考點(diǎn)05一次方程（組）考點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：方程及其相關(guān)概念            關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.等式的基本性質(zhì)(1)性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c .(2)性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．(3)性質(zhì)3：（對(duì)稱性）若a=b,則b=a.(4)性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.失分點(diǎn)警示：在等式的兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)必須不為0.例：判斷正誤.(1)若a=b,則a/c=b/c.   (×)(2)若a/c=b/c，則a=b.  (√)2.關(guān)于方程     的基本概念(1)一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程．(2)二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程．(3)二元一次方程組：含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程．(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解．在運(yùn)用一元一次方程的定義解題時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)不等于0.例：若(a-2)是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為0.知識(shí)點(diǎn)二  ：解一元一次方程和二元一次方程組3.解一元一次方程的步驟(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；(2)去括號(hào)：括號(hào)外若為負(fù)號(hào)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào)；(3)移項(xiàng)：移項(xiàng)要變號(hào)；(4)合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=-b(a≠0)；(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.失分點(diǎn)警示：方程去分母時(shí)，應(yīng)該將分子用括號(hào)括起來(lái)，然后再去括號(hào)，防止出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤.4.二元一次  方程組的解法思路：消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.已知方程組，求相關(guān)代數(shù)式的值時(shí)，需注意觀察，有時(shí)不需解出方程組，利用整體思想解決解方程組.  例： 已知則x-y的值為x-y=4.方法：(1)代入消元法:從一個(gè)方程中求出某一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式，再把“它”代入另一個(gè)方程，進(jìn)行求解；(2) 加減消元法：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)的方法.知識(shí)點(diǎn)三 ：一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用5.列方程(組) 解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程（組）；(4)解方程(組)；(5)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否正確或是否滿足符合題意；(6)作答：規(guī)范作答，注意單位名稱．（1）設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般求什么設(shè)什么，但有時(shí)為了方便，也可間接設(shè)未知數(shù).如題目中涉及到比值，可以設(shè)每一份為x.（2）列方程（組）時(shí)，注意抓住題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，如共是、等于、大（多）多少、?。ㄉ伲┒嗌佟妆?、幾分之幾等.6.常見(jiàn)題型及關(guān)系式（1）利潤(rùn)問(wèn)題：售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣，銷(xiāo)售額=售價(jià)×銷(xiāo)量，利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%.（2）利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)，本息和=本金+利息.（3）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間.（4）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間.   ①相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；   ②追及問(wèn)題：a.同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.  真題演練 一、單選題1．（2021·山東聊城·中考真題）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x＋a＝2解的取值范圍為（    ）A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5【答案】A【分析】先求出方程的解，再根據(jù)﹣3＜a≤3的范圍，即可求解．【詳解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，故選A．2．（2021·山東淄川·一模）若點(diǎn)與點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則的值為（    ）A． B． C．1 D．－1【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，列出方程組求得m、n的值后，再利用函數(shù)解析式即可求得k的值．【詳解】解：∵點(diǎn)A(1，m)與點(diǎn) B(m?n，n) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴．解得，．∴．∵點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，∴．故選：B3．（2021·山東長(zhǎng)清·一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就．