 C．25 D．5【答案】A【分析】先求出方程的解，即可得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出和 ，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：解方程，得，即，∵四邊形是菱形，∴，由勾股定理得，即菱形的邊長(zhǎng)為，
 故選：．3．（2021·山東菏澤·中考真題）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（    ）A．且 B．且 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式來(lái)求的取值范圍即可．【詳解】解：當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，∵關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，∴，且 ，解得，且，當(dāng)方程為一元一次方程時(shí)，k=1，方程有實(shí)根綜上，故選：D．4．（2021·山東棗莊·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線垂直于軸于點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），并分別與直線和雙曲線相交于點(diǎn)，，且，則的面積為（    ）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而可得，，再根據(jù)可得一個(gè)關(guān)于的方程，解方程求出的值，從而可得的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或均為所列方程的根，（1）當(dāng)時(shí)，，則的面積為；（2）當(dāng)時(shí)，，則的面積為；綜上，的面積為或，故選：B．5．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（    ）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：∵m是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵m、n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選：B．6．（2021·山東聊城·中考真題）關(guān)于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一個(gè)解是﹣2，則k值為（    ）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；【詳解】解：將x=-2代入原方程得到：，解關(guān)于k的一元二次方程得：k=0或4，故選：B．7．（2021·山東臨沂·中考真題）方程的根是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：∵，∴，∴，∴x+7=0，x-8=0，∴x1=-7，x2=8．故選：C．8．（2021·山東·鄒城市看莊中學(xué)一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（    ）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1且k≠0．
∴k的取值范圍為k＞-1且k≠0．故選：B．9．（2021·山東·日照港中學(xué)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則二次項(xiàng)系數(shù)a的取值范圍是（　?。?/span>A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0【答案】D【分析】由關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得判別式△＞0且二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，繼而可求得a的范圍．【詳解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，解得：a＞﹣1且a≠0，故選：D．10．（2021·山東周村·一模）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（，兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作，交邊于點(diǎn)．若，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，則的值為（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】先利用三角形相似的判定定理證明三角形相似，再根據(jù)相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系，最后把滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)是，轉(zhuǎn)化成方程的根只有一個(gè)，利用根的判別式求解．【詳解】解：等邊三角形，，,，，，又，，，若令，則有：，由題意只有一個(gè)解，，解得：，故選：D． 二、填空題11．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是__________．【答案】-3【分析】由題意可把x=2代入一元二次方程進(jìn)行求解a的值，然后再進(jìn)行求解方程的另一個(gè)根．【詳解】解：由題意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程為，解方程得：，∴方程的另一個(gè)根為-3；故答案為-3．12．（2021·山東棗莊·中考真題）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是4，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為______．【答案】8或9【分析】分4為等腰三角形的腰長(zhǎng)和4為等腰三角形的底邊長(zhǎng)兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)4為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，則4是關(guān)于的方程的一個(gè)根，因此有，解得，則方程為，解得另一個(gè)根為，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（2）當(dāng)4為等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此，根的判別式，解得，則方程為，解得方程的根為，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；綜上，的值為8或9，故答案為：8或9．13．（2021·山東乳山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，…均在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為____________．【答案】20【分析】根據(jù)點(diǎn)C1的坐標(biāo)，確定y1，由點(diǎn)C1是等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，可以得到OA1的長(zhǎng)，然后再設(shè)未知數(shù)，表示點(diǎn)C2的坐標(biāo)，確定y2，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，建立方程解出未知數(shù)，表示點(diǎn)C3的坐標(biāo)，確定y3，，y100，然后再求和，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C1、C2、C3 分別作x軸的垂線，垂足分別為D1、D2、D3，則∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，∵，，，…是分別以，，，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，∴∠OC1D1=∠C1OD1=45°，∴OD1=C1D1，∴x1=y1，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴x1y1=4，解得：x1=2，y1=2，即OD1=C1D1=2，∴OA1=2OD1=4，設(shè)A1D2=a，則C2D2=a，此時(shí)C2（4+a，a），代入，得：a(4+a)=4，解得： 或（舍去），即，同理， ，， ，∴．故答案為： ．14．（2021·山東乳山·模擬預(yù)測(cè)）若方程的兩個(gè)根是，，則的值為________．【答案】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 ， ，然后利用完全平方公式的變形可求出，即可求解．【詳解】解：∵方程的兩個(gè)根是，，∴ ， ，∵，∴ ，∴ ，∴ ，∵，∴∴．故答案為：．15．（2021·山東省諸城市樹(shù)一中學(xué)三模）商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品的銷(xiāo)售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷(xiāo)售限價(jià)，最高銷(xiāo)售限價(jià)以及實(shí)數(shù)確定實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格，這里的被稱(chēng)為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)恰好使得，據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)的值等于__________．【答案】【分析】由得到：，再根據(jù)，可得，再列方程，解方程可得答案；【詳解】解：由得到：，即：，，，，，解得：，，，不合題意，，故答案為：． 三、解答題16．（2021·山東日照·中考真題）某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價(jià)35元，原計(jì)劃以每桶55元的價(jià)格銷(xiāo)售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價(jià)銷(xiāo)售．已知這種消毒液銷(xiāo)售量（桶）與每桶降價(jià)（元）（）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動(dòng)中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)多少元？【答案】（1）y=10x+100；（2）這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)43元【分析】（1）設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)、代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）根據(jù)利潤(rùn)等于每桶的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量得關(guān)于的一元二次方程，通過(guò)解方程即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)與銷(xiāo)售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為：，將點(diǎn)、代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）由題意得：，整理，得．解得，（舍去）．所以．答：這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)43元．17．（2021·山東濱州·中考真題）某商品原來(lái)每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同．（1）求該商品每次降價(jià)的百分率；（2）若該商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，計(jì)劃通過(guò)以上兩次降價(jià)的方式，將庫(kù)存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價(jià)銷(xiāo)售的總利潤(rùn)不少于200元，那么第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)？【答案】（1）10%；（2）6件【分析】（1）根據(jù)某商品原來(lái)每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同，可設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，從而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的不等式，然后即可求得第一次降價(jià)出售的件數(shù)的取值范圍，再根據(jù)件數(shù)為整數(shù)，即可得到第一次降價(jià)至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)．【詳解】解：（1）設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：該商品每次降價(jià)的百分率是10%；（2）設(shè)第一次降價(jià)售出a件，則第二次降價(jià)售出（20-a）件，由題意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥，∵a為整數(shù)，∴a的最小值是6，答：第一次降價(jià)至少售出6件后，方可進(jìn)行第二次降價(jià)．18．（2021·山東濰坊·中考真題）（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x，y）是函數(shù)y＝2x與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）9；（2）y-x，1或-1．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）首先根據(jù)圖象交點(diǎn)的求法得到x與y的值，再對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把x與y的值代入化簡(jiǎn)后的算式可得解．【詳解】解：（1）原式=1+9+（1-×18）=1+9-1=9；（2）由已知可得：，解之可得：或，∵原式===y-x，∴當(dāng)時(shí)，原式=2-1=1；當(dāng)時(shí)，原式=-2-（-1）=-1；∴原式的值為1或-1．

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