專題06  拋物線小題專項(xiàng)練習(xí)一、鞏固基礎(chǔ)知識1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，焦點(diǎn)坐標(biāo)，故選A。2．若拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由題意知，則準(zhǔn)線為，即，∴，則，故選C。3．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則的值為(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】橢圓左焦點(diǎn)，則，，故選A。4．若拋物線上一點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離，則點(diǎn)到軸的距離(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，到軸距離，故選D。5．已知點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為，則點(diǎn)到軸的距離為        。【答案】【解析】設(shè)到軸的距離為，則到焦點(diǎn)的距離為，則，，則的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)到軸的距離為。6．已知拋物線()的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，若該拋物線在其上一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為        。【答案】【解析】雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，則拋物線焦點(diǎn)，則，則，設(shè)，由得在處的切線斜率為，切線方程為，令得，令得，則，，則的縱坐標(biāo)為。7．設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)。若，則直線的斜率等于        。【答案】【解析】設(shè)：，代入拋物線化簡得，設(shè)、、，則，，∴，，由得，解得。二、擴(kuò)展思維視野8．已知拋物線()與雙曲線：(，)的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)、(、異于原點(diǎn))，拋物線的焦點(diǎn)為。若雙曲線的離心率，，則(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】，，，則漸近線方程，代入拋物線得或，故，則，則，故選B。9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn)，若的垂直平分線與軸的交點(diǎn)是，則的最大值為(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，、，，即，又，，則，即，又，則，∴線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴(當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取等號)，即的最大值為，故選C。10．拋物線：()的焦點(diǎn)與雙曲線：的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)。若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】：，焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則直線的方程為，雙曲線漸近線方程，對求導(dǎo)，則，設(shè)，則，即，代入拋物線，又點(diǎn)在上，則，解得，故選D。11．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，則的最小值為(  )。A、B、C、 D、【答案】D【解析】設(shè)參數(shù)、，，故選D。12．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則拋物線的方程是         。【答案】【解析】設(shè)()，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則，解得，則拋物線方程為。13．已知是的焦點(diǎn)，、是拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到該拋物線準(zhǔn)線的距離為         。【答案】【解析】，準(zhǔn)線，設(shè)、，，∴，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段中點(diǎn)到該拋物線準(zhǔn)線的距離為。14．拋物線有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出。如圖，已知拋物線()，一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對稱軸方向射向拋物線上的點(diǎn)，反射后射向拋物線上的點(diǎn)，再反射后又沿平行于拋物線的對稱軸方向射出，設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則        。【答案】【解析】必經(jīng)過拋物線交點(diǎn)，當(dāng)存在斜率，則設(shè)()，即，代入拋物線方程中整理得，∴，當(dāng)不存在斜率時，代入拋物線得，∴，綜上。三、提升綜合素質(zhì)15．一動圓過點(diǎn)，圓心在拋物線上，且該圓恒與定直線相切，則直線的方程為(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，焦點(diǎn)，∴定點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，要使圓過點(diǎn)且與定直線相切，需圓心到定點(diǎn)距離與其到定直線距離相等，則為拋物線準(zhǔn)線，方程為，故選A。16．若拋物線：()的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，、是準(zhǔn)線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)。若，，且三角形的面積為，則的值是(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由對稱性知是等腰直角三角形，，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，∵，∴，∴，故選B。17．已知拋物線()的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩個點(diǎn)，若是邊長為的正三角形，則的值是(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，、()，，，則，又，則，，，解得，故選C。18．已知等邊三角形的頂點(diǎn)是拋物線：()的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且，則點(diǎn)(  )。A、在開口內(nèi)B、在上C、在開口外D、與值有關(guān)【答案】B【解析】設(shè)，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，是邊長為的等邊三角形，即，∴，∴，∴，代入()中得點(diǎn)在拋物線上，故選B。19．拋物線()的焦點(diǎn)為，已知、為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為        。【答案】【解析】設(shè)，，連接、，由拋物線定義得，，，在梯形中，，由余弦定理得，，配方得，又∵，∴，則，∴。20．已知、為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足(為拋物線的焦點(diǎn))，延長、分別交拋物線于點(diǎn)、，則四邊形面積的最小值為        。【答案】【解析】設(shè)、，則直線的斜率一定存在，有對稱性不妨設(shè)，過焦點(diǎn)，則直線方程，代入拋物線化簡得，，，，∵，則直線的斜率，從而的方程為，同理，，當(dāng)時等號成立，∴四邊形面積的最小值為。 

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