其中記載：今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙購(gòu)物，每人出8錢(qián)，會(huì)多3錢(qián)；每人出7錢(qián)，又會(huì)差4錢(qián)，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢(qián)，以下列出的方程組正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢(qián)，根據(jù)題意得到相等關(guān)系：①8×人數(shù)-物品價(jià)值=3，②物品價(jià)值-7×人數(shù)=4，據(jù)此可列方程組．【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為人，物價(jià)為錢(qián)，根據(jù)題意，可列方程組：，故選：C．4．（2021·山東東昌府·一模）已知是二元一次方程組的解，則的值為（      ）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將代入原方程組得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組求出a，b的值，再代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】解：將代入方程組，得，解得，所以5a-3b=10-9=1．故選：B．5．（2021·山東·武城縣四女寺鎮(zhèn)明智中學(xué)一模）已知方程組，則的值為（    ）A．-1 B．0 C．2 D．-3【答案】D【分析】先分別利用加、減法求出x＋y與x?y的值，原式分解后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，①＋②得：，即，①?②得：，．故選：D．6．（2021·山東沂南·一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，也是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成．書(shū)中有如下問(wèn)題：今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？大意是：有幾個(gè)人一起去買(mǎi)一件物品，如果每人出8元，則多了3元；如果每人出7元，則少了4元，問(wèn)有多少人？該物品價(jià)值多少元？若設(shè)有人，物品價(jià)值元，根據(jù)題意，可列方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“每人出8元，則多了3元；每人出7元，則少了4元”可得方程組．【詳解】解：設(shè)有x人，物品價(jià)值y元，根據(jù)題意，可列方程組為：，故選：A．7．（2021·山東任城·二模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，下面這道題是《九章算術(shù)》中第七章的一道題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”譯文：“幾個(gè)人一起去購(gòu)買(mǎi)某物品，如果每人出8錢(qián)，則多了3錢(qián)；如果每人出7錢(qián)，則少了4錢(qián)．問(wèn)有多少人，物品的價(jià)格是多少？”設(shè)有x人，物品價(jià)格為y錢(qián)，可列方程組為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可以找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，，故選：A．8．（2020·山東東營(yíng)·中考真題）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“ 三百七十八里關(guān)，初健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)”其大意是：有人要去某關(guān)口，路程里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半， 一共走了六天才到達(dá)目的地．則此人第三天走的路程為（  ）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】B【分析】根據(jù)題意可設(shè)第一天所走的路程為，用含的式子分別把這六天的路程表示出來(lái)，相加等于總路程378，解此方程即可．【詳解】解：設(shè)第一天的路程為里∴解得∴第三天的路程為故答案選B9．（2020·山東臨沂·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，紙書(shū)大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車(chē)，兩車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)人與車(chē)各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車(chē)，若每輛車(chē)乘坐3人，則空余兩輛車(chē)：若每輛車(chē)乘坐2人，則有9人步行，問(wèn)人與車(chē)各多少？設(shè)有x人，y輛車(chē)，可列方程組為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)若每輛車(chē)乘坐3人，則空余兩輛車(chē)：若每輛車(chē)乘坐2人，則有9人步行，列二元一次方程組．【詳解】解：設(shè)有x人，y輛車(chē)，
依題意得： ，
故選B．10．（2021·山東羅莊·二模）已知x＝3是關(guān)于x的方程的解，則的值是（　?。?/span>A．2 B．-2 C．1 D．﹣1【答案】A【分析】把x＝3代入方程，可得n-2m=1，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵x＝3是關(guān)于x的方程的解，∴6m=3n-3，即：n-2m=1，∴=2，故選A． 二、填空題11．（2021·山東日照·中考真題）關(guān)于的方程（、為實(shí)數(shù)且），恰好是該方程的根，則的值為_______．【答案】-2【分析】根據(jù)方程的解的概念，將代入原方程，然后利用等式的性質(zhì)求解．【詳解】解：由題意可得，把代入原方程可得：，等式左右兩邊同時(shí)除以，可得：，即，故答案為：．12．（2021·山東煙臺(tái)·中考真題）幻方歷史悠久，傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)”．把洛書(shū)用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)三階幻方．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為____________．【答案】2【分析】設(shè)處第一行第一列、第三列第三行、對(duì)角線上的未知量，用三數(shù)之和為15就可以求出a．【詳解】解：如圖，把部分未知的格子設(shè)上相應(yīng)的量第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4∵f=4∵對(duì)角線上6+c+f=15∴6+4+c=15，得到c=5∵c=5另外一條對(duì)角線上8+c+a=15∴8+5+a=15，得到a=2故答案為：2．13．（2021·山東棗莊·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15，則的值為______．