簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) (建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)y＝x的圖象大致是(　　)A　　　　　BC　　　　　DB　[函數(shù)y＝x＝的定義域?yàn)?/span>R，且此函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，排除A，C.另外，因?yàn)?/span>>1，在第一象限圖象下凸．故選B.]2．已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，則f(9)＝(　　)A．－3 B．－C．3 D．C　[設(shè)函數(shù)f(x)＝xα，由題意f(2)＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.]3．函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　DB　[y＝x－1的定義域?yàn)閇0，＋∞)且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，所以y＝x－1關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象是下降的，故選B.]4．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，下列函數(shù)中圖象全在直線y＝x下方的增函數(shù)是(　　)A．y＝x B．y＝x2C．y＝x3 D．y＝x－1A　[對(duì)任意x∈(1，＋∞)，都有x－x＝x(x－1)＞0，x－x－1＝x－1(x2－1)＞0，x－x2＝x(1－x)＜0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)＜0，故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)的圖象全在直線y＝x下方的函數(shù)有y＝x和y＝x－1，而函數(shù)y＝x是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)y＝x－1是單調(diào)遞減函數(shù)，所以選A.]5．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　)A．－3 B．1C．2 D．1或－3B　[由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，當(dāng)n＝－3時(shí)，f(x)＝x18在(0，＋∞)是增加的，不合題意，故選B.]二、填空題6．已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－1(m∈Z)的圖象與x軸，y軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的解析式是________．f(x)＝x－1　[∵函數(shù)的圖象與x軸，y軸都無(wú)交點(diǎn)，∴m2－1<0，解得－1<m<1.∵圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.]7．已知冪函數(shù)f(x)＝(t3－t＋1)x(1－4t－t2)(t∈Z)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增加的，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_______．f(x)＝x2　[∵f(x)是冪函數(shù)，∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.當(dāng)t＝0時(shí)，f(x)＝x是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)t＝1時(shí)，f(x)＝x－2是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上是減少的，不滿足題意；當(dāng)t＝－1時(shí)，f(x)＝x2，滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)t的值為－1，所求解析式為f(x)＝x2.]8．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. (0,1)　[作出函數(shù)圖象如圖所示，則當(dāng)0<k<1時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根．]三、解答題9．比較下列各組數(shù)的大小：(1)(－2)－3，(－2.5)－3；(2)8，；[解]　(1)∵冪函數(shù)y＝x－3在(－∞，0)上為減函數(shù)，且－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.(2)∵冪函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又8＝，>，∴>，∴8＞.10．已知函數(shù)f(x)＝(m∈R)，試比較f(5)與f(－π)的大?。?/span>[解]　f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.f(x)的圖象可由y＝x－2的圖象首先作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，然后向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(m≥0)(或向下(m<0))平移|m|個(gè)單位長(zhǎng)度得到(如圖所示)．顯然，圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱且在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π>5，∴f(－π)＝f(2＋π)>f(5)．11．(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式a＝b，則下列關(guān)系式中可能成立的是(　　)A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0C．1<a<b D．－1<b<a<0AC　[畫出y＝x與y＝x的圖象(如圖)，設(shè)a＝b＝m，作直線y＝m.從圖象知，若m＝0或1，則a＝b；若0<m<1，則0<b<a<1；若m>1，則1<a<b.故其中可能成立的是AC.]12．冪函數(shù)y＝xα(α≠0)，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一簇曲線(如圖)．設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xm，y＝xn的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，則mn等于(　　)A．1 B．2C．3 D．無(wú)法確定A　[由條件知，M，N，∴＝m，＝n，∴mn＝n＝n＝，∴mn＝1.故選A.]13．給出下面四個(gè)條件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是冪函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)值，那么冪函數(shù)y＝f(x)一定滿足的條件的序號(hào)為_(kāi)_______．③　[設(shè)f(x)＝xα，則f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三個(gè)不一定成立，故填③.]14．對(duì)于冪函數(shù)f(x)＝x，若0<a<b，則f ，的大小關(guān)系是________．f >　[冪函數(shù)f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，大致圖象如圖所示．設(shè)A(a，0)，C(b，0)，其中0<a<b，則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E，|AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f .∵|EF|>(|AB|＋|CD|)，∴f >.]15．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m－2)(m∈N)是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求函數(shù)f(x)的解析式，并討論g(x)＝a－的奇偶性．[解]　由f(x)＝x(m－2)(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，得(m－2)<0，∴m<2.∵m∈N，∴m＝0,1.∵f(x)是偶函數(shù)，∴只有當(dāng)m＝0時(shí)符合題意，故f(x)＝x.于是g(x)＝－，g(－x)＝＋，且g(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，g(x)為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0且b＝0時(shí)，g(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，g(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).   

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2 指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

版本： 北師大版 (2019)

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