?考點(diǎn)23平移、對稱、旋轉(zhuǎn)與位似
考點(diǎn)總結(jié)
知識點(diǎn)一：圖形變換
關(guān)鍵點(diǎn)撥與對應(yīng)舉例
1.圖形的軸對稱
（1）定義：①軸對稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱．
②軸對稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；反過來，成軸對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.
常見的軸對稱圖形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.

2.圖形的平移
（1）定義：在平面內(nèi)，將某個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移．
（2）性質(zhì)：①平移后，對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等且平行；②平移后，對應(yīng)角相等且對應(yīng)角的兩邊分別平行、方向相同；
③平移不改變圖形的形狀和大小， 只改變圖形的位置，平移后新舊兩個(gè)圖形全等．
畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．
3.圖形的旋轉(zhuǎn)
（1）在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角．
（2）性質(zhì)：①在圖形旋轉(zhuǎn)過程中，圖形上每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同角度；②注意每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度都叫旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角都相等；③對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．
4.圖形的中心對稱
（1）把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，該點(diǎn)叫做對稱中心．
（2）①關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等形；②關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形,對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分；③關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形,對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等.
5.圖形的位似
（1）如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．
（2）性質(zhì)：①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比等于位似比；②位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．
知識點(diǎn)二 ：網(wǎng)格作圖
2.坐標(biāo)與圖形的位置及運(yùn)動(dòng)
圖形的平移變換
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個(gè)單位長度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個(gè)單位長度．
在平面直角坐標(biāo)系中或網(wǎng)格中作已知圖形的變換是近幾年安徽必考題型，注意根據(jù)圖形變化的性質(zhì)先確定圖形變換后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接對應(yīng)點(diǎn)即可.
例：平面直角坐標(biāo)系中，有一條線段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：1，將線段AB放大為線段A′B′，那么A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）或（-4，-2）.
圖形關(guān)于坐標(biāo)軸成對稱變換
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于x軸對稱，那么這兩個(gè)圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于y軸對稱，那么這兩個(gè)圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等．
圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，那么這兩個(gè)圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
圖形關(guān)于原點(diǎn)成位似變換
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形的位似中心為原點(diǎn)，相似比為k，那么這兩個(gè)位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k．
真題演練

一、單選題
1．（2021·山東青島·中考真題）如圖，將線段先繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再向下平移4個(gè)單位，得到線段，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出A點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的坐標(biāo)為（-1，2），再求向下平移4個(gè)單位后的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】
解：如圖連接OA,將OA點(diǎn)繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)A''（-1，2），A''向下平移4個(gè)單位，得到A'（-1，-2）；

故選：D．
2．（2021·山東日照·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)向右平移兩個(gè)單位后，得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)平移時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律“左減右加”進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意，從點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是，
故點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故選：D．
3．（2021·山東青島·中考真題）剪紙是我國古老的民間藝術(shù)，下列四個(gè)剪紙圖案為軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
過一個(gè)圖形的一條直線,把這個(gè)圖形分成可以完全重合的兩個(gè)部分，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．
【詳解】
解：A、不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；
C、是軸對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；
D、不是軸對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
4．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，的圖象向下平移4個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于軸對稱，據(jù)此即可求得其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，作出函數(shù)圖像，直觀的觀察可得到的取值范圍
【詳解】
點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的圖像即為圖中虛線部分，如圖，

當(dāng)時(shí)，的圖象向下平移4個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對稱，
從圖可知函數(shù)的最大值是當(dāng)時(shí)，取得最大值3，
最小值是當(dāng)時(shí)，取得最小值，
．
故選D．
5．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）以下是我國部分博物館標(biāo)志的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)分析即可，軸對稱圖形：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形．
【詳解】
A.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故該選項(xiàng)符合題意；
B.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形,故該選項(xiàng)不符合題意；
C.不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形,故該選項(xiàng)不符合題意；
D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形,故該選項(xiàng)不符合題意．
故選A．
6．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接，則線段的最小值為（ ）

A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】
根據(jù)題中條件確定出點(diǎn)的軌跡是線段，則線段的最小值就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡線段的距離問題．
【詳解】
解：與固定夾角是，，點(diǎn)的軌跡是線段，
的軌跡也是一條線段．
兩點(diǎn)確定一條直線，取點(diǎn)分別與重合時(shí)，所對應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)Q，
來確定點(diǎn)的軌跡，得到如下標(biāo)注信息后的圖形：

