1．已知雙曲線：(，)的一條漸近線方程是，它的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵雙曲線：(，)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，焦點(diǎn)在軸上，
∵漸近線方程是，∴，令()，則，
∴，∴，∴，，∴雙曲線方程為，故選D。
2．已知點(diǎn)為拋物線()上一點(diǎn)，則到其焦點(diǎn)的距離為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】把代入拋物線中，解得，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，
∴由拋物線的定義得，故選A。
3．的頂點(diǎn)分別為、、，則邊上的高的長為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵、、，則，，
∵點(diǎn)在直線上，∴設(shè)，
則，
又∵，則，解得。
∴，則，故選C。
4．如果、、…、是拋物線：上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為、…、，是拋物線的焦點(diǎn)，若，則( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由題可知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
由拋物線定義可知、、…，
故，故選A。
5．正方體中，、分別為、上的點(diǎn)，且滿足，，則異面直線與所成角的余弦值為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】以為原點(diǎn)，、、為軸、軸、軸建系，設(shè)，
則由、可得：、、、，
∴，，則，
又與所成角為銳角，
則異面直線與所成角的余弦值為，
故選C。
6．如圖，正方體的棱長為，、分別是棱、上的點(diǎn)，若平面，則與的長度之和為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】以、、為、、軸建系，設(shè)，，
則，，，，
∴，，由于平面，
∴，
故與的長度之和為，故選D。
7．如圖，邊長為的正方形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，將、、分別沿、、折起，使得、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若四面體的四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】四面體為底面為等腰，頂點(diǎn)為的三棱錐，
則，，，，
則，，則平面，
又，則為直角三角形，，
以為原點(diǎn)如圖建系，則，，，，
設(shè)四面體的外接圓的圓心為，則，
由空間兩點(diǎn)間距離公式知：，，
，解得，，，
∴半徑為，
∴該球的表面積為，故選B。
8．已知、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)，且，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】設(shè)，，，由題意得，，
由雙曲線定義得，∴，
由余弦定理得，
，
當(dāng)時，面積的最大值是，故選B。
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。
9．若、、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是( )。
A、
B、若，則
C、若，則
D、若，則
【答案】ACD
【解析】是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，A錯，
若，則與方向相反，∴，B對，
若，則，即，不能推出，C錯，
若，則，與方向不一定相同，不能推出，D錯，
故選ACD。
10．若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實(shí)數(shù)( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】BD
【解析】∵，∴，解得或，
時，符合，當(dāng)時，符合，故選BD。
11．如圖所示，設(shè)、分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且、，其中正確的命題為( )。
A、三棱錐的體積為定值
B、異面直線與所成的角為
C、平面
D、直線與平面所成的角為
【答案】AD
【解析】以為原點(diǎn)建系，設(shè)，則，
A選項(xiàng)，為定值，故對，
B選項(xiàng)，異面直線與所成的角與直線與所成的角為同一個角，
即異面直線與所成的角的平面角為，故錯，
C選項(xiàng)，，平面即平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角的平面角為，
則，則，故錯，
D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知直線與平面所成的角為，故對，
故選AD。
12．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】AB
【解析】(1)當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，
由題意可知，，，，
則，，，
代入得，
即，解得，則，
(2)當(dāng)時，設(shè)，，設(shè)，
則，，
由題意可知，，，，
則，，，
則，
則，
代入得，即，解得，則，
故選AB。
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知、為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且內(nèi)切圓的周長等于，若滿足條件的點(diǎn)恰好有兩個，則 。
【答案】
【解析】由題意得內(nèi)切圓的半徑等于，因此的面積為，
即，∵滿足條件的點(diǎn)恰好有兩個，
∴為橢圓短軸端點(diǎn)，即，∴，而，∴，∴。
14．已知直線：、：，當(dāng)時，直線、與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，則四邊形面積的最小值為 ，此時實(shí)數(shù) 。（本小題第一個空3分，第二個空2分）
【答案】
【解析】直線的必過點(diǎn)為，斜率為，在軸上的截距為，且
直線的必過點(diǎn)也為，斜率為，
在軸上的截距為，且
∴四邊形的面積，
∴四邊形面積的最小值為，此時。
15．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是 。
【答案】
【解析】∵，
∴
，
∴。
16．已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為 。
【答案】
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，
∴的周長為，
由于是定值，要使的周長最小，則最小，
即、、共線，∵，，
∴直線的方程為，即，
