專(zhuān)題05  雙曲線小題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)一、鞏固基礎(chǔ)知識(shí)1．雙曲線：的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】漸近線方程為，即，又頂點(diǎn)坐標(biāo)，則頂點(diǎn)到漸近線的距離為，故選C。2．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則的方程是(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，，，故選C。3．已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上，若直線斜率的取值范圍是，則直線斜率的取值范圍是(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】、，設(shè)，則，則，則，則，故選B。4．“”是“方程表示雙曲線”的(  )。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既非充分也非必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，方程表示雙曲線，當(dāng)時(shí)，，方程也表示雙曲線，故選A。5．若雙曲線：(，)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，，，該雙曲線的漸近線方程為，故選A。6．若，定義使方程“”表示的曲線以為漸近線的角為“等軸角”，則等軸角       。【答案】或【解析】由題意可知，又，則或。7．若雙曲線：(，)的一條漸近線的傾斜角為，離心率為，則的最小值為       。【答案】【解析】，則，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，則最小值為。二、擴(kuò)展思維視野8．已知圓經(jīng)過(guò)雙曲線：的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在雙曲線上，則圓心到雙曲線的中心的距離為(  )。A、或B、或C、D、【答案】D【解析】由雙曲線性質(zhì)可得圓經(jīng)過(guò)雙曲線同側(cè)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，則圓心的橫坐標(biāo)為，代入雙曲線，則解得，∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故選D。9．已知點(diǎn)是雙曲線：(，)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是右頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則雙曲線的離心率的的取值范圍是(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性中，若是銳角三角形，則為銳角，即在中，得，又，，則，即，兩邊都除以得，即，，即，又，則，故選A。10．設(shè)、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，即，，∴，在中，∴，又，∴，，∴，，故選C。11．已知雙曲線：的離心率為，則實(shí)數(shù)的值為       。【答案】【解析】，，解得。12．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交雙曲線的左支于、兩點(diǎn)，則的最小值為       。【答案】【解析】，，兩式相加得，，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取等號(hào)，最小值為。13．設(shè)、是雙曲線：(，)的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)。若，且的最小內(nèi)角為，則的離心率為         。【答案】【解析】設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，則，又，則，，，∵的最小內(nèi)角，由余弦定理得，即，∴，∴，。14．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)(，，…)在其右支上，且滿足，，則的值是       。【答案】【解析】，，∴，即，又，∴，即，∴，又恒成立，則，則數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，則。三、提升綜合素質(zhì)15．已知是雙曲線：()的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，則的大小不可能是(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，兩條漸近線傾角為、，則或，故選C。16．已知點(diǎn)、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的一支與點(diǎn)、兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】為等邊三角形，則，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，則，則，，，故選A。17．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決。如：與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題。結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解為         。【答案】【解析】，其幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之差的絕對(duì)值為，∴動(dòng)點(diǎn)即為雙曲線與的交點(diǎn)，則，即，∴。18．已知雙曲線：(，)離心率為，、分別為左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若、、的斜率分別為、、，設(shè)，則的取值范圍為         。【答案】【解析】，則，設(shè)，則，，又雙曲線的漸近線方程為，∴，∴。19．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)，若，則滿足條件的的條數(shù)為       。【答案】【解析】∵，，，則，若、都在右支上，當(dāng)垂直于軸時(shí)，將代入得，則，滿足，若、分別在兩支上，∵，∴兩頂點(diǎn)的距離為，∴滿足的直線有條，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，綜上有條。20．若雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于、兩點(diǎn)，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則       。【答案】【解析】∵，，∴，，，，∵，∴，∴。21．如圖所示，在半徑為的半圓內(nèi)有一內(nèi)接梯形，它的下底為圓的直徑，上底的端點(diǎn)在圓周上，若雙曲線以、為焦點(diǎn)，且過(guò)、兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形周長(zhǎng)最大時(shí)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為       。【答案】【解析】，設(shè)，作于點(diǎn)，則，，∴，則梯形周長(zhǎng)，當(dāng)，即時(shí)周長(zhǎng)有最大值，這時(shí)，，，∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為。

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