指數(shù)冪的拓展 指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)通過(guò)對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，且a≠1；m，n為整數(shù)，且n>0)，實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1；x∈R)含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)冪的拓展過(guò)程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴(yán)重的雜草之一，它侵害田地的面積S(單位：hm2)與年數(shù)t(年)滿足關(guān)系式S＝S0·1.057t，其中S0(單位：hm2)為侵害面積的初始值．如果求10年后侵害的面積，則S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面積，就需要計(jì)算S＝S0·1.05715.5.[問(wèn)題]　這個(gè)指數(shù)運(yùn)算與初中所學(xué)的指數(shù)運(yùn)算有什么差異呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)　指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)1．正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)定義：給定正數(shù)a和正整數(shù)m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正數(shù)b，使得bn＝am，則稱b為a的次冪，記作b＝a.這就是正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．(2)性質(zhì)：①當(dāng)k是正整數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a滿足：a＝a；②a＝．2．負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給定正數(shù)a和正整數(shù)m，n(n＞1，且m，n互素)，定義a－＝＝ .3．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．4．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)；(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)；(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)．1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a不可理解為個(gè)a相乘，它是根式的一種寫(xiě)法．2．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)．3．把根式 化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式時(shí)，不要輕易對(duì)進(jìn)行約分．4．在冪和根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算中，一般將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．　　　　 為什么分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)規(guī)定a>0?提示：①當(dāng)a<0時(shí)，若n為偶數(shù)，m為奇數(shù)，則a，a無(wú)意義；②當(dāng)a＝0時(shí)，a0無(wú)意義．1.可化為(　　)A．a　　　　　　　 B．aC．a  D．－a解析：選A　＝a.2．3可化為(　　)A.  B．C.  D.解析：選C　3＝＝.3．計(jì)算：×(2)－2＝________．解析：×(2)－2＝(2－3) ×＝2×＝2×2－3＝21－3＝2－2＝＝.答案：4．若10α＝2，10β＝3，則10α＋β＝________，10α－β＝________，10－3α＝________．解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝＝.10－3α＝(10α)－3＝2－3＝.答案：6　　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化[例1]　(鏈接教科書(shū)第77頁(yè)習(xí)題B組1題)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：①·(a<0)；②(b<0)；③(x≠0)．[解]　①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a<0)．②原式＝(－b) ＝(－b)(b<0)．③原式＝＝＝x (x≠0)．根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子；(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．)　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．計(jì)算 的結(jié)果為(　　)A．8　　　　　　　　　 B．4C．2  D.解析：選A　由題意可得 ＝16＝(24)＝23＝8.故選A.2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為(　　)A．a  B．aC．a  D．a解析：選A　＝＝a＝a，故選A.指數(shù)冪的運(yùn)算[例2]　(鏈接教科書(shū)第78頁(yè)例1)計(jì)算下列各式：(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．[解]　(1)原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.指數(shù)冪運(yùn)算的解題通法(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算；(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)；(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，并盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答；(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)冪，形式力求統(tǒng)一．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]　計(jì)算下列各式(式子中字母都是正數(shù))：(1)0.027＋－；(2)÷.解：(1)0.027＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.條件求值問(wèn)題[例3]　(鏈接教科書(shū)第80頁(yè)習(xí)題B組3題)已知a＋a＝，求下列各式的值；(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解]　(1)將a＋a＝兩邊平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)將a＋a－1＝3兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[母題探究](變?cè)O(shè)問(wèn))在本例條件下，則a2－a－2＝________．解析：令y＝a2－a－2，兩邊平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.答案：±3解決條件求值問(wèn)題的一般方法對(duì)于條件求值問(wèn)題，一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再將字母取值代入求值．但有時(shí)字母的取值未知或不易求出，這時(shí)可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?/span>，構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu)，從而通過(guò)“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值．利用“整體代入法”求值時(shí)常用的變形公式如下：(1)a±2ab＋b＝；(2)a－b＝；(3)a＋b＝；(4)a－b＝.(其中a>0，b>0)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]　已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.∵x<y，∴x－y＝－6.∴＝＝＝＝－.1．(多選)下列運(yùn)算結(jié)果中，一定正確的是(　　)A．a3·a4＝a7  B．(－a2)3＝a6C.＝a  D.＝－π解析：選AD　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正確；當(dāng)a＝1時(shí)，(－12)3＝－1，顯然不成立，故B不正確；＝|a|，故C不正確； ＝－π，故D正確．故選A、D.2．計(jì)算：(－27)×9＝(　　)A．－3  B．－C．3  D.解析：選D　(－27)×9＝[(－3)3]×(32) ＝(－3)2×3－3＝9×＝，故選D.3．若a2x＝－1，則等于(　　)A．2－1  B．2－2C．2＋1  D.＋1解析：選C　＝＝a2x＋a－2x＋1＝－1＋＋1＝2＋1.4．若10x＝3，10y＝，則102x－y＝________．解析：102x－y＝＝＝＝3－1＝.答案：5．已知＋b＝1，則＝________．解析：由＋b＝1，得＝32a×31×3＝3＝3.答案：3 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2 指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

版本： 北師大版 (2019)

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