考點(diǎn)04二次根式考點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)一：二次根式             關(guān)鍵點(diǎn)撥及對應(yīng)舉例1.有關(guān)概念（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.（3）最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式失分點(diǎn)警示：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時，注意確保各部分都有意義，即分母不為0，被開方數(shù)大于等于0等.例：若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x＞1.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a≥0；②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即≥0. 注意：初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負(fù)性解題：（1）值非負(fù):當(dāng)多個非負(fù)數(shù)的和為0時，可得各個非負(fù)數(shù)均為0.如+=0，則a=-1，b=1. （2）被開方數(shù)非負(fù):當(dāng)互為相反數(shù)的兩個數(shù)同時出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時，可得這一對相反數(shù)的數(shù)均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.(2)兩個重要性質(zhì)：①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0，b≥0)；(4)商的算術(shù)平方根： (a≥0，b＞0)．例：計(jì)算：＝3.14；＝2；=；=2 ；知識點(diǎn)二  ：二次根式的運(yùn)算3.二次根式的加減法先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式．例：計(jì)算：＝.4.二次根式的乘除法（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；（2）除法：  = (a≥0，b＞0)．注意：將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.例：計(jì)算：＝1；4.5.二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．運(yùn)算時，注意觀察，有時運(yùn)用乘法公式會使運(yùn)算簡便.例：計(jì)算：(+1)( -1)= 1 .  真題演練 一、單選題1．（2021·山東濰坊·中考真題）下列運(yùn)算正確的是       ．A．  B． C．   D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式、負(fù)數(shù)指數(shù)冪、分式的化簡、根式的化簡分別計(jì)算解答即可．【詳解】解：A、，選項(xiàng)運(yùn)算正確；B、，選項(xiàng)運(yùn)算錯誤；C、是最簡分式，選項(xiàng)運(yùn)算錯誤；D、，選項(xiàng)運(yùn)算錯誤；故選：A．2．（2021·山東東營·中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、完全平方公式、積的乘方的運(yùn)算法則、二次根式的運(yùn)算法則依次計(jì)算各項(xiàng)后即可解答．【詳解】選項(xiàng)A，和不是同類項(xiàng)，不能夠合并，選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B，根據(jù)完全平方公式可得，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則可得，選項(xiàng)C錯誤；選項(xiàng)D，與不能夠合并，選項(xiàng)D錯誤．故選B．3．（2021·山東臨沂·中考真題）如圖，點(diǎn)，都在格點(diǎn)上，若，則的長為（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB，再減去BC可得AC的長．【詳解】解：由圖可知：AB==，∵BC=，∴AC=AB-BC==，故選B．4．（2020·山東日照·中考真題）下列各式中，運(yùn)算正確的是（　?。?/span>A．x3+x3＝x6 B．x2?x3＝x5C．（x+3）2＝x2+9 D．﹣＝【答案】B【分析】由題意根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相加；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；以及二次根式的減法運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、x3+x3＝2x3，故選項(xiàng)A不符合題意；B、x2?x3＝x5計(jì)算正確，故選項(xiàng)B符合題意；C、（x+3）2＝x2+6x+9，故選項(xiàng)C不符合題意；D、二次根式與不是同類二次根式故不能合并，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．5．（2020·山東菏澤·中考真題）函數(shù)的自變量的取值范圍是（    ）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】由分式與二次根式有意義的條件得函數(shù)自變量的取值范圍．【詳解】解：由題意得：解得：且 故選D．6．（2020·山東聊城·中考真題）計(jì)算的結(jié)果正確的是（    ）．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：A．7．（2020·山東濟(jì)寧·中考真題）下列各式是最簡二次根式的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可求出答案．【詳解】解：A、是最簡二次根式，故選項(xiàng)正確；B、=，不是最簡二次根式，故選項(xiàng)錯誤；C、，不是最簡二次根式，故選項(xiàng)錯誤；D、，不是最簡二次根式，故選項(xiàng)錯誤；故選A.8．（2021·山東蘭陵·一模）實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸確定a的取值范圍，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，a＜0＜b，
∴a-b＜0∴；故選：A9．（2021·山東濱城·模擬預(yù)測）式子有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件，判斷實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】有意義解得：且故選C10．（2021·山東諸城·二模）下列計(jì)算正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的化簡，二次根式的加減運(yùn)算，負(fù)指數(shù)冪逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A. ，符合題意；B. ，不符合題意；C. ，不符合題意；D.，不符合題意．故選A． 二、填空題11．（2021·山東青島·中考真題）計(jì)算：__________．【答案】5【分析】先運(yùn)用乘法分配律展開，再利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可，【詳解】解：，12．（2021·山東聊城·中考真題）計(jì)算：＝_______．【答案】4【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，先算乘法，再算加減法，即可．【詳解】解：原式====4．故答案是：4．13．（2021·山東煙臺·中考真題）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍為__________．【答案】x≤2【分析】二次根式的被開方數(shù)大于等于零，據(jù)此解答．【詳解】解：依題意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故答案為：x≤2．14．（2021·山東日照·中考真題）若式子有意義，則x的取值范圍是___．【答案】且【詳解】∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0.故答案為x≥-1且x≠0.15．（2021·山東威海·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是____________________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．【詳解】解：原式，故答案為：． 三、解答題16．（2021·山東淄博·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，2【分析】先對分式進(jìn)行化簡，然后再代入進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．【詳解】解：原式=，把代入得：原式=．17．（2021·山東菏澤·中考真題）計(jì)算：．【答案】0【分析】根據(jù)零指數(shù)冪,絕對值的化簡,負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,特殊角的函數(shù)值計(jì)算即可【詳解】=1+3=0.18．（2021·山東臨沂·中考真題）計(jì)算．【答案】【分析】化簡絕對值，同時利用平方差公式計(jì)算，最后合并．【詳解】解：===

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