指數(shù)函數(shù)及其性質的應用 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選)設函數(shù)f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，則(　　)A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3)AD　[由f(2)＝a－2＝4得a＝，即f(x)＝－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以AD正確．]2．函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)A．6 B．1C．3 D．C　[函數(shù)y＝ax在[0,1]上是單調的，最大值與最小值都在端點處取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函數(shù)y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是增函數(shù)，當x＝1時，ymax＝3.]3．設a，b滿足0<a<b<1，下列不等式中正確的是(　　)A．aa<ab B．ba<bbC．aa<ba D．bb<abC　[由于y＝ax與y＝bx為減函數(shù)，故A、B錯誤；因為>1，a>0，所以a>1，所以aa<ba；因為>1，b>0，所以b>1，所以ab<bb；故選C.]4．函數(shù)y＝|2x－1|的大致圖象是(　　)A　　　　　　BC　　　　　　DC　[如圖先作y＝2x的圖象，再向下平移1個單位得y＝2x－1的圖象，再把y＝2x－1的圖象在x軸下方的圖象翻折上去得y＝|2x－1|的圖象，如圖實線部分．故選C.]5．如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系：y＝at，有以下敘述：①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；②第5個月時，浮萍的面積就會超過30m2；③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過1.5個月；④浮萍每個月增加的面積都相等．其中正確的是(　　)A．①②③ B．①②③④C．②③④ D．①②D　[由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正確；當t＝5時，y＝25＝32>30，故②正確；當y＝4時，t＝2，經(jīng)過1.5個月后面積為23.5＜12，，故③錯誤；＝2，故④錯誤．]二、填空題6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集為________. {0,1}　[令t＝5x，則原方程可化為t2－6t＋5＝0，所以t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，所以x＝1或x＝0.]7．函數(shù)f(x)＝3－x2＋2ax在(－∞，1)內單調遞增，則a的取值范圍是________. [1，＋∞)　[設u＝－x2＋2ax，則y＝3u是R上的增函數(shù)，而原函數(shù)在(－∞，1)內單調遞增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)也是增函數(shù)，而u＝－x2＋2ax的單調增區(qū)間為(－∞，a)，所以a≥1.]8．若關于x的方程|x|＋m＝0有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是________．[－1,0)　[法一：∵0<|x|≤1，∴m<|x|＋m≤m＋1.要使方程|x|＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，解得－1≤m<0，故實數(shù)m的取值范圍是[－1,0)．法二：令y＝|x|＋m，作函數(shù)圖象，如圖，依題意，函數(shù)y＝|x|＋m的圖象與x軸有交點，∴解得－1≤m<0，即m∈[－1,0)．]三、解答題9．已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范圍．[解]　(1)設f(x)＝ax(a>0且a≠1)．將點代入得＝a2.解得a＝.故f(x)＝x.(2)由(1)知f(x)＝x，顯然f(x)在R上是減函數(shù)，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1.即x的取值范圍為(－1,1)．10．已知f(x)＝.(1)討論f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調性．[解]　(1)f(x)的定義域為R，又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)f(x)＝＝1－，又y＝(－1)x是減函數(shù)，且y>0，所以y＝是增函數(shù)，所以f(x)是減函數(shù)．11．已知函數(shù)f(x)＝a2－x，當x>2時，f(x)>1，則f(x)在R上(　　)A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．當x>2時是增函數(shù)，當x<2時是減函數(shù)D．當x>2時是減函數(shù)，當x<2時是增函數(shù)A　[因為當x>2時，2－x<0.f(x)>1，所以0<a<1，所以f(x)在R上是增函數(shù)，故選A.]12．已知實數(shù)a，b滿足等式a＝b，給出下列五個關系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有(　　)A．1個 B．2個C．3個 D．4個B　[畫出函數(shù)y＝x與y＝x的圖象，如圖所示．當x<0時，a＝b，則有a<b<0；當x>0時，a＝b，則有a>b>0；當x＝0時，a＝b，則有a＝b＝0.所以題中的五個關系式中不可能成立的有兩個．]13．已知函數(shù)f(x)＝2x－1，對于滿足0<x1<x2的任意x1，x2，給出下列結論：(1)(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；(2)x2f(x1)<x1f(x2)；(3)f(x2)－f(x1)>x2－x1；(4)>f()．其中正確結論的序號是________．(2)(4)　[由題知，函數(shù)f(x)單調遞增，這與(1)所描述的單調性相反，故(1)錯誤；(2)中的式子可化為<，其表示點(x1，f(x1))與原點連線的斜率小于點(x2，f(x2))與原點連線的斜率，由函數(shù)f(x)圖象的性質可知(2)正確；(3)表示過圖象上兩點的直線的斜率大于1，由函數(shù)f(x)的圖象可知這個結論不一定正確；(4)描述了函數(shù)圖象的下凹性，由函數(shù)圖象可知正確．綜上，可判斷只有(2)(4)正確．]14．已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是________. (－∞，1]　[令u＝|x－1|，因為f(x)＝y＝u在R上單調遞減，故要求f(x)的單調遞增區(qū)間，只需求u＝|x－1|的單調遞減區(qū)間，為(－∞，1]，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，1]．]15．定義：對于函數(shù)f(x)，若在定義域內存在實數(shù)x滿足f(－x)＝－f(x)，則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”．若f(x)＝2x＋m是定義在區(qū)間[－1,1]上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．[解]　f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化為2x＋2－x＋2m＝0，因為f(x)的定義域為[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]內有解，令t＝2x，則t∈，故－2m＝t＋，設g(t)＝t＋，則在(0,1]上是減函數(shù)，在[1，＋∞)上是增函數(shù)，所以當t∈時，g(t)∈，即－2m∈，所以m∈.  

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2 指數(shù)冪的運算性質

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