【教學(xué)目標(biāo)】


重點(diǎn)、難點(diǎn)


1、掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；（重點(diǎn)）


2、能用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值；（難點(diǎn)）


學(xué)科素養(yǎng)


通過(guò)指數(shù)冪的運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；


【知識(shí)清單】


1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)


(1)aras＝ (a＞0，r，s∈Q).


(2)(ar)s＝ (a＞0，r，s∈Q).


(3)(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q).


有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．


【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】


1、用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示a3· eq \r(a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))的結(jié)果是( )


A．a(chǎn) eq \s\up6(\f(5,2)) B．a(chǎn) eq \s\up6(\f(7,2)) C.a4 D．a(chǎn) eq \s\up6(\f(3,2))


2、下列各式運(yùn)算錯(cuò)誤的是( )


A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8


B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3


C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6


D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18


3、思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)


(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，am＋n＝aman.( )


(2)當(dāng)a>0時(shí)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(am)) eq \s\up8(n)＝amn.( )


(3)當(dāng)a≠0時(shí)， eq \f(am,an)＝am－n.( )


【經(jīng)典例題】


題型一 利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值


例1、計(jì)算下列各式：


(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5))) eq \s\up8(0)＋2－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) eq \s\up6(－ eq \f(1,2))－0.010.5； (2)0.064 eq \s\up6(－ eq \f(1,3))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8))) eq \s\up8(0)＋[(－2)3] eq \s\up6(－ eq \f(4,3))＋16－0.75；





題型二 根據(jù)條件求值


例2、已知a eq \s\up6(\f(1,2))＋a eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \r(5)，求下列各式的值：


(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2.











【課堂達(dá)標(biāo)】


1、對(duì)任意的正實(shí)數(shù)及，下列運(yùn)算正確的是（ ）


A．B．


C．D．


2、的值（ ）


A．B．C．D．


3、若，則( )


A．B．1C．D．


4、下列計(jì)算正確的是( )


A．B．C．D．


5、下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義,值又相等的是( )


A．和B．和C．和D．和E.和


6、方程的解為_(kāi)_______


7、 _______


8、解下列方程．


（1）；（2）.


【能力提升】


1、若，，則等于（ ）


A．B．C．D．


2、有下列各式：①；② ；③；④


其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）


A．0B．1C．2D．3


3、計(jì)算( )


A．B．C．D．


4、已知，則


A．3B．9C．–3D．


5．（多選題）(多選)下列各式中一定成立的有（ ）


A．B．


C．D．


6、若，則___________


7、中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬(wàn)位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如可用算籌表示為





這個(gè)數(shù)字的縱式與橫式表示數(shù)碼如上圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為_(kāi)__________.


8、計(jì)算下列各式：


（1）.


（2）.


（3）.


9、已知，求下列各式的值：


（1）. （2）. （3）.








10、（1）計(jì)算:.


（2）若,計(jì)算的值.












































【參考答案】


【知識(shí)清單】


1、（1）ar＋s （2）ars （3）arbr


【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】


答案：B


解析：


[a3· eq \r(a)＝a3·a eq \s\up6(\f(1,2))＝a eq \s\up6(3＋ eq \f(1,2))＝a eq \s\up6(\f(7,2))．故選B.]


答案：C


解析：


[(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.]


3、[答案] (1)× (2)√ (3)√


【經(jīng)典例題】


例1、[解析] (1)原式＝1＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) eq \s\up6(\f(1,2))＝1＋ eq \f(1,6)－ eq \f(1,10)＝ eq \f(16,15).


(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝ eq \f(5,2)－1＋ eq \f(1,16)＋ eq \f(1,8)＝ eq \f(27,16).


例2、[解析] (1)將a eq \s\up6(\f(1,2))＋a eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \r(5)兩邊平方，得a＋a－1＋2＝5，所以a＋a－1＝3.


(2)將a＋a－1＝3兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7.


[課堂達(dá)標(biāo)]


1．【答案】D


【解析】


【分析】


直接根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.


【詳解】


根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)排除ABC.


故選:D


【點(diǎn)睛】


本題主要考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.


2．【答案】C


【解析】


【分析】


利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.


【詳解】


原式故選：C.


【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)冪的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.


3.【答案】C


【解析】


【分析】


根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式，求得表達(dá)式的值.


【詳解】


依題意，.


故選C.


【點(diǎn)睛】


本小題主要考查指數(shù)運(yùn)算公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.


