考點(diǎn)02整式于因式分解考點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：代數(shù)式及相關(guān)概念               關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.代數(shù)式（1）代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．（2）求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算得出的結(jié)果，叫做求代數(shù)式的值．求代數(shù)式的值常運(yùn)用整體代入法計(jì)算.例：a－b＝3，則3b－3a＝－9.2.整式 （單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）（1）單項(xiàng)式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù).（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和.多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù).（3）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.（4）同類項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).例：（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中屬于單項(xiàng)式的是①③⑤⑦；多項(xiàng)式是②⑥；同類項(xiàng)是①和⑤.（2）多項(xiàng)式7m5n-11mn2+1是六次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)是 __1  .知識(shí)點(diǎn)二：整式的運(yùn)算3.整式的加減運(yùn)算(1)合并同類項(xiàng)法則:同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．(2)去括號(hào)法則: 若括號(hào)外是“＋”，則括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)外是“－”，則括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào).(3)整式的加減運(yùn)算法則：先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).失分警示：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)外面是符號(hào)，一定要變號(hào)，且與括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)相乘，不要有漏項(xiàng).例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.冪運(yùn)算法則(1)同底數(shù)冪的乘法：am·an＝am＋n；(2)冪的乘方：(am)n＝amn；(3)積的乘方：(ab)n＝an·bn；(4)同底數(shù)冪的除法：am÷an＝am－n (a≠0). 其中m,n都在整數(shù)   (1)計(jì)算時(shí)，注意觀察，善于運(yùn)用它們的逆運(yùn)算解決問題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.（2）在解決冪的運(yùn)算時(shí)，有時(shí)需要先化成同底數(shù).例：2m·4m=23m.5.整式的乘除運(yùn)算(1)單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：①系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘；②只有一個(gè)字母的照抄．(2)單項(xiàng)式×多項(xiàng)式： m(a+b)=ma+mb.(3)多項(xiàng)式×多項(xiàng)式:   (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：將系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除.(5)多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：①多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式；②商相加． 失分警示：計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，注意不能漏乘，不能丟項(xiàng)，不能出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò).例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.注意乘法公式的逆向運(yùn)用及其變形公式的運(yùn)用 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.  變形公式： a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /26.混合運(yùn)算注意計(jì)算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減；若為化簡(jiǎn)求值，一般步驟為：化簡(jiǎn)、代入替換、計(jì)算．例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知識(shí)點(diǎn)五：因式分解7.因式分解(1)定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.(1) 因式分解要分解到最后結(jié)果不能再分解為止，相同因式寫成冪的形式；(2) 因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．真題演練 一、單選題1．（2021·山東日照·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、積的乘方、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法以及完全平方公式解決此題．【詳解】解：A．由合并同類項(xiàng)的法則，得，故A不符合題意．B．由積的乘方以及冪的乘方，得，故B不符合題意．C．由同底數(shù)冪的除法，得，故C不符合題意．D．由完全平方公式，得，故D符合題意．故選：D．2．（2021·山東日照·中考真題）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（　　）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】D【分析】利用第5次運(yùn)算結(jié)果為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)計(jì)算即可求出的所有可能的取值．【詳解】解：如果實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1，則變換中的第6項(xiàng)一定是1，則變換中的第5項(xiàng)一定是2，則變換中的第4項(xiàng)一定是4，則變換中的第3項(xiàng)可能是1，也可能是8．則變換中的第2項(xiàng)可能是2，也可能是16．當(dāng)變換中的第2項(xiàng)是2時(shí)，第1項(xiàng)是4；當(dāng)變換中的第2項(xiàng)是16時(shí)，第1項(xiàng)是32或5，則的所有可能取值為4或32或5，一共3個(gè)，故選：D．3．（2021·山東濱州·中考真題）下列計(jì)算中，正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式加單項(xiàng)式和合并同類項(xiàng)的方法可以判斷A，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可以判斷B，根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式可以判斷C，根據(jù)冪的乘方可以判斷D．【詳解】解：2a+3a=5a，故選項(xiàng)A不符合題意；a2?a3=a5，故選項(xiàng)B不符合題意；2a?3a=6a2，故選項(xiàng)C符合題意；（a2）3=a6，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．