【答案】1【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)“每一橫行、兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15”求出圖中①和②表示的數(shù)，再根據(jù)“每一豎行上的數(shù)字之和都是15”建立方程，解方程即可得．【詳解】解：如圖，由題意，圖中①表示的數(shù)是，圖中②表示的數(shù)是，則，解得，故答案為：1．14．（2021·山東棗莊·中考真題）已知，滿足方程組，則的值為______．【答案】【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相減即可得．【詳解】解：，由①②得：，則，故答案為：．15．（2021·山東泰安·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢(qián)不知其數(shù)，甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而錢(qián)亦五十，問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何？”譯文：“假設(shè)有甲乙二人，不知其錢(qián)包里有多少錢(qián)，若乙把自己一半的錢(qián)給甲，則甲的錢(qián)數(shù)為50；而甲把自己的錢(qián)給乙，則乙的錢(qián)數(shù)也能為50．問(wèn)甲、乙各有多少錢(qián)？”設(shè)甲持錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，可列方程組為________．【答案】【詳解】【分析】甲持錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，根據(jù)題意可得：甲的錢(qián)+乙的錢(qián)的一半=50，乙的錢(qián)+甲所有錢(qián)的=50，據(jù)此列方程組即可.【詳解】由題意可得，，故答案為．三、解答題16．（2021·山東泰安·中考真題）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對(duì)疫苗急需問(wèn)題，某制藥廠緊急批量生產(chǎn)，計(jì)劃每天生產(chǎn)疫苗16萬(wàn)劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時(shí)到廠．為了應(yīng)對(duì)疫情，回廠的工人加班生產(chǎn)，由原來(lái)每天工作8小時(shí)增加到10小時(shí)，每人每小時(shí)完成的工作量不變，這樣每天只能生產(chǎn)疫苗15萬(wàn)劑．（1）求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人？（2）生產(chǎn)4天后，未到的工人同時(shí)到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時(shí)間仍為10小時(shí)．若上級(jí)分配給該廠共760萬(wàn)劑的生產(chǎn)任務(wù)，問(wèn)該廠共需要多少天才能完成任務(wù)？【答案】（1）30人；（2）39天【分析】（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有人，根據(jù)每人每小時(shí)完成的工作量不變列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）設(shè)還需要生產(chǎn)天才能完成任務(wù)．根據(jù)前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有30人．（2）每人每小時(shí)的數(shù)量為（萬(wàn)劑）．設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù)，依題意得：，解得：，（天）答：該廠共需要39天才能完成任務(wù)．17．（2021·山東濟(jì)南·三模）每年6月18日，許多家居商城都會(huì)利用這個(gè)契機(jī)進(jìn)行打折促銷(xiāo)活動(dòng)，甲賣(mài)家的商品成本為600元，在標(biāo)價(jià)1000元的基礎(chǔ)上打8折銷(xiāo)售．（1）現(xiàn)在甲賣(mài)家欲繼續(xù)降價(jià)吸引買(mǎi)主，問(wèn)最多降價(jià)多少元，才能使利潤(rùn)率不低于20%？（2）據(jù)媒體爆料，有一些賣(mài)家先提高商品價(jià)格后再降價(jià)促銷(xiāo)，存在欺詐行為，乙賣(mài)家也銷(xiāo)售商品，其成本標(biāo)價(jià)與甲賣(mài)家一致，以前每天可售出50件，現(xiàn)乙賣(mài)家先將標(biāo)價(jià)提高了原標(biāo)價(jià)的倍，再大幅降價(jià)元，使得商品在6月18日當(dāng)天售出的數(shù)量增加到原來(lái)售出數(shù)量的倍，這樣一天的利潤(rùn)達(dá)到了50000元，求的值．【答案】（1）降價(jià)80元；（2）3【分析】（1）設(shè)降價(jià)x元，根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-成本結(jié)合利潤(rùn)率不低于20%，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合銷(xiāo)售數(shù)量為整數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)降價(jià)x元，依題意得：1000×0.8-x-600≥600×20%，解得：x≤80．答：最多降價(jià)80元，才能使利潤(rùn)率不低于20%．（2）依題意得：[1000（1+0.2m）-250m-600]×50× =50000，整理得：m2-8m+15=0，解得：m1=3，m2=5，當(dāng)m=3時(shí)，50×=200（件），符合題意；當(dāng)m=5時(shí)，50× =（件），不為整數(shù)，舍去．答：m的值為3．18．（2021·山東·青島西海岸新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)（青島市黃島區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）模擬預(yù)測(cè)）小王騎自行車(chē)從A地到B地，小陳騎自行車(chē)從B地到A地，兩人都沿同一條公路勻速前進(jìn)，已知兩人在上午7時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午9時(shí)，兩人還相距20千米，到中午12時(shí)，兩人又相距40千米，求A，B兩地的距離．【答案】千米【分析】上午9時(shí)，兩人走的路程之和為總路程減去20，中午12時(shí)，兩人走的路程之和為總路程加40．根據(jù)兩人的速度和一定列式求值即可．【詳解】解：設(shè)A， B兩地間的路程為x千米，根據(jù)題意：，解得：，答：A， B兩地間的路程是千米．

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考點(diǎn)24視圖與投影（解析版）-2022年數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)透析（華師大版）

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