4.【答案】B


【解析】


【分析】


根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判斷，即可求解.


【詳解】


，選項(xiàng)錯(cuò)誤；


，選項(xiàng)正確；


，選項(xiàng)錯(cuò)誤；


，選項(xiàng)錯(cuò)誤.


故選:B.


【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.


5、【答案】CE


【解析】


【分析】


根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義逐一判斷，并利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算是否相等.


【詳解】


A不符合題意，和均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但，；


B不符合題意，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義；


C符合題意，；


D不符合題意，和均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但，；


E符合題意，.


故選：CE.


【點(diǎn)睛】


本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.


6、【答案】6


【解析】


【分析】


分?jǐn)?shù)化為以2為底的指數(shù)，指數(shù)相等即可解出x.


【詳解】


，，解得.


故答案為：6


【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.





7、【答案】


【解析】


【分析】


根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果.


【詳解】





【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)式的運(yùn)算，注意檢查計(jì)算結(jié)果，屬基礎(chǔ)題.


8、【答案】（1）（2）


【解析】


【分析】


（1）方程兩邊化為以為底數(shù)的冪值，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果；


（2）化為關(guān)于的一元二次方程，解得，從而可得結(jié)果.


【詳解】


（1）由得，


所以，解得，


所以原方程的解集為.


（2）由得，


得，


得，解得.


所以原方程的解集為


【點(diǎn)睛】


本題考查了指數(shù)方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.





【能力提升】


1．【答案】A


【解析】


【分析】


,再利用指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)論.


【詳解】


因?yàn)?,


所以,


故選:A.


【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.


2.【答案】B


【解析】


【分析】


根據(jù)冪的運(yùn)算法則和根式的定義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義判斷．


【詳解】


根據(jù)根式的定義，正確；由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，；；．只有第一個(gè)正確，其他三個(gè)都錯(cuò)．


故選：B.


【點(diǎn)睛】


本題考查根式的定義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，考查冪的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．


3．【答案】D


【解析】


【分析】


直接計(jì)算得到答案.


【詳解】


.


故選：.


【點(diǎn)睛】


本題考查了指數(shù)冪的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.


4．【答案】A


【解析】


【分析】


令，求出，從而可得結(jié)果.


【詳解】


令 那么


所以 即3，故選A.


【點(diǎn)睛】


本題主要考查指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.


5．【答案】BD


【解析】


【分析】


根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可求得結(jié)果.


【詳解】


，錯(cuò)誤；，正確；


，錯(cuò)誤；，正確


故選


【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)冪運(yùn)算法則化簡(jiǎn)、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.





6、【答案】27


【解析】


【分析】


利用指數(shù)冪運(yùn)算法則可化簡(jiǎn)得到二元一次方程組，解方程組即可求得結(jié)果.


【詳解】


，，，解得：，


.


故答案為：.


【點(diǎn)睛】


本題考查指數(shù)冪運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.


7、【答案】


【解析】


【分析】


先算出，再根據(jù)表示數(shù)碼寫(xiě)出相應(yīng)結(jié)果.


【詳解】


解：，


從題中所給表示數(shù)碼知可用算籌表示.


故答案為：.


【點(diǎn)睛】


本題主要考查指數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.


8、【答案】（1）；（2）100；（3）.


【解析】


【分析】


（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.


（2）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.


（3）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.


【詳解】


（1）原式.


（2）原式


.


（3）原式


.


【點(diǎn)睛】


本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，需熟記指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.


9、【答案】（1）7；（2）47；（3）3.


【解析】


【分析】


（1）將原式兩邊平方即可求解.


（2）將（1）中的式子平方即可求解.


（3）利用立方和公式以及（1）（2）中的結(jié)果即可求解.


【詳解】


（1）將兩邊平方，得，即.


（2）將上式兩邊平方，可得，∴.


（3）∵


，


而，


∴原式.


【點(diǎn)睛】


本題考查了指數(shù)式的運(yùn)算，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.





10、【答案】（1）（2）


【解析】


【分析】


（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn),即可得出答案;


（2）根據(jù) ,結(jié)合已知,即可求得的值.


【詳解】


（1）








原式的值為:.


（2）





故的值為.


【點(diǎn)睛】


本題考查了指數(shù)運(yùn)算,掌握指數(shù)運(yùn)算的基本知識(shí)是解題關(guān)鍵,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.






































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2 指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

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