4．（2021·山東濰坊·中考真題）下列運(yùn)算正確的是       ．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式、負(fù)數(shù)指數(shù)冪、分式的化簡(jiǎn)、根式的化簡(jiǎn)分別計(jì)算解答即可．【詳解】解：A、，選項(xiàng)運(yùn)算正確；B、，選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；C、是最簡(jiǎn)分式，選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；D、，選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤；故選：A．5．（2021·山東威海·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別根據(jù)積的乘方和冪的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式以及合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算后再判斷即可．【詳解】解：A. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B. 原選項(xiàng)計(jì)算正確 ，符合題意；C. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．6．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，□，，，，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方，根據(jù)規(guī)律即可得到答案．【詳解】觀察這排數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，分子為連續(xù)奇數(shù)，分母為序號(hào)的平方，第個(gè)數(shù)據(jù)為：當(dāng)時(shí)的分子為，分母為這個(gè)數(shù)為故選：．7．（2021·山東諸城·二模）若，則代數(shù)式的值是（    ）A．0 B． C．20 D．【答案】C【分析】由得到，再將分組進(jìn)行因式分解得到，最后代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∵=∴原式==25-5=20，故選：C．8．（2021·山東臨沂·一模）下列運(yùn)算正確的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、利用公式法進(jìn)行因式分解逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】A、，此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；B、，此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；C、，此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；D、，此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．9．（2021·山東冠縣·一模）分解因式結(jié)果正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解，即可得出結(jié)論．【詳解】解：．故選：A．10．（2021·山東·武城縣四女寺鎮(zhèn)明智中學(xué)一模）已知方程組，則的值為（    ）A．-1 B．0 C．2 D．-3【答案】D【分析】先分別利用加、減法求出x＋y與x?y的值，原式分解后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，①＋②得：，即，①?②得：，．故選：D． 二、填空題11．（2021·山東淄博·中考真題）分解因式：________．【答案】【分析】根據(jù)因式分解的方法可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：；故答案為．12．（2021·山東威海·中考真題）分解因式：________________．【答案】【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解．【詳解】解：．故答案為：13．（2021·山東東營(yíng)·中考真題）因式分解：________．【答案】【分析】先提取公因式b，再利用完全平方公式將括號(hào)里的式子進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：故答案為：14．（2020·山東煙臺(tái)·中考真題）按如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入的x值為﹣3，則輸出y的結(jié)果為_____．【答案】18【分析】根據(jù)﹣3＜﹣1確定出應(yīng)代入y＝2x2中計(jì)算出y的值．【詳解】解：∵﹣3＜﹣1，∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，故答案為：18．15．（2020·山東威海·中考真題）如圖①，某廣場(chǎng)地面是用．．三種類型地磚平鋪而成的，三種類型地磚上表面圖案如圖②所示，現(xiàn)用有序數(shù)對(duì)表示每一塊地磚的位置：第一行的第一塊（型）地磚記作，第二塊（型）地時(shí)記作…若位置恰好為型地磚，則正整數(shù)，須滿足的條是__________．【答案】m、n同為奇數(shù)或m、n同為偶數(shù)【分析】幾何圖形，觀察A型地磚的位置得到當(dāng)列數(shù)為奇數(shù)時(shí)，行數(shù)也為奇數(shù)，當(dāng)列數(shù)為偶數(shù)，行數(shù)也為偶數(shù)的，從而得到m、n滿足的條件．【詳解】解：觀察圖形，A型地磚在列數(shù)為奇數(shù)，行數(shù)也為奇數(shù)的位置上或列數(shù)為偶數(shù)，行數(shù)也為偶數(shù)的位置上，若用（m，n）位置恰好為A型地磚，正整數(shù)m，n須滿足的條件為m、n同為奇數(shù)或m、n同為偶數(shù)，故答案為：m、n同為奇數(shù)或m、n同為偶數(shù)． 三、解答題16．（2021·山東日照·中考真題）（1）若單項(xiàng)式與單項(xiàng)式是一多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)，求、的值；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）m=2，n=-1；（2），【分析】（1）根據(jù)同類項(xiàng)的概念列二元一次方程組，然后解方程組求得和的值；（2）先通分算小括號(hào)里面的，然后算括號(hào)外面的，最后代入求值．【詳解】解：（1）由題意可得，②①，可得：，解得：，把代入①，可得：，解得：，的值為2，的值為；（2）原式，當(dāng)時(shí)，原式．17．（2021·山東青島·中考真題）問題提出：最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？（整數(shù)邊三角形是指三邊長(zhǎng)度都是整數(shù)的三角形．）問題探究：為了探究規(guī)律，我們先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．（1）如表①，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長(zhǎng)是1，第三邊長(zhǎng)也是1.按照（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）的形式記為，有1個(gè)，所以總共有個(gè)整數(shù)邊三角形．表①最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式1111個(gè)1（2）如表②，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長(zhǎng)是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長(zhǎng)為1時(shí)，第三邊長(zhǎng)只能是2，記為，有1個(gè)；當(dāng)最短邊長(zhǎng)為2時(shí)，顯然第三邊長(zhǎng)也是2，記為，有1個(gè)，所以總共有個(gè)整數(shù)邊三角形．