不等式的性質(zhì) (建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h，寫(xiě)成不等式就是(　　)A．v<40 B．v≤40C．v>40 D．v≥40B　[不超過(guò)即小于或等于．]2．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，則(　　)A．P≥Q B．P≤QC．P>Q D．P<QD　[由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，①>>0，②兩式相乘得，>.則P<Q.]3．已知－1<α<0,1<β<2，則－β的范圍為(　　)A． B．C．(－1,0) D．(－1,1)A　[－<<0，－2<－β<－1，同向不等式相加，得－<－β<－1.]4．若a，b為實(shí)數(shù)，則“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件D　[∵0＜ab＜1，∴a，b同號(hào)．當(dāng)a，b同正時(shí)，由0＜ab＜1易得b＜；當(dāng)a，b同負(fù)時(shí)，由0＜ab＜1易得b＞.因此0＜ab＜1b＜；反過(guò)來(lái)，由b＜得，b－＜0，即＜0，即或因此b＜0＜ab＜1.綜上知“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要條件．]5．已知a>2，b>2，則有(　　)A．ab≥a＋b B．ab≤a＋bC．ab>a＋b D．ab<a＋bC　[ab－(a＋b)＝ab－(a＋b)＋1－1＝(a－1)(b－1)－1，又由a>2，b>2，得(a－1)(b－1)>1，因此，ab>a＋b.]二、填空題6．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，則糖水更甜了，試根據(jù)這個(gè)事實(shí)寫(xiě)出一個(gè)不等式________．[答案]　 >7．已知1＜a＜2,3＜b＜5，則的取值范圍是________．＜＜　[∵3＜b＜5，∴＜＜.又1＜a＜2，∴＜＜.]8．設(shè)a＝2－，b＝－2，c＝5－2，則a，b，c之間的大小關(guān)系為_(kāi)_______．c>b>a　[a＝2－＝－<0，b＝－a>0，c＝－>0，由b－c＝3－7＝－<0，得b<c.所以c>b>a.]三、解答題9．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.[證明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－bc>－ac.又∵e>f，∴e－bc>f－ac.即f－ac<e－bc.10．已知a、b、c是實(shí)數(shù)，試比較a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ca的大?。?/span>[解]　∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.11．(多選)若<<0，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|ABC　[因?yàn)?/span><<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正確，因?yàn)?/span>b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D錯(cuò)誤．故選ABC.]12．(多選)設(shè)a>b>1，c<0，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．> B．ac<bcC．a(b－c)>b(a－c) D．>ABC　[對(duì)于A，∵a>b>1，c<0，∴－＝>0，∴>，故A正確；對(duì)于B，∵a>b>1，c<0，∴ac<bc，故B正確；對(duì)于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正確；對(duì)于D，∵<0，a>b>1，∴<，故D錯(cuò)誤．]13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．3≤z≤8　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z的取值范圍是3≤z≤8.]14．若x＞y，a＞b，則在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤＞這五個(gè)式子中，恒成立的不等式的序號(hào)是________．②④　[若x＞y，a＞b，則－x＜－y，∴a－y＞b－x.若x＞y, a＞b，則－b＞－a，∴x－b＞y－a，若x＞y，a＞b，則推不出ax＞by.若x＞y，a＞b，推不出＞.綜上，①③⑤錯(cuò)誤，②④正確．]15．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|.(1)求證：b＋c>0；(2)求證：<；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足<所求式<？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出該代數(shù)式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]　(1)證明：因?yàn)閨b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0.(2)證明：因?yàn)?/span>c<d<0，所以－c>－d>0.又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，所以(a－c)2>(b－d)2>0，所以0<<，  ①因?yàn)?/span>a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0， ????????????? ②所以由不等式同向同正可乘性，①②相乘得<.(3)因?yàn)?/span>a＋d>b＋c>0,0<<，所以<<或<<.(只要寫(xiě)出其中一個(gè)即可)  

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.1 不等式性質(zhì)

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