求的最小值，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡線段的距離問題，
,
在中，,
,，
將逆時(shí)針繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后得到，
為等邊三角形，,
為的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一知，
,
過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),
在中，對應(yīng)的邊等于斜邊的一半，
，
的最小值為，
故選：A．
7．（2021·山東濰坊·中考真題）如圖，某機(jī)器零件的三視圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）

A．主視圖 B．左視圖 C．俯視圖 D．不存在
【答案】C
【分析】
根據(jù)該幾何體的三視圖，結(jié)合軸對稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形及中心對稱的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形稱為中心對稱圖形進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：該幾何體的三視圖如下：

三視圖中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是俯視圖，
故選：C．
8．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）一個(gè)圓柱體如圖所示，下面關(guān)于它的左視圖的說法，其中正確的是（ ）

A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B．既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形
C．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
D．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
【答案】A
【分析】
根據(jù)三視圖的定義，得到左視圖是矩形，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】
解：圓柱體的左視圖是矩形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，
故選A.
9．（2021·山東東營·中考真題）如圖，中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后表示出、的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計(jì)算即可得解.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則、間的橫坐標(biāo)的差為，、間的橫坐標(biāo)的差為，
放大到原來的倍得到，
，
解得：.
故選：A.
10．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)C為邊AB上一點(diǎn)，且．如果函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，那么用下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)，在直線BC上的是（ ）

A．（-2019，674） B．（-2020，675）
C．（2021，-669） D．（2022，-670）
【答案】D
【分析】
根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出BC解析式，再判斷點(diǎn)在BC上．
【詳解】
解：作，，

，
，
設(shè)，
，
或（舍去），
，
，
．
，
，，
，

，
，
，
圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，
，

設(shè)的解析式為，
，
解得，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故選：D．

二、填空題
11．（2021·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點(diǎn)、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為______．

【答案】1∶3
【分析】
先設(shè)四邊形和四邊形的邊長為x，然后根據(jù)AEM∽ABC可得，進(jìn)而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分別求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四邊形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案．
【詳解】
解：∵四邊形和四邊形均為正方形，
∴設(shè)四邊形和四邊形的邊長為x，
則EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，
∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EMBC，
∴AEM∽ABC，
∴，
∴，
解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，
∴S△AEM＝＝，
又∵S△ABC＝＝25，
∴S四邊形BCME＝S△ABC－S△AEM
＝25－
＝，
∴S△AEM∶S四邊形BCME＝∶＝1∶3，
故答案為：1∶3．
12．（2021·山東聊城·中考真題）有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有等邊三角形、平行四邊形、菱形和圓，將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張卡片，所抽取的卡片正面上的圖形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的概率是__________．
【答案】
【分析】
由等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的有菱形、圓，再畫出樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果，進(jìn)而即可求得答案．
【詳解】
解：設(shè)等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓分別為A，B，C，D，
根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

一共有12種情況，抽出的兩張卡片的圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形為C、D共有2種情況，
∴P（既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形）＝2÷12＝．
故答案是：．
13．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______．

【答案】P（1，-1）．
【詳解】
試題分析：連接AA′、CC′，作線段AA′的垂直平分線MN，作線段CC′的垂直平分線EF，
直線MN和直線EF的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P就是旋轉(zhuǎn)中心．∵直線MN為：x=1，設(shè)直線CC′為y=kx+b，
由題意：， ∴， ∴直線CC′為y=x+，
∵直線EF⊥CC′，經(jīng)過CC′中點(diǎn)（，）， ∴直線EF為y=﹣3x+2，
由得， ∴P（1，﹣1）．

14．（2021·山東淄博·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為__________．
【答案】
【分析】
先由點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的方法得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再根據(jù)點(diǎn)的平移可進(jìn)行求解．
【詳解】
解：由點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為可得：，
∴將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為；
故答案為．
15．（2021·山東聊城·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________．

【答案】
【分析】
先得出D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為H（0，-4），再通過轉(zhuǎn)化，將求四邊形BDEF的周長的最小值轉(zhuǎn)化為求FG+BF的最小值，再利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式后，令y=0，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【詳解】
解：如圖所示，∵D（0，4），
∴D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為H（0，-4），
∴ED=EH，
將點(diǎn)H向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD=，
又∵EF＝3，
∴四邊形BDEF的周長=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四邊形BDEF的周長最小，則應(yīng)使FG+BF的值最小，
而當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，
設(shè)直線BG的解析式為：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴，
∴，
∴，
當(dāng)y=0時(shí)，，
∴，
∴
故答案為：．


