
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠ 0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中x是自變量,a,b,c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
(1)等號左邊是變量y,右邊是關(guān)于自變量x的整式;(2)a,b,c為常數(shù),且a≠ 0;(3)等式的右邊最高次數(shù)為 2,可以沒有一次項和常數(shù)項,但不能沒有二次項.
關(guān)于y軸對稱,對稱軸是直線x=0
頂點坐標是原點(0,0)
當x=0時,y最小值=0
當x=0時,y最大值=0
在對稱軸左側(cè)遞減在對稱軸右側(cè)遞增
在對稱軸左側(cè)遞增在對稱軸右側(cè)遞減
2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>0 開口向上
a < 0 開口向下
在對稱軸左邊,x↗ y↘;在對稱軸右邊, x↗ y↗
在對稱軸左邊,x↗ y↗;在對稱軸右邊, x↗ y↘
3.二次函數(shù)圖像的平移
4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c的關(guān)系
5.二次函數(shù)表達式的求法
6.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
1.二次函數(shù)的應用包括以下兩個方面 (1)用二次函數(shù)表示實際問題變量之間的關(guān)系,解決最大化問題(即最值問題); (2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.
2.一般步驟:(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間 的函數(shù)關(guān)系;(2)列出函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量的取值范圍;(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實際問題;(4)檢驗結(jié)果的合理性,是否符合實際意義.
【例1】 拋物線y=x2-2x+3的頂點坐標為________.
【解析】方法一:配方,得y=x2-2x+3=(x-1)2+2,則頂點坐標為(1,2).方法二代入公式 , ,則頂點坐標為(1,2).
【點睛】解決此類題目可以先把二次函數(shù)y=ax2+bx+c配方為頂點式y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k的形式,得到:對稱軸是直線x=h,最值為y=k,頂點坐標為(h,k);也可以直接利用公式求解.
對于y=2(x-3)2+2的圖像下列敘述正確的是( )A.頂點坐標為(-3,2) B.對稱軸為y=3C.當x≥3時,y隨x的增大而增大 D.當x≥3時,y隨x的增大而減小
【例2】二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像如圖所示,若點A(x1,y1),B(x2,y2)在此函數(shù)圖像上,且x1
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