1．已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和，求滿足的最小的的值。
【解析】(1)設的公差為()，由條件得：，，，
解得，，∴；
(2)，
∴，
由得，∴滿足的最小值的的值為。
2．已知等比數(shù)列的前項和為，且()。
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和。
【解析】(1)當時，，
當時，，即，
∴等比數(shù)列的公比是，∴，即，故，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，；
(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，
則，
，
兩式相減得，
∴。
3．已知數(shù)列滿足，為的前項和，，。數(shù)列為等比數(shù)列且，，。
(1)求的值；
(2)記，其前項和為，求證：。
【解析】(1)由得數(shù)列為等差數(shù)列，設公差為，則由，得：
，解得，
∴，∴，，
由且得；
(2)設的公比為，由(1)可知，∴，
∴，
，
易知隨著的增大而增大，∴。
4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和是，且()。
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設()，求數(shù)列的前項和。
【解析】(1)，，，
則，，，則，
解得，，，∴；
(2)，，設，
則①，
②，
①-②得
，
∴。
5．已知等差數(shù)列的前項和為，，、、成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的公差不為，求證：(，)。
【解析】(1)∵是等差數(shù)列，設公差為，∴，，
∵、、成等比數(shù)列，∴，∴，
解得或，∴或；
(2)∵公差不為，∴，，
令，
當時，
原式
。
二、擴展思維視野
6．已知數(shù)列的前項和為，，，且(，)。
(1)設，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和。
【解析】(1)由已知得，即()，
∴()，
又∵，且，故數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列；
(2)由(1)知，則，∴，
設，
，
兩式相減得：，
解得，
∴數(shù)列的前項和。
7．在公差不為的等差數(shù)列中，、、成等比數(shù)列。
(1)已知數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的通項公式；
(2)若，且數(shù)列的前項和為，若，求數(shù)列的公差。
【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為()，由、、成等比數(shù)列可得：，
即，即，
由數(shù)列的前項和為得：，即，解得，，
∴數(shù)列的通項公式為：；
(2)∵，
∴數(shù)列的前項和，
又由(1)可知，
即，
即，即，解得或。
8．已知等差數(shù)列的前項和為()，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，。
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)令，設數(shù)列的前項和，求。
【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為()，
∵，，， ，∴，
∴，，∴，；
(2)由(1)可得，，
則，即，
當為奇數(shù)時，
，
當為偶數(shù)時，
。
9．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為，設是數(shù)列的前項和，若、、是數(shù)列的前項，且。
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，求實數(shù)。
【解析】(1)設的公差為，且，設的公比為，且，
∵、、是數(shù)列的前項，則，
即，化簡得，
又∵，
化簡得，解得，，∴，
∵、、是數(shù)列的前項，則，，
∴，
(2)由(1)可知，數(shù)列為等差數(shù)列，即數(shù)列為等差數(shù)列，
設，則，，，則，
(注意：正常數(shù)列是不允許代數(shù)的，但當已知數(shù)列是等差或等比的時候就可以代數(shù)了)
則，化簡得，解得、，
當時，，是首項為，公差為的等差數(shù)列，可取，
當時，，是首項為，公差為的等差數(shù)列，可取，
綜上實數(shù)可取或。
三、提升綜合素質
10．設為數(shù)列的前項和，已知，且。
(1)求的通項公式；
(2)若點在函數(shù)的圖像上，求證：。
【解析】(1)∵，且，∴且，
∴數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，
∴，
解得，∴；
(2)由(1)可得，
∵點在函數(shù)的圖像上，∴，
∴，
∴，
又∵，∴，∴原式得證。
11．已知數(shù)列中，，，且。
(1)求證：數(shù)列和都是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和。
【解析】(1)證明：∵，∴，∴，
∴，∵，
∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴；
(2)由(1)知①；②；
由①②解得，驗證，適合上式，
∴，
。
12．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且。
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前項和為，求。
【解析】(1)∵，∴，即，
當時，，即，解得，
當時，，
化簡得，
又數(shù)列各項均為正數(shù)，∴，∴，
∴數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，
∴；
(2)設，
由(1)得，
則

。

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