代入整理得：，
解得或舍)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴。
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）若直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且垂直于直線。
(1)求直線的方程；
(2)求直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線方程。
【解析】(1)由解得，由于點(diǎn)的坐標(biāo)是， 2分
又∵直線的斜率為，
由直線與垂直可得， 4分
故直線的方程為：，即， 5分
(2)又直線的方程在軸、軸上的截距分別是與， 7分
則直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線在軸、軸上的截距分別是與， 9分
所求直線方程為，即。 10分
18．（12分）已知等腰梯形如圖1所示，其中，、分別為、的中點(diǎn)，且，，為中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形按所在直線折起，使平面平面，如圖2所示，是線段上一動點(diǎn)，且。
(1)當(dāng)時，求證：平面；
(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值。
【解析】(1)證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接， 1分
由題意，平面平面，
∴平面，且， 2分
∵，，∴平面，∴，由， 3分
∴平面，又，
∴，即，， 4分
則，由平面，平面，
∴平面； 5分
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，如圖建系，
則，，，，，， 6分
設(shè)平面的法向量分別為，、
則，取，則、，即， 8分
設(shè)平面的法向量分別為，、
則，取，則、，即， 10分
設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為銳角，
則，
∴二面角的余弦值為。 12分
19．（12分）設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于、兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)。
(1)證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于、兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于、兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍。
【解析】(1)證明：∵，，故，
∴，故， 1分
又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，∴， 2分
由題設(shè)得，，，
∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)：()，， 3分
則、，∴，則軌跡的方程為()； 4分
(2)當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為()，、，
由得：，恒成立， 6分
則，，∴， 7分
過點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為， 8分
∴，
故四邊形的面積， 9分
可得當(dāng)與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為， 10分
當(dāng)與軸垂直時，其方程為，
，，四邊形的面積為， 11分
綜上，四邊形面積的取值范圍為。 12分
20．（12分）四棱錐中，平面，()，，，。
(1)若，，為的中點(diǎn)，求證：；
(2)若，，求平面與平面所成角的大小。
【解析】(1)證明：連接，中，，，，
由余弦定理：，解得， 2分
∴為直角三角形，，∵，∴，
又∵平面，∴，∵，
∴平面， 3分
∴平面，∴平面平面，
又∵，為中點(diǎn)，∴， 4分
∵平面平面，∴平面，
又∵平面，∴； 5分
(2)由，，可得，取中點(diǎn)，則為矩形，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以、、所在直線為、、軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、， 7分
平面，∴是平面的法向量，， 8分
設(shè)平面的法向量為，
∴，，，
令，可得，解得， 10分
設(shè)平面與平面所成角的平面角為，∴，
∴平面與平面所成角為。 12分
21．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面，， ，，在邊上。
(1)求證：平面平面；
(2)當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的余弦值；
(3)若二面角的大小為，求的長。
【解析】(1)證明：∵底面是平行四邊形，∴，
又，，滿足，∴， 1分
又∵底面，∴，∴平面， 2分
∵平面，∴平面平面； 3分
(2)以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、， 4分
∵是邊上的中點(diǎn)，∴，
則，， 5分
設(shè)直線與所成角的平面角為，
∴； 6分
(3)由，，三點(diǎn)共線，得，且，
從而有，， 7分
設(shè)平面的法向量為，∴，
令，則，，可取， 10分
又平面的法向量可取，二面角的大小為，
∴，∴，∴，∴。 12分
22．（12分）已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)(是圓心)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，線段的中垂線分別與、交于、兩點(diǎn)。
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)直線經(jīng)過，與拋物線交于、兩點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過時，求。
【解析】(1)由題意得，，圓的半徑為，且， 1分
∴，
∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓， 2分
設(shè)：()，則、，∴，
則軌跡的方程為； 3分
(2)當(dāng)直線與軸垂直時，可取，，又，此時，
∴以為直徑的圓不經(jīng)過，不滿足條件， 4分
當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)：，由，
得，恒成立，∴恒有兩個交點(diǎn)， 6分
設(shè)，，則，， 7分
∵以為直徑的圓經(jīng)過，∴，
又，∴，
即，解得， 9分
由得：，∵直線與拋物線有兩個交點(diǎn)，∴，
設(shè)、，則，， 11分
∴。 12分

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