一、選擇題(每小題3分，共24分)
1．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是( )．
A．6,7,8 B．5,6,7 C．4,5,6 D．3,4,5
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a∶b＝3∶4，c＝10，則△ABC的面積為( )．
A．12 B．24 C．28 D．30
3．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的△ABC中，邊長為有理數(shù)的邊數(shù)為( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6 cm，BC＝8 cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于( )．
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，則下列結論錯誤的是( )．
A．△ABC是直角三角形，且∠B＝90°
B．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
C．△ABC是直角三角形，且AC是它的斜邊
D．△ABC的面積為60
6．下列命題的逆命題是真命題的是( )．
A．若a＝b，則|a|＝|b|B．全等三角形的周長相等
C．若a＝0，則ab＝0D．有兩邊相等的三角形是等腰三角形
7．三角形的三邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝2ab，則此三角形是( )．
A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形
8．如圖所示，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為( )．
A．4 B．6 C．16 D．55
二、填空題(每小題4分，共20分)[來源:數(shù)理化網]
9．如圖，一棵樹在離地面3米處斷裂，樹的頂部落在離底部4米處，樹折斷之前有__________米高．
10．命題“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”的逆命題是__________，它是__________命題．
11．如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處．若AE＝a，AB＝b，BF＝c，請寫出a，b，c之間的一個等量關系為__________．
12．在同一地平面上有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距5米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則至少飛了________米．
13．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20 dm,3 dm,2 dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是__________dm.
三、解答題(共56分)
14．(本小題滿分10分)如圖所示，隔湖有A，B兩點，從與BA方向成直角的BC方向上取一個點C，測得CA＝50 m，CB＝40 m，試求A，B兩點間的距離．
15．(本小題滿分10分)為了減少交通事故的發(fā)生，“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街道上行駛速度不得超過70 km/h.如圖，一輛小汽車在一條由東向西的城市街道上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路邊車速監(jiān)測儀的正前方30 m處，過了2 s后，測得小汽車與車速監(jiān)測儀的距離為50 m，問這輛小汽車超速了嗎？
16．(本小題滿分12分)如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點，N為AD上的一點，且AN＝AD，試猜測△CMN是什么三角形，請證明你的結論．
17．(本小題滿分12分)[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關系”(勾股定理)帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言．
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述)．
圖1圖2
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a，b為底，以a＋b為高的直角梯形(如圖2)，請你利用圖2，驗證勾股定理．
[知識拓展]
利用圖2中的直角梯形，我們可以證明.其證明步驟如下：
∵BC＝a＋b，AD＝__________，
又∵在直角梯形ABCD中有BC__________AD(填大小關系)，即__________，
∴.
18．(本小題滿分12分)如圖，正方形網格MNPQ中，每個小方格的邊長都相等，正方形ABCD的頂點在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點上．
(1)設正方形MNPQ網格內的每個小方格的邊長為1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；
②正方形ABCD的面積．
(2)設MB＝a，BQ＝b，利用這個圖形中的直角三角形和正方形的面積關系，你能驗證已學過的哪一個數(shù)學公式或定理嗎？
參考答案
1. 答案：D
2. 答案：B 設a＝3x(x＞0)，則b＝4x.根據(jù)勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝102.求得△ABC的兩直角邊的長分別為6和8，其面積為24.
3. 答案：B 由勾股定理，得AB＝，BC＝，AC＝＝5.由此可以看出，只有AC的長度是有理數(shù)．
4. 答案：B 由勾股定理得，AB＝＝10 cm，由折疊知AC＝AE＝6 cm，設CD＝DE＝x cm，則BE＝AB－AE＝4 cm，DB＝(8－x) cm.
在Rt△DEB中，DE2＋BE2＝DB2，
即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.故CD＝3 cm.
5. 答案：B 因為AB2＋BC2＝82＋152＝172＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且AC為斜邊，AC所對的角∠B＝90°，△ABC的面積＝AB·BC＝60，無法推出∠A＝60°.
6. 答案：D A的逆命題是若|a|＝|b|，則a＝b.假命題；B的逆命題是周長相等的三角形是全等三角形．假命題；C的逆命題是若ab＝0，則a＝0.假命題；D的逆命題是等腰三角形的其中兩邊相等．真命題．
7. 答案：B (a＋b)2－c2＝2ab，則a2＋b2＋2ab－c2＝2ab，
即a2＋b2＝c2，此三角形是直角三角形．
8. 答案：C 由題意易得圖形中的兩個直角三角形是全等的．
所以由勾股定理可得Sb＝Sa＋Sc＝5＋11＝16.[來源:數(shù)理化網]
9. 答案：8
10. 答案：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30° 真 把題中的結論作為條件，把條件作為結論，可知此命題為真命題．
11. 答案：c2＝a2＋b2 在Rt△A′B′E中，A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b，
BF＝B′F＝B′E＝c，∴c2＝a2＋b2.
12. 答案：
13. 答案：25 如圖，由題意知AC＝20，BC＝15，則AB＝＝25.
所以最短路程是25 dm.
14. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝30(m)．
答：A，B兩點間的距離是30 m.
15. 解：小汽車超速了．
理由：由勾股定理，得BC＝＝40，
所以小汽車的速度是40÷2＝20(m/s)．
因為20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，
所以小汽車超速了．
16. 解：猜想△CMN是直角三角形．
設正方形ABCD的邊長為4a，
則AM＝2a，AN＝a，DN＝3a.
在Rt△AMN中
由勾股定理得，MN2＝5a2.同理可得CN2＝25a2，
CM2＝20a2.
所以MN2＋CM2＝CN2.
所以△CMN是直角三角形．
17. 解：[定理表述]
如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.
[嘗試證明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∠EDC＋∠DEC＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°.
∴∠AED＝90°.
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，
∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.
整理，得a2＋b2＝c2.
[知識拓展]
＜ a＋b＜
18. 解：(1)①S△ABQ＝AQ·BQ＝×3×4＝6，
S△BCM＝BM·CM＝×3×4＝6，
S△CDN＝CN·DN＝×3×4＝6，
S△ADP＝DP·AP＝×3×4＝6.
②S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP＝72－6－6－6－6＝25.
(2)驗證了勾股定理，證明過程如下：
設AB＝c，
S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP，即c2＝(a＋b)2－ab－ab－ab－ab，
∴c2＝a2＋b2，
即直角三角形中兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．

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