考點07分式方程考點總結(jié)知識點一：分式方程及其解法             關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．例：在下列方程中，①；②；③，其中是分式方程的是③.2.解分式方程  基本思路：分式方程                  整式方程  例：將方程轉(zhuǎn)化為整式方程可得：1－2＝2(x－1).解法步驟：(1)去分母，將分式方程化為整式方程；(2)解所得的整式方程；(3) 檢驗：把所求得的x的值代入最簡公分母中，若最簡公分母為0，則應(yīng)舍去．3.增根使分式方程中的分母為0的根即為增根.例：若分式方程有增根，則增根為1.知識點二  ：分式方程的應(yīng)用4.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗： (6)作答．在檢驗這一步中，既要檢驗所求未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求未知數(shù)的值是不是符合題目的實際意義. 真題演練 一、單選題1．（2021·山東淄博·中考真題）甲、乙兩人沿著總長度為的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分鐘走完全程．設(shè)乙的速度為，則下列方程中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：；故選D．2．（2021·山東臨沂·中考真題）某工廠生產(chǎn)、兩種型號的掃地機器人．型機器人比型機器人每小時的清掃面積多50%；清掃所用的時間型機器人比型機器人多用40分鐘． 兩種型號掃地機器人每小時分別清掃多少面積？若設(shè)型掃地機器人每小時清掃，根據(jù)題意可列方程為（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)清掃100m2所用的時間A型機器人比B型機器人多用40分鐘列出方程即可．【詳解】解：設(shè)A型掃地機器人每小時清掃xm2，由題意可得：，故選D．3．（2020·山東棗莊·中考真題）對于實數(shù)、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：．則方程的解是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中的新運算法則表達(dá)出方程，再根據(jù)分式方程的解法解答即可．【詳解】解：∴方程表達(dá)為：解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，故選：B．4．（2021·山東淄川·一模）方程的解為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的求解步驟求解即可，注意驗證x-1．【詳解】解：去分母得2?x-2=3x?3，合并同類項得4x=3，解得x=，經(jīng)檢驗，當(dāng)x=時，x?1≠0，∴x=是原分式方程的解．故選：C．5．（2021·山東河?xùn)|·二模）為了緩解城市用水緊張及提倡節(jié)約用水，某市自2021年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲25%，該市林老師家2020年12月份的水費是18元，而2021年1月份的水費是36元，且已知林老師家2021年1月份的用水量比2020年12月份的用水量多3m3，求該市去年的居民用水價格？設(shè)去年的居民用水價格x元/m3，則所列方程正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得：，故選：B．6．（2021·山東福山·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程有增根，則a的值為（   ）A．?3 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】去分母化分式方程為整式方程，將增根x=2代入整式方程即可求得．【詳解】解：，去分母，得：．∵分式方程有增根，∴增根為x=2，將x=2代入整式方程，得：，得：．解得故選A．7．（2021·山東諸城·一模）已知關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則正整數(shù)可以?。?/span>    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先去分母，將原方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求得方程的解，再根據(jù)解為正數(shù)及m為正整數(shù)求得答案即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以（x-1）得： ∴ ∵解為正數(shù)，∴∴m＜5，又∵m為正整數(shù)，∴m=1或m=2或m=3或m=4．∵當(dāng)時，x-1=0，∴m=3不符合題意．∴正整數(shù)m的值為1，2或4．故選：C．8．（2021·山東·濟寧學(xué)院附屬中學(xué)三模）隨著快遞業(yè)務(wù)量的增加，某快遞公司為快遞品更換快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原來多投遞8件．若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每天投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每天投遞快件件，根據(jù)題意可列方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)原來平均每人每天投遞快件x件，則更換快捷的交通工具后平均每人每天投遞快件（x+8）件，根據(jù)該快遞公司的快遞員人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)原來平均每人每天投遞快件x件，則更換快捷的交通工具后平均每人每天投遞快件（x+8）件，依題意得：．故選：D．9．（2021·山東蘭山·二模）網(wǎng)上購物已經(jīng)成為人們常用的一種購物方式．購物方式的改變給快遞行業(yè)帶來了商機，也帶來了挑戰(zhàn)．為了提高效率，某快遞公司研發(fā)了快遞機器人專門負(fù)責(zé)分揀包裹，已知單個機器人比人工（一個人）每小時多分揀100個，單個機器人分揀9000個包裹和人工（一個人）分揀6000個包裹所用時間相同．設(shè)人工（一個人）每小時分揀x個包裹，則可列方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單個機器人比人工（一個人）每小時多分揀100個，單個機器人分揀9000個包裹和人工（一個人）分揀6000個包裹所用時間相同，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題．【詳解】解：設(shè)人工（一個人）每小時分揀x個包裹，則單個機器人每小時分揀個由題意可得，，故選：A．