考點(diǎn)06 分式方程考點(diǎn)總結(jié) 1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解．4．分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問(wèn)題，有工作量問(wèn)題、行程問(wèn)題等．每個(gè)問(wèn)題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題）；⑥答． 真題演練  一．選擇題（共10小題）1．（2021?河北一模）一輛快車和一輛慢車同時(shí)從甲地出發(fā)，沿同一路線到乙地，已知快車的速度是慢車速度的1.2倍，且快車比慢車先到，設(shè)慢車的速度為xkm/h，若這一路線長(zhǎng)為450km，那么下面所列方程正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】設(shè)慢車的速度為xkm/h，則快車的速度為1.2xkm/h，根據(jù)“快車比慢車先到”列方程即可得到答案．【解答】解：設(shè)慢車的速度為xkm/h，則快車的速度為1.2xkm/h，根據(jù)題意可得：．故選：B．2．（2021?順平縣二模）瓜達(dá)爾港是我國(guó)實(shí)施“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)想的重要一步，為了增進(jìn)中巴友誼，促進(jìn)全球經(jīng)濟(jì)一體化發(fā)展，我國(guó)施工隊(duì)預(yù)計(jì)把距離港口420km的普通公路升級(jí)成同等長(zhǎng)度的高速公路，升級(jí)后汽車行駛的平均速度比原來(lái)提高50%，行駛時(shí)間縮短2h，那么汽車原來(lái)的平均速度為（　?。?/span>A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h【分析】設(shè)汽車原來(lái)的平均速度是x km/h，則升級(jí)后汽車行駛的平均速度為（1+50%）xkm/h，由題意：420km的普通公路升級(jí)成同等長(zhǎng)度的高速公路，升級(jí)后汽車行駛的平均速度比原來(lái)提高50%，行駛時(shí)間縮短2h，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)汽車原來(lái)的平均速度是x km/h，則升級(jí)后汽車行駛的平均速度為（1+50%）xkm/h，根據(jù)題意得：2，解得：x＝70，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝70是原方程的解，即汽車原來(lái)的平均速度70km/h，故選：C．3．（2021?河北模擬）石家莊某活動(dòng)小組到教育基地游學(xué)，租用面包車的車費(fèi)為180元．出發(fā)時(shí)又增加了2名同學(xué)，結(jié)果每名同學(xué)比原來(lái)少攤了3元車費(fèi)．若設(shè)該活動(dòng)小組原有x人，則所列方程為（　?。?/span>A．3 B．3 C．3 D．3【分析】設(shè)該活動(dòng)小組原有x人，則增加同學(xué)后該活動(dòng)小組有（x+2）人，利用人均費(fèi)用＝租車費(fèi)用÷乘車人數(shù)，結(jié)合增加同學(xué)后每名同學(xué)比原來(lái)少攤了3元車費(fèi)，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：設(shè)該活動(dòng)小組原有x人，則增加同學(xué)后該活動(dòng)小組有（x+2）人，依題意得：3．故選：B．4．（2021?古冶區(qū)一模）以下是小明同學(xué)解方程的過(guò)程：解：方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），第一步即x+x＝﹣2+1+3，第二步解得，x＝1，第三步檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x﹣3＝1﹣3≠0，所以原方程的解是x＝1．第四步針對(duì)以上解題過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．從第一步開始有錯(cuò) B．從第二步開始有錯(cuò) C．從第三步開始有錯(cuò) D．完全正確【分析】去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【解答】解：從第二步開始出錯(cuò)，正確的是：，方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），1+x＝﹣2﹣x+3，即x+x＝﹣2﹣1+3，合并同類項(xiàng)，得，2x＝0，系數(shù)化成1，得x＝0，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝0時(shí)，x﹣3＝0﹣3≠0，所以原方程的解是x＝0，即從第二步開始有錯(cuò)，故選：B．5．（2021?平泉市一模）由于新冠肺炎得到了有效控制，省教育廳要求各學(xué)校做好復(fù)課準(zhǔn)備．某校計(jì)劃對(duì)學(xué)校60個(gè)相同大小的教室進(jìn)行全面清掃和消毒，在實(shí)際進(jìn)行消毒時(shí)，每天消毒的教室數(shù)量是原計(jì)劃的1.2倍，使得完成全部教室消毒的時(shí)間縮短了2天．設(shè)原計(jì)劃每天可以清掃、消毒x個(gè)教室，則下列符合題意的方程是（　?。?/span>A．1.2 B．2 C．1.2 D．2【分析】設(shè)原計(jì)劃每天可以清掃、消毒x個(gè)教室，則實(shí)際每天清掃、消毒1.2x個(gè)教室．根據(jù)實(shí)際完成消毒時(shí)間縮短2天建立等量關(guān)系，列出方程即可．【解答】解析：設(shè)原計(jì)劃每天可以清掃、消毒x個(gè)教室，則實(shí)際每天清掃、消毒1.2x個(gè)教室．根據(jù)題意，得．故選：D．6．（2021?