?考點(diǎn)22與圓有關(guān)的計(jì)算
考點(diǎn)總結(jié)
知識(shí)點(diǎn)一 ：正多邊形與圓
關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例
1.正多邊形與圓
（1）正多邊形的有關(guān)概念：邊長(zhǎng)(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.

（2）特殊正多邊形中各中心角、長(zhǎng)度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC為等邊△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
例：(1) 如果一個(gè)正多邊形的中心角為72°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是5.
(2)半徑為6的正四邊形的邊心距為，中心角等于90°，面積為72.
知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的計(jì)算公式
2.弧長(zhǎng)和
扇形面積
的計(jì)算
扇形的弧長(zhǎng)l＝；扇形的面積S＝＝
例：已知扇形的圓心角為45°，半徑長(zhǎng)為12，則該扇形的弧長(zhǎng)為3π.
3.圓錐與
側(cè)面展開圖

（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).
（2）計(jì)算公式：
,S側(cè)==πrl


在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解.
例：如圖，已知一扇形的半徑為3，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積為

真題演練

一、單選題
1．（2021·山東濰坊·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在⊙O上任取一點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)B；②以點(diǎn)B為圓心，BO為半徑作圓弧分別交⊙O于C，D兩點(diǎn)；③連接CO，DO并延長(zhǎng)分別交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)；④順次連接BC，CF，F(xiàn)A，AE，ED，DB，得到六邊形AFCBDE．連接AD，EF，交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ．

A．△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G B．∠FGA＝∠FOA
C．點(diǎn)G是線段EF的三等分點(diǎn) D．EF＝AF
【答案】D
【分析】
證明△AOE是等邊三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判斷A；．證明∠AGF=∠AOF=60°，可判斷B；證明FG=2GE，可判斷C；證明EF=AF，可判斷D．
【詳解】
解：如圖，

在正六邊形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等邊三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G，故A正確，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正確，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴點(diǎn)G是線段EF的三等分點(diǎn)，故C正確，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D錯(cuò)誤，
故答案為：D．
2．（2021·山東日照·中考真題）如圖，平面圖形由直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角和扇形組成，點(diǎn)在線段上，，且交或交于點(diǎn)．設(shè)，圖中陰影部分表示的平面圖形（或）的面積為，則函數(shù)關(guān)于的大致圖象是（　?。?br />
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)點(diǎn)的位置，分點(diǎn)在上和點(diǎn)在弧上兩種情況討論，分別寫出和的函數(shù)解析式，即可確定函數(shù)圖象．
【詳解】
解：當(dāng)在上時(shí)，即點(diǎn)在上時(shí)，有，
此時(shí)陰影部分為等腰直角三角形，
，
該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，排除，選項(xiàng)；
當(dāng)點(diǎn)在弧上時(shí)，補(bǔ)全圖形如圖所示，

陰影部分的面積等于等腰直角的面積加上扇形的面積，再減去平面圖形的面積即減去弓形的面積，
設(shè)，則，
，，
當(dāng)時(shí)，，，
，
當(dāng)時(shí)，，，
，
在，選項(xiàng)中分別找到這兩個(gè)特殊值，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
3．（2021·山東東營(yíng)·中考真題）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為（ ）

A．214° B．215° C．216° D．217°
【答案】C
【分析】
由已知求得圓錐母線長(zhǎng)及圓錐側(cè)面展開圖所對(duì)的弧長(zhǎng)，再由弧長(zhǎng)公式求解圓心角的度數(shù)．
【詳解】
解：由圓錐的高為4，底面直徑為6，
可得母線長(zhǎng)，
圓錐的底面周長(zhǎng)為：，
設(shè)圓心角的度數(shù)為n，
則，
解得：，
故圓心角度數(shù)為：，
故選：C．
4．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)．以C為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以E、F為圓心，1為半徑作圓弧、，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個(gè)圓（扇形）的面積減去以1為半徑的半圓（扇形）的面積再減去2個(gè)以邊長(zhǎng)為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個(gè)圓（扇形）的面積，本題得以解決．
【詳解】
解：由題意可得，
陰影部分的面積是：?π×22﹣﹣2（1×1﹣?π×12）＝π﹣2，
故選：B．
5．（2020·山東德州·中考真題）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為4，以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
正六邊形的面積加上六個(gè)小半圓的面積，再減去中間大圓的面積即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：正六邊形的面積為：，
六個(gè)小半圓的面積為：，中間大圓的面積為：，
所以陰影部分的面積為：，
故選：A．
6．（2020·山東日照·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，若CD＝6，AE＝9，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9
【答案】A
【分析】
根據(jù)垂徑定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半徑，根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠EOD=60°，進(jìn)而結(jié)合扇形面積求出答案．
【詳解】
解：∵AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，
∴CE＝DE＝CD＝3．
設(shè)⊙O的半徑為r，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝，
∴∠EOD＝60°，
∴，，
根據(jù)圓的對(duì)稱性可得：
∴，
故選：A．