10．（2021·山東泗水·一模）暑假期間，某科幻小說的銷售量急劇上升．某書店分別用600元和800元兩次購進(jìn)該小說，第二次購進(jìn)的數(shù)量比第一次多40套，且兩次購書時，每套書的進(jìn)價相同．若設(shè)書店第一次購進(jìn)該科幻小說x套，由題意列方程正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)第一次進(jìn)書的總錢數(shù)÷第一次購進(jìn)套數(shù)＝第二次進(jìn)書的總錢數(shù)÷第二次購進(jìn)套數(shù)列方程可得．【詳解】若設(shè)書店第一次購進(jìn)該科幻小說x套，由題意列方程正確的是，故選：C． 二、填空題11．（2021·山東青島·中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是__________．【答案】6【分析】估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為 ，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：設(shè)袋中紅球的個數(shù)是x個，根據(jù)題意得： ，解得：x=6，經(jīng)檢驗：x=6是分式方程的解，即估計袋中紅球的個數(shù)是6個．故答案為：6．12．（2021·山東濰坊·中考真題）若x＜2，且，則x＝_______．【答案】1【分析】先去掉絕對值符號，整理后方程兩邊都乘以x﹣2，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可．【詳解】解：|x﹣2|+x﹣1＝0，∵x＜2，∴方程為2﹣x+x﹣1＝0，即1，方程兩邊都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，經(jīng)檢驗x＝1是原方程的解，故答案為：1．13．（2021·山東東營·中考真題）某地積極響應(yīng)“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開展荒山綠化，打造美好家園，促進(jìn)旅游發(fā)展．某工程隊承接了90萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%，結(jié)果提前30天完成了任務(wù)．設(shè)原計劃每天綠化的面積為萬平方米，則所列方程為________．【答案】【分析】原計劃每天綠化的面積為萬平方米，則實際每天綠化的面積為萬平方米，根據(jù)工作時間=工作總量工作效率，結(jié)合實際比原計劃提前30天完成了這一任務(wù)，即可列出關(guān)于的分式方程．【詳解】設(shè)原計劃每天綠化的面積為萬平方米，則實際每天綠化的面積為萬平方米，依據(jù)題意：故答案為：14．（2021·山東·日照市田家炳實驗中學(xué)一模）已知關(guān)于x的方程無解，則m的值是___．【答案】或1【分析】分方程有增根，增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出m的值和方程沒有增根兩種情況進(jìn)行討論.【詳解】解：①當(dāng)方程有增根時方程兩邊都乘，得，∴最簡公分母，解得，當(dāng)時，故m的值是1，②當(dāng)方程沒有增根時方程兩邊都乘，得，解得，當(dāng)分母為0時，此時方程也無解，∴此時，解得，∴綜上所述，當(dāng)或1時，方程無解.故答案為：或1.15．（2021·山東濱城·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍為______．【答案】且【分析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答案．【詳解】解：去分母，得：，移項、合并，得： 系數(shù)化為1得： ∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴且，解得：且，故答案為：且． 三、解答題16．（2021·山東青島·中考真題）某超市經(jīng)銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進(jìn)貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價比乙品牌高6元，用1800元購進(jìn)甲品牌洗衣液的數(shù)量是用100元購進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的．銷售時，甲品牌洗衣液的售價為36元/瓶，乙品牌洗衣液的售價為28元/瓶．（1）求兩種品牌洗衣液的進(jìn)價；（2）若超市需要購進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進(jìn)兩種洗衣液的總成本不超過3120元，超市應(yīng)購進(jìn)甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）甲品牌洗衣液進(jìn)價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進(jìn)價為24元/瓶；（2）購進(jìn)甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元【分析】（1）設(shè)甲品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價是x元，則乙品牌洗衣液每瓶的進(jìn)價是（x-6）元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用1800元購進(jìn)乙品牌洗衣液數(shù)量的，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)可以購買m瓶乙品牌洗手液，則可以購買（100-m）瓶甲品牌洗手液，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總費用不超過1645元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲品牌洗衣液進(jìn)價為元/瓶，則乙品牌洗衣液進(jìn)價為元/瓶，由題意可得，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解.答：甲品牌洗衣液進(jìn)價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進(jìn)價為24元/瓶.（2）設(shè)利潤為元，購進(jìn)甲品牌洗衣液瓶，則購進(jìn)乙品牌洗衣液瓶，由題意可得，，解得，由題意可得，，∵，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時，取最大值，.答：購進(jìn)甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元．17．