潼南區(qū)一模）隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來(lái)多投遞40件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來(lái)平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來(lái)平均每人每周投遞快件x件，根據(jù)題意可列方程為（　　）A． B． C．40 D．【分析】設(shè)原來(lái)平均每人每周投遞快件x件，則更換了快捷的交通工具后平均每人每周投遞快件（x+40）件，根據(jù)快遞公司的快遞員人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：設(shè)原來(lái)平均每人每周投遞快件x件，則更換了快捷的交通工具后平均每人每周投遞快件（x+40）件，依題意得：．故選：D．7．（2021?衡水模擬）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，我們規(guī)定符號(hào)min{a，b}表示a、b中的較小的值，如min{2，4}＝2，按照這個(gè)規(guī)定，方程min{，}2的解為（　?。?/span>A． B．2 C．或2 D．1或﹣2【分析】分類討論與的大小關(guān)系，利用題中的新定義化簡(jiǎn)已知方程，求出解即可．【解答】解：當(dāng)，即x＞0時(shí)，方程變形得：2，去分母得：2＝6﹣2x，即x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是分式方程的解；當(dāng)，即x＜0時(shí)，方程變形得：2，去分母得：5＝6﹣2x，解得：x＝0.5，不符合題意，綜上，方程的解為x＝2．故選：B．8．（2021?定興縣一模）某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的景點(diǎn)參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了30分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍．設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，則所列方程正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】根據(jù)八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的景點(diǎn)參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了30分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【解答】解：由題意可得，，故選：A．9．（2021?石家莊一模）定義運(yùn)算“※”：a※b．若5※x＝2，則x的值為（　?。?/span>A． B．或10 C．10 D．或【分析】分別討論5＞x和5＜x時(shí)，得到的分式方程，解之，找出符合題意的即可．【解答】解：若5＞x，即x＜5時(shí)，原方程可整理得：2，方程兩邊同時(shí)乘以（5﹣x）得：5＝2（5﹣x），解得：x，經(jīng)檢驗(yàn)：x是原方程的解，且5，即x符合題意，若5＜x，即x＞5時(shí)，原方程可整理得：2，方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣5）得：x＝2（x﹣5），解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝10是原方程的解，且10＞5，即x＝10符合題意，故選：B．10．（2021?河北模擬）初三學(xué)生周末去距離學(xué)校120km的某地游玩，一部分學(xué)生乘慢車先行1小時(shí)后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)目的地，已知快車的速度是慢車的2倍，求慢車的速度，設(shè)慢車的速度是xkm/h，根據(jù)題意列方程為（　?。?/span>A．1 B．1 C．1 D．1【分析】設(shè)出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據(jù)所用時(shí)間差為1小時(shí)列方程．【解答】解：設(shè)慢車的速度是xkm/h，則快車的速度是2xkm/h，依題意得：1．故選：B．二．填空題（共5小題）11．（2021?唐山一模）分式方程：的解為 　x＝0　．【分析】分式方程整理后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：，去分母得：x﹣2＝﹣2，解得：x＝0，檢驗(yàn)：把x＝0代入得：x﹣3≠0，∴x＝0是分式方程的解．故答案為：x＝0．12．（2021?新華區(qū)模擬）x＝﹣1是方程的解，a的值為　﹣5　．【分析】將x＝﹣1代入原方程即可求出a的值．【解答】解：將x＝﹣1代入原方程，得，，解得a＝﹣5．故答案為：﹣5．13．（2017?銅仁市）方程0的解為x＝　2　．【分析】利用：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論解出方程．【解答】解：0方程兩邊同乘x（x﹣1），得x﹣2（x﹣1）＝0x﹣2x+2＝0，解得，x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，x（x﹣1）≠0，則x＝2是分式方程的解，故答案為：2．14．（2020?灤州市二模）若，則m的值為 　﹣2　．【分析】先去分母然后根據(jù)待定系數(shù)法求m的值．【解答】解：∵，∴3﹣2x＝m（x﹣1）+1，∴3﹣2x＝1﹣m+mx，∴1﹣m＝3，m＝﹣2，解得m＝﹣2．故答案為﹣2．15．（2020?邢臺(tái)一模）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m、n，規(guī)定m?n，例如：2?3，則（﹣2）?1　＞　1?（﹣2）（填“＞”，或“＜”或“＝”），若x?3＝（x﹣1）?（﹣4），則x＝　　．