表②最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式2112個(gè)121（3）下面在表③中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：表③最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式3112個(gè)22，231（4）下面在表④中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：表④最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式4113個(gè)22，23，241（5）請(qǐng)?jiān)诒?/span>⑤中總結(jié)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空：表⑤最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式511______2，23____________4，251問題解決：（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的整數(shù)邊三角形有___________個(gè)．（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)為奇數(shù)或為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請(qǐng)寫出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)．（3）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為128的整數(shù)邊三角形有__________個(gè)．拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱長(zhǎng)均為整數(shù)，則最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為9的直三棱柱有___________個(gè)．【答案】問題探究：見解析；問題解決：（1）12；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為；（3）4160；拓展延伸：295【分析】問題探究：根據(jù)（1）（2）（3）（4）的具體推算，總結(jié)出相同的規(guī)律，按規(guī)律填好表格即可；問題解決：（1）由最長(zhǎng)邊長(zhǎng)分別為1，2，3，4，5總結(jié)出能反應(yīng)規(guī)律的算式，再根據(jù)規(guī)律直接寫出最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6時(shí)的三角形的個(gè)數(shù)；（2）分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)，再?gòu)木唧w到一般進(jìn)行推導(dǎo)即可；（3）當(dāng)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)時(shí)，為偶數(shù)，再代入進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；拓展延伸：分兩種情況討論：當(dāng)9是底邊的棱長(zhǎng)時(shí)，由最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為9的三角形個(gè)數(shù)有：個(gè)，當(dāng)9是側(cè)棱長(zhǎng)時(shí)，底邊三角形的最長(zhǎng)邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，底邊三角形共有：個(gè)，從而可得答案.【詳解】解：?jiǎn)栴}探究：最長(zhǎng)邊長(zhǎng)最短邊長(zhǎng)（最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，最短邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)）整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)計(jì)算方法算式53，，33個(gè)3問題解決：（1）最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的三角形有：個(gè)，所以最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的三角形有：個(gè)，故答案為：（2）由（1）得：最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為1的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為3的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為5的三角形有：個(gè)， 所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為；最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為2的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4的三角形有：個(gè)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為6的三角形有：個(gè)，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)為.（3）當(dāng)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)時(shí)，為偶數(shù)，可得此時(shí)的三角形個(gè)數(shù)為：故答案為：拓展延伸：當(dāng)9是底邊的棱長(zhǎng)時(shí)，最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為9的三角形個(gè)數(shù)有：個(gè)，而直三棱柱的高分別為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以這樣的直三棱柱共有：個(gè)，當(dāng)9是側(cè)棱長(zhǎng)時(shí)，底邊三角形的最長(zhǎng)邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，底邊三角形共有：個(gè)，所以這樣的直三棱柱共有：個(gè)，綜上，滿足條件的直三棱柱共有個(gè).故答案為：18．（2021·山東陽谷·一模）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)牟坏仁浇M中選取一個(gè)合適的整數(shù)，代入求值．【答案】，-1【分析】先將括號(hào)內(nèi)的異分母分式通分，除式的分子、分母因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分，結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式；求出不等式的整數(shù)解，從中選擇符合條件的x值，代入求得化簡(jiǎn)后的分式或整式的值．【詳解】解：原式．不等式組的整數(shù)解為-2，-1，0，1，2，其中時(shí)，原式都沒有意義，∴當(dāng)時(shí)，原式．

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這是一份初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 考點(diǎn)02 代數(shù)式、整式與因式分解 (解析版），共22頁(yè)。

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這是一份考點(diǎn)02整式的運(yùn)算及因式分解（解析版）-2022年數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)透析（蘇科版），共9頁(yè)。試卷主要包含了代數(shù)式，單項(xiàng)式，去括號(hào)法則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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