7．（2020·山東淄博·中考真題）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動(dòng)（無滑動(dòng)）到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過的最短路徑的長(zhǎng)是（ ）

A．2π+2 B．3π C． D．+2
【答案】C
【詳解】
利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，

點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)＝的長(zhǎng)+O1O2+的長(zhǎng)＝++＝，
故選：C．
8．（2020·山東東營(yíng)·中考真題）用一個(gè)半徑為面積為的扇形鐵皮，制作一個(gè)無底的圓錐(不計(jì)損耗)，則圓錐的底面半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式得到?2π?r?3=3π，然后解方程即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意得?2π?r?3=3π，
解得r=1．
故選：D．
9．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，有一塊半徑為，圓心角為的扇形鐵皮，要把它做成一個(gè)圓錐形容器（接縫忽略不計(jì)），那么這個(gè)圓錐形容器的高為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先利用扇形的弧長(zhǎng)公式求得圓錐的底面周長(zhǎng)，求得底面半徑的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓錐的高．
【詳解】
解：設(shè)圓錐的底面周長(zhǎng)是l，則l=m，
則圓錐的底面半徑是：m，
則圓錐的高是：m．
故選：C．
10．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出．
【詳解】
解：是的直徑，弦，
，．



又


在和中，

，


故選：B

二、填空題
11．（2021·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，E為BC的中點(diǎn)，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，若，，，則扇形BEF的面積為________．


【答案】
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和、三角形的外角以及等腰三角形性質(zhì)求出，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算．
【詳解】
解：∵，，
∴，
∵E為BC的中點(diǎn)，EB、EF為半徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴扇形BEF的面積．
12．（2021·山東聊城·中考真題）用一塊弧長(zhǎng)16πcm的扇形鐵片，做一個(gè)高為6cm的圓錐形工件側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），那么這個(gè)扇形鐵片的面積為_______cm2
【答案】
【分析】
先求出圓錐的底面半徑，再利用勾股定理求出圓錐的母線長(zhǎng)，最后利用扇形的面積公式求解即可．
【詳解】
解：∵弧長(zhǎng)16πcm的扇形鐵片，
∴做一個(gè)高為6cm的圓錐的底面周長(zhǎng)為16πcm，
∴圓錐的底面半徑為：16π÷2π=8cm，
∴圓錐的母線長(zhǎng)為：，
∴扇形鐵片的面積=cm2，
故答案是：．
13．（2021·山東泰安·中考真題）若為直角三角形，，以為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為________．

【答案】4
【分析】
設(shè)AB與半圓的交點(diǎn)為D,連接DC,根據(jù)題意,得到陰影部分的面積等于，計(jì)算即可
【詳解】
解：如圖，設(shè)AB與半圓的交點(diǎn)為D，連接DC，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，
則∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圓關(guān)于直線DE對(duì)稱，
∴陰影部分的面積等于，
∴===4
故答案為：4．
14．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)三模）如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其正視圖與側(cè)視圖均由矩形構(gòu)成，正視圖中大矩形邊長(zhǎng)如圖所示，側(cè)視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長(zhǎng)度至少為_________厘米．

【答案】
【分析】
由正視圖可知，高是20cm，兩頂點(diǎn)之間的最大距離為60cm，利用正六邊形的性質(zhì)求得底面AD，然后所有棱長(zhǎng)相加即可．
【詳解】
根據(jù)題意，作出實(shí)際圖形的上底，如圖：AC，CD是上底面的兩邊，

因?yàn)檎呅蔚闹睆綖?0cm，
則AC=60÷2=30（cm），∠ACD=120°，
作CB⊥AD于點(diǎn)B，
那么AB=AC×sin60°=30×=15（cm），
所以AD=2AB=30（cm），
膠帶的長(zhǎng)至少=（cm）．
故答案為：．
15．（2021·山東牟平·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正六邊形中，將四邊形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四邊形處，此時(shí)邊與對(duì)角線重疊，則圖中陰影部分的面積是__________．

【答案】
【分析】
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵在邊長(zhǎng)為3的正六邊形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴在Rt△ACD中，AD=2CD=6，
∴圖中陰影部分的面積=S四邊形ADEF+S扇形DAD′-S四邊形AF′E′D′，
∵將四邊形ADEF繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四邊形處，
∴S四邊形ADEF=S四邊形AD′E′F′
∴圖中陰影部分的面積=S扇形DAD′=，
故答案為：3π．

三、解答題
16．（2021·山東濰坊·中考真題）如圖，半圓形薄鐵皮的直徑AB＝8，點(diǎn)O為圓心（不與A，B重合），連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圓、BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OC，∠ABC=θ，θ隨點(diǎn)C的移動(dòng)而變化．