【分析】利用題中的新定義判斷，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：（﹣2）?1，1?（﹣2）＝﹣2，∴（﹣2）?1＞1?（﹣2）；根據(jù)題意得：，去分母得：3x﹣3＝﹣4x，解得：x，經(jīng)檢驗(yàn)x是分式方程的解．故答案為：＞；．三．解答題（共3小題）16．（2018?深圳）某超市預(yù)測(cè)某飲料有發(fā)展前途，用1600元購(gòu)進(jìn)一批飲料，面市后果然供不應(yīng)求，又用6000元購(gòu)進(jìn)這批飲料，第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍，但單價(jià)比第一批貴2元．（1）第一批飲料進(jìn)貨單價(jià)多少元？（2）若二次購(gòu)進(jìn)飲料按同一價(jià)格銷售，兩批全部售完后，獲利不少于1200元，那么銷售單價(jià)至少為多少元？【分析】（1）設(shè)第一批飲料進(jìn)貨單價(jià)為x元，則第二批飲料進(jìn)貨單價(jià)為（x+2）元，根據(jù)單價(jià)＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)銷售單價(jià)為m元，根據(jù)獲利不少于1200元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)第一批飲料進(jìn)貨單價(jià)為x元，則第二批飲料進(jìn)貨單價(jià)為（x+2）元，根據(jù)題意得：3?，解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是分式方程的解．答：第一批飲料進(jìn)貨單價(jià)為8元．（2）設(shè)銷售單價(jià)為m元，根據(jù)題意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，解得：m≥11．答：銷售單價(jià)至少為11元．17．（2020?復(fù)興區(qū)一模）為了創(chuàng)建全國(guó)衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車運(yùn)送，若兩車合作，各運(yùn)12趟才能完成，需支付運(yùn)費(fèi)共4800元．若甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾，則乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的2倍，已知乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少200元．（1）分別求出甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)；（2）若單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此堆垃圾，需多少趟？（3）若同時(shí)租用甲、乙兩車，則甲車運(yùn)x趟，乙車運(yùn)y趟，才能運(yùn)完此堆垃圾，其中x，y均為正整數(shù)．①當(dāng)x＝10時(shí)，y＝　16　；當(dāng)y＝10時(shí)，x＝　13　；②用含x的代數(shù)式表示y；探究：（4）在（3）的條件下：①用含x的代數(shù)式表示總運(yùn)費(fèi)w；②要想總運(yùn)費(fèi)不大于4000元，甲車最多需運(yùn)多少趟？【分析】（1）根據(jù)若兩車合作，各運(yùn)12趟才能完成，需支付運(yùn)費(fèi)共4800元，乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少200元，列出方程組，即可解答；（2）設(shè)單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此堆垃圾，需運(yùn)a趟，由題意列出分式方程，即可解答；（3）①根據(jù)題意可得：1，代入x，y的值即可解答；②根據(jù)1，即可解答；（4）①根據(jù)總運(yùn)費(fèi)＝甲的運(yùn)費(fèi)+乙的運(yùn)費(fèi)，列出函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；②根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：設(shè)甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為m元、n元，由題意得解得：答：甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為300元、100元；（2）解：設(shè)單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此堆垃圾，需運(yùn)a趟，由題意得12（）＝1，解得 a＝18，經(jīng)檢驗(yàn)a＝18是原方程的解；答：?jiǎn)为?dú)租用甲車運(yùn)完此堆垃圾，需運(yùn)18趟；（3）①由題意得：1，∴當(dāng)x＝10時(shí)，y＝16；當(dāng)y＝10時(shí)，x＝13；故答案為：16，13．②∵1，∴y＝36﹣2x，（4）①w＝300x+100y＝300x+100（36﹣2x）＝100x+3600，（0＜x＜18，且x為正整數(shù)），②由題意，得100x+3 600≤4 000．∴x≤4．答：甲車最多需運(yùn)4趟．18．（2020?新華區(qū)校級(jí)一模）（1）計(jì)算：（π﹣3）0+（﹣1）2019﹣|2|；（2）解方程：1【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解之求出x的值，再檢驗(yàn)即可得．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣1﹣（2）＝2﹣1﹣1﹣2＝﹣2； （2）兩邊都乘以x﹣3，得：x﹣2＝﹣2﹣（x﹣3），解得：x，當(dāng)x時(shí)，x﹣30，所以分式方程的解為x．

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