對數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用 (建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋2－x)，則函數(shù)f(x)的值域是(　　)A．[0,2) B．(0，＋∞)C．(0,2) D．[0，＋∞)B　[f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，∴l(xiāng)og2(1＋2－x)>0，∴函數(shù)f(x)的值域是(0，＋∞)，故選B.]2．已知實數(shù)a＝log45，b＝0，c＝log30.4，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<aD　[由題知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.]3．函數(shù)f(x)＝|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)A． B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)D　[f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)．]4．已知m<n<0，則(　　)A．n<m<1 B．m<n<1C．1<m<n D．1<n<mD　[因為0<<1，m<n<0，所以m>n>1，故選D.]5．若函數(shù)f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，則f(x)(　　)A．在(－∞，0)上是增函數(shù)B．在(－∞，0)上是減函數(shù)C．在(－∞，－1)上是增函數(shù)D．在(－∞，－1)上是減函數(shù)C　[當(dāng)－1<x<0時，0<x＋1<1.∵loga|x＋1|>0，∴0<a<1，∴函數(shù)f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上遞增，在(－1，＋∞)上遞減．]二、填空題6．設(shè)f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，則實數(shù)a的取值范圍為________．　[由題意，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為f(1－a)－f(a)>0，所以1－a>a>0，所以a∈.]7．已知函數(shù)y＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1,2)　[令u＝2－ax，則y＝logau，因為a>0，所以u＝2－ax遞減，由題意知y＝logau在[0,1]內(nèi)遞增，所以a>1.又u＝2－ax在x∈[0,1]上恒大于0，所以2－a>0，即a<2，綜上，1<a<2.]8．已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝的值域為[1，＋∞)，則a的取值范圍是________．(1,2]　[若函數(shù)f(x)＝的值域為[1，＋∞)，且a>0，a≠1，當(dāng)x≤2時，y＝3－x≥1，所以可得1<a≤2.]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性．[解]　(1)要使函數(shù)有意義，則解得－3＜x＜3，故函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－3,3)．(2)由(1)可知，函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－3,3)，關(guān)于原點對稱．對任意x∈(－3,3)，則－x∈(－3,3)．∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，∴由函數(shù)奇偶性可知，函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)．10．已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．(1)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≤loga(2－3x)．[解]　(1)令y＝ax(a>0，且a≠1)，則x＝logay(a>0，且a≠1)，所以函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝logax(a>0，且a≠1)．(2)當(dāng)a>1時，logax≤loga(2－3x)，所以解得0<x≤.當(dāng)0<a<1時，原不等式等價于解得≤x<.綜上，當(dāng)a>1時，原不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為.11．(多選)函數(shù)f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么(　　)A．f(x)在(1，＋∞)上遞增且無最大值B．f(x)在(1，＋∞)上遞減且無最小值C．f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱AD　[由|x－1|>0得，函數(shù)y＝loga|x－1|的定義域為{x|x≠1}．設(shè)g(x)＝|x－1|＝則g(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且g(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，D正確；由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上遞增且無最大值，A正確，B錯誤；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C錯誤，故選AD.]12．已知曲線C：y＝(0≤x≤2)與函數(shù)f(x)＝logax及函數(shù)g(x)＝ax(其中a>1)的圖象分別交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x＋x的值為(　　)A．16 B．8C．4 D．2C　[如圖所示，A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點關(guān)于y＝x對稱，又A(x1，y1)關(guān)于y＝x的對稱點為(y1，x1)，則x2＝y1，故x＋x＝x＋y＝4.故選C.]13．定義：區(qū)間[x1，x2](x1＜x2)的長度為x2－x1.已知函數(shù)y＝|log0.5x|的定義域為[a，b]，值域為[0,2]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值為________．　[由0≤|log0.5x|≤2，解得≤x≤4，所以[a，b]長度的最大值為4－＝.]14．函數(shù)f(x)＝ln(a≠2)為奇函數(shù)，則實數(shù)a等于________．－2　[依題意有f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.]15．某學(xué)校為了加強學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，他們以函數(shù)f(x)＝lg 為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下：①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)；②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對于任意的x∈(－1,1)都有f ＝2f(x)；④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f ；⑤同學(xué)戊發(fā)現(xiàn)：對于函數(shù)f(x)定義域中任意的兩個不同實數(shù)x1，x2，總滿足>0.試分別判斷哪些同學(xué)的研究成果正確？[解]　在①中，因為f(x)＝lg ，所以>0，解得函數(shù)的定義域為(－1,1)，所以①是正確的；在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以②是錯誤的；在③中，對于任意x∈(－1,1)，有f ＝lg ＝lg＝lg ，又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正確的；在④中，對于任意的a，b∈(－1,1)，有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg ＝lg ＝lg ，又f ＝lg ＝lg ，所以④是正確的；在⑤中，對于函數(shù)f(x)的定義域中任意的兩個不同實數(shù)x1，x2，總滿足>0，即說明f(x)是增函數(shù)，但f(x)＝lg ＝lg 是減函數(shù)，所以⑤是錯誤的．綜上可知，學(xué)生甲、丙、丁的研究成果正確．  

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