（2021·山東濟南·中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市節(jié)前購進(jìn)了甲、乙兩種暢銷口味的粽子．已知購進(jìn)甲種粽子的金額是1200元，購進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個，甲種粽子的單價是乙種粽子單價的2倍．（1）求甲、乙兩種粽子的單價分別是多少元？（2）為滿足消費者需求，該超市準(zhǔn)備再次購進(jìn)甲、乙兩種粽子共200個，若總金額不超過1150元，問最多購進(jìn)多少個甲種粽子？【答案】（1）乙種粽子的單價為4元，則甲種粽子的單價為8元；（2）最多購進(jìn)87個甲種粽子【分析】（1）設(shè)乙種粽子的單價為x元，則甲種粽子的單價為2x元，然后根據(jù)“購進(jìn)甲種粽子的金額是1200元，購進(jìn)乙種粽子的金額是800元，購進(jìn)甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個”可列方程求解；（2）設(shè)購進(jìn)m個甲種粽子，則購進(jìn)乙種粽子為（200-m）個，然后根據(jù)（1）及題意可列不等式進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）設(shè)乙種粽子的單價為x元，則甲種粽子的單價為2x元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：乙種粽子的單價為4元，則甲種粽子的單價為8元．（2）設(shè)購進(jìn)m個甲種粽子，則購進(jìn)乙種粽子為（200-m）個，由（1）及題意得：，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為87；答：最多購進(jìn)87個甲種粽子．18．（2021·山東威海·中考真題）六一兒童節(jié)來臨之際，某商店用3000元購進(jìn)一批玩具，很快售完；第二次購進(jìn)時，每件的進(jìn)價提高了20%，同樣用3000元購進(jìn)的數(shù)量比第一次少了10件．（1）求第一次每件的進(jìn)價為多少元？（2）若兩次購進(jìn)的玩具售價均為70元，且全部售完，求兩次的總利潤為多少元？【答案】（1）第一次每件的進(jìn)價為50元；（2）兩次的總利潤為1700元．【分析】（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價為x元，則第二次進(jìn)價為（1+20%）x，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；（2）根據(jù)總利潤=總售價-總成本，列出算式，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價為x元，則第二次進(jìn)價為（1+20%）x，根據(jù)題意得：，解得：x=50，經(jīng)檢驗：x=50是方程的解，且符合題意，答：第一次每件的進(jìn)價為50元；（2）（元），答：兩次的總利潤為1700元．19．（2021·山東濟寧·中考真題）某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進(jìn)一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調(diào)整價格，每降價1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當(dāng)降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）當(dāng)降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【分析】（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．【詳解】解：（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據(jù)題意得： ，
整理得：x2-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
經(jīng)檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；
（2）設(shè)甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，由題意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，
∵a=-20，
當(dāng)a=5時，函數(shù)有最大值，最大值是2000元，
答：當(dāng)降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．20．（2021·山東聊城·中考真題）為迎接建黨一百周年，我市計劃用兩種花卉對某廣場進(jìn)行美化．已知用600元購買A種花卉與用900元購買B種花卉的數(shù)量相等，且B種花卉每盆比A種花卉多0.5元．（1）A，B兩種花卉每盆各多少元？（2）計劃購買A，B兩種花卉共6000盆，其中A種花卉的數(shù)量不超過B種花卉數(shù)量的，求購買A種花卉多少盆時，購買這批花卉總費用最低，最低費用是多少元？【答案】（1）A 種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元；（2）購買A 種花卉1500盆時購買這批花卉總費用最低，最低費用為 8250元【分析】（1）設(shè)A 種花棄每盆x元，B 種花卉每盆（x＋0.5）元，根據(jù)題意列分式方程，解出方程并檢驗；（2）設(shè)購買A種花卉∶t盆，購買這批花卉的總費用為w元，則t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w隨t的增大而減小，所以根據(jù)t的范圍可以求得w的最小值．【詳解】解：（1）設(shè)A 種花棄每盆x元，B 種花卉每盆（x＋0.5）元．根據(jù)題意，得．解這個方程，得x＝1.經(jīng)檢驗知，x＝1是原分式方程的根，并符合題意．此時x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．所以，A種花棄每盆1元，B種花卉每盆1.5元．（2）設(shè)購買A種花卉∶t盆，購買這批花卉的總費用為w元，則t≤（6000－t），解得∶t≤1500.由題意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.因為w是t的一次函數(shù)，k＝－0.5＜0，w隨t的增大而減小，所以當(dāng)t＝1500 盆時，w最?。?/span>w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．所以，購買A種花卉1500盆時購買這批花卉總費用最低，最低費用為8250元．

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