（1）移動(dòng)點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)H，B重合時(shí)，求證：AC=BC；
（2）當(dāng)θ＜45°時(shí)，求證：BH?AH＝DH?FH；
（3）當(dāng)θ＝45°時(shí)，將扇形OAC剪下并卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面半徑和高．
【答案】（1）見解析（2）見解析（3）底面半徑為1，高為
【分析】
（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）證明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根據(jù)扇形與圓錐的特點(diǎn)及求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出圓錐的高．
【詳解】
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)H，B重合時(shí)，∵DH⊥AB
∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中線
∴BC=
∴AC=BC

（2）當(dāng)θ＜45°時(shí)，DH交半圓、BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH?AH＝DH?FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直徑AB＝8，
∴半徑OA=4，
設(shè)扇形OAC卷成圓錐的底面半徑為r
∴
解得r=1
∴圓錐的高為．
17．（2021·山東菏澤·中考真題）在矩形中，，點(diǎn)，分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處．


（1）如圖1，當(dāng)與線段交于點(diǎn)時(shí)，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上；
（3）當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)的過程中，計(jì)算出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．
【分析】
（1）分別根據(jù)平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)即可證得∠DEF＝∠EFB，∠DEF＝∠HEF，由此等量代換可得∠HEF＝∠EFB，進(jìn)而可得PE＝PF；
（2）連接PM，ME，MF，先證RtPHM≌RtPBM（HL），可得∠EPM＝∠FPM，再證EPM≌FPM（SAS），由此即可得證；
（3）連接AC，交EF于點(diǎn)O，連接OG，先證明EAO≌FCO（AAS），由此可得OC＝AC＝5，進(jìn)而根據(jù)折疊可得OG＝OC＝5，由此得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，再分別找到點(diǎn)G的起始點(diǎn)和終點(diǎn)便能求得答案．
【詳解】
（1）證明：∵在矩形ABCD中，
∴ADBC，AB＝CD；
∴∠DEF＝∠EFB，
∵折疊，
∴∠DEF＝∠HEF，
∴∠HEF＝∠EFB，
∴PE＝PF；
（2）證明：連接PM，ME，MF，

∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，∠D＝∠ABC＝∠PBA＝90°，
又∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
即：DE＝BF，
∵折疊，
∴DE＝HE，∠D＝∠EHM＝∠PHM＝90°，
∴BF＝HE，∠PBA＝∠PHM＝90°，
又∵由（1）得：PE＝PF，
∴PE－HE＝PF－BF，
即：PH＝PB，
在RtPHM與RtPBM中，
，
∴RtPHM≌RtPBM（HL），
∴∠EPM＝∠FPM，
在EPM與FPM中，
，
∴EPM≌FPM（SAS），
∴ME＝MF，
∴點(diǎn)M在線段EF的垂直平分線上；
（3）解：如圖，連接AC，交EF于點(diǎn)O，連接OG，

∵AB＝CD＝5，，
∴BC＝，
∴在RtABC中，AC＝＝，
∵ADBC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在EAO與FCO中，
，
∴EAO≌FCO（AAS），
∴OA＝OC＝AC＝5，
又∵折疊，
∴OG＝OC＝5，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)F，點(diǎn)G均與點(diǎn)C重合，

當(dāng)點(diǎn)E與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合，

∵O為定點(diǎn)，OG＝5為定值，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路線為以點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓弧，且圓心角為∠BOC，
在RtABC中，tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∵OA＝OB＝OC＝OG，
∴點(diǎn)A、B、C、G在以點(diǎn)O為圓心，5為半徑的圓上，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴的長(zhǎng)為＝，
∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為．
18．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)二模）如圖，在中，，點(diǎn)E在斜邊上，以為直徑的⊙O與交于點(diǎn)D，平分．

（1）求證：為⊙O的切線
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）證明見詳解；（2）．
【分析】
（1）連接OD，則OD=OA，則∠OAD=∠ODA，由角平分線的定義，得到∠ODA=∠DAC，則OD∥AC，即可證明結(jié)論成立；
（2）連接DE，先證明△ADE∽△ACD，結(jié)合，，求出，然后利用三角函數(shù)，求出∠AED=60°，則∠AOD=120°，再求出扇形AOD和△AOD的面積，即可求出陰影部分的面積．
【詳解】
解：（1）連接OD，如圖：

∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵平分，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴，即OD⊥BC，
∵OD是半徑，
∴為⊙O的切線；
（2）連接DE，如圖：

∵AE是直徑，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠OAD=∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴，即，
∴，
在直角△ADE中，由勾股定理，
∴，
，
∴，
∴∠AOD=120°，
∵OA=OD=2，
∴，
，
∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，
∴，
∴陰影部分的面積為：．

相關(guān)試卷

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