三、解答題
16．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．
（1）閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體（圖1）．因?yàn)樵谄矫嬷?，，與相交于點(diǎn)A，所以直線與所成的就是既不相交也不平行的兩條直線與所成的角．
解決問題
如圖1，已知正方體，求既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大?。?br />
（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)．
①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是 ；
②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到，的距離分別是2和5，點(diǎn)N到，的距離分別是4和3，P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

【答案】（1）；（2）①丙；②10
【分析】
（1）連接，則為等邊三角形，即可求得既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大??；
（2）①根據(jù)正方體側(cè)面展開圖判斷即可；
②根據(jù)對稱關(guān)系作輔助線即可求得的最小值．
【詳解】
解：（1）連接，

∵，與相交與點(diǎn)，
即既不相交也不平行的兩條直線與所成角為，
根據(jù)正方體性質(zhì)可得：，
∴為等邊三角形，
∴，
即既不相交也不平行的兩條直線與所成角為；
（2）①根據(jù)正方體展開圖可以判斷，
甲中與原圖形中對應(yīng)點(diǎn)位置不符，
乙圖形不能拼成正方體，
故答案為丙；
②如圖：作M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，
連接，與交于點(diǎn)P，連接MP，
則，
過點(diǎn)N作BC垂線，并延長與交于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)M到的距離是5，點(diǎn)N到的距離是3，
∴，
∵點(diǎn)M到的距離是2，點(diǎn)N到的距離是4，
∴，
∴，
故最小值為10．
17．（2021·山東濰坊·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求證：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值為 ；
②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD∥BF．
（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，請判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由．
【答案】（1）見解答；
（2）①；②見解答；
（3）是，∠MPN=30°．
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS證出全等即可；
（2）①由兩點(diǎn)之間，線段最短知C、D、F、E共線時(shí)CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值為CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋轉(zhuǎn)知AB=BE，∠CBE=90°，最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；
②先由△BDF為等邊三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共線時(shí)CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即證；
（3）由中位線定理知道MN∥AD且PN∥EF，再設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
【詳解】
解：（1）證明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA與△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵兩點(diǎn)之間，線段最短，
即C、D、F、E共線時(shí)CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值為CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=，
故答案為：；
②證明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF為等邊三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共線時(shí)CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是為定值，理由如下：
如圖，連接MN，

∵M(jìn)，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE為等邊三角形，
設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
則∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=AD=FE=PN，
∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
18．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．

（1）若，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)位于直線上方的拋物線上，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)（在拋物線上）．點(diǎn)（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時(shí)，點(diǎn)，．
【分析】
（1）由題意易得，則有，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）由（1）可得，，然后可求出線段BC的解析式為，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，設(shè)，則有，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行求解點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由題意易得，拋物線的對稱軸為，則可得，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，①當(dāng)以GB為矩形的對角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，，然后根據(jù)相似三角形可求解；②當(dāng)以GB為矩形的對邊時(shí)，最后分類求解即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）由（1）可得拋物線解析式為，，，
設(shè)線段BC的解析式為，把點(diǎn)B、C代入得：
，解得：，
∴線段BC的解析式為，
過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，如圖所示：

設(shè)，則有，
∴，
設(shè)的面積為S，由鉛垂法可得△PCB的面積可以點(diǎn)B、C的水平距離為水平寬，PE為鉛垂高，則有：
，
∴當(dāng)a=2時(shí)，S有最大值，
∴點(diǎn)；
（3）存在，理由如下：
由題意可把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線得：，
∴，
聯(lián)立拋物線與直線BG的解析式得：，
解得：，
∴，
由拋物線可得對稱軸為，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，
①當(dāng)以GB為矩形的對角線時(shí)，如圖所示：

∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，即為，
∴，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，即，
∴，
∴，
∵，且四邊形是矩形，
∴點(diǎn)E、F分別落在x軸的兩側(cè)才能構(gòu)成矩形，即，
分別作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)G、B作過點(diǎn)F與x軸平行的直線的垂線，分別交于點(diǎn)M、N，如圖，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：（負(fù)根舍去），
∴，；
②當(dāng)以GB為矩形的邊時(shí)，不存在以點(diǎn)E、F、G、B頂點(diǎn)的四邊形為矩形；
綜上所述：當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時(shí)，點(diǎn)，．

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