專題強(qiáng)化練3　求函數(shù)的最大(小)值一、選擇題1.()某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車,銷售x輛該品牌車的利潤(單位:萬元)分別為L1=-x2+21x和L2=2x.若該公司在兩地共銷售15輛該品牌車,則能獲得的最大利潤為????????????? (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.90萬元    B.60萬元       C.120萬元     D.120.25萬元2.()已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是????????????? (　　)A.[160,+∞)                B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)      D.(-∞,20]∪[80,+∞)3.(多選)()已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,關(guān)于f(x)的最大(小)值有如下結(jié)論,其中正確的是(　　)A. f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最小值為1B. f(x)在區(qū)間[-1,2]上既有最小值,又有最大值C. f(x)在區(qū)間[2,3]上有最小值2,最大值5D. f(x)在區(qū)間[0,a](a>1)上的最大值為f(a)4.(2020廣西南寧三中高一上月考,)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=則f(x)的值域是(　　)A.∪(1,+∞)    B.[0,+∞)C.        D.∪(2,+∞)5.(多選)()已知函數(shù)f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,構(gòu)造函數(shù)F(x)=那么關(guān)于函數(shù)y=F(x)的說法正確的是????????????? (　　)A.y=F(x)的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)        B.在(1,+∞)上單調(diào)遞增C.有最大值1,無最小值                 D.有最大值3,最小值1二、填空題6.(2021江蘇徐州一中高一上期中,)某興趣小組進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長為1的正三角形紙片沿平行于三角形一邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=×.(1)當(dāng)梯形的腰長為時(shí),S的值為　　　　; (2)S的最小值是　　　　. 7.(2020黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上月考,)已知函數(shù)y=-x2+ax-在區(qū)間[0,1]上的最大值是,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.  三、解答題8.(2021江蘇徐州一中高一上期中,)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)=6x+5.(1)求f(x)的解析式;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)+2x2-x在區(qū)間[-1,a]上的最大值.         (2021安徽合肥八中高一上期中,)已知函數(shù)f(x)=ax+2(a>0),g(x)=,若?x1∈[-1,2],?x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.               10.(2020山東臨沂高一上期末素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè),)某地某路無人駕駛公交車發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)滿足5≤t≤20,t∈N.經(jīng)測(cè)算,該路無人駕駛公交車載客量p(t)與發(fā)車時(shí)間間隔t滿足:p(t)=其中t∈N.(1)求p(5),并說明p(5)的實(shí)際意義;(2)若該路公交車每分鐘的凈收益y=-10(單位:元),問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí),該路公交車每分鐘的凈收益最大?并求每分鐘的最大凈收益.      11.()請(qǐng)先閱讀下列材料,然后回答問題.對(duì)于問題“已知函數(shù)f(x)=,問函數(shù)f(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由”,一個(gè)同學(xué)給出了如下解答:令u=3+2x-x2,則u=-(x-1)2+4,當(dāng)x=1時(shí),u有最大值,umax=4,顯然u沒有最小值.故當(dāng)x=1時(shí), f(x)有最小值,沒有最大值.(1)你認(rèn)為上述解答是否正確?若不正確,說明理由,并給出正確的解答;(2)試研究函數(shù)y=的最值情況;(3)對(duì)于函數(shù)f(x)=(a>0),試研究其最值情況.         答案全解全析一、選擇題1.C　設(shè)公司在甲地銷售m輛該品牌車,則在乙地銷售(15-m)輛,0≤m≤15,且m∈N,設(shè)公司獲利為L萬元,則L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-+30+,∴當(dāng)m=9或m=10時(shí),L取得最大值120,即該公司在兩地共銷售15輛該品牌車時(shí),能獲得的最大利潤為120萬元.故選C.2.C　由于函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值,因此函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間(5,20)上是單調(diào)函數(shù).函數(shù)f(x)=4x2-kx-8的圖象開口向上,且對(duì)稱軸方程為x=,因此≤5或≥20,所以k≤40或k≥160.3.BC　函數(shù)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=1.在選項(xiàng)A中,因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最小值為f(0)=2,A錯(cuò)誤;在選項(xiàng)B中,因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最小值為f(1)=1,又因?yàn)?/span>f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)>f(2),所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為f(-1)=5,B正確;在選項(xiàng)C中,因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為f(2)=2,最大值為f(3)=5,C正確;在選項(xiàng)D中,當(dāng)1<a≤2時(shí), f(x)在區(qū)間[0,a]上的最大值為f(0)=2,當(dāng)a>2時(shí), f(x)在區(qū)間[0,a]上的最大值為f(a),D錯(cuò)誤.故選BC.4.D　當(dāng)x<g(x),即x<x2-2時(shí),x>2或x<-1,f(x)=g(x)+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=+,此時(shí)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/span>(2,+∞);當(dāng)x≥g(x),即-1≤x≤2時(shí),f(x)=g(x)-x=x2-2-x=-,其最小值為f=-,最大值為f(2)=f(-1)=0,因此x∈[-1,2]時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/span>.綜上可得,函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/span>∪(2,+∞),故選D.5.AC　由g(x)-f(x)=x2-3+2|x|>0,得|x|>1,則F(x)=作出F(x)的圖象如圖所示,由圖可知,y=F(x)的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn),F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,F(x)有最大值1,沒有最小值.故選AC.二、填空題6.答案　(1)　(2)6+4解析　由題意可知,將正三角形紙片剪成了一個(gè)小正三角形和一個(gè)等腰梯形.設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x(0<x<1),則梯形的周長為3-x,梯形的面積為×(x+1)××(1-x)=(1-x2),所以S=×=4×(0<x<1).(1)當(dāng)梯形的腰長為,即x=時(shí),S=4×=.(2)令3-x=t,則t∈(2,3),故S=4×=4×≥4×=6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=2時(shí)等號(hào)成立,所以S的最小值是6+4.7.答案　-6或解析　函數(shù)y=f(x)=-+(a2-a)的圖象開口向下,對(duì)稱軸方程為x=,①當(dāng)0≤≤1,即0≤a≤2時(shí), f(x)max=f=(a2-a),則(a2-a)=,解得a=-2或a=3,與0≤a≤2矛盾,不符合題意,舍去;②當(dāng)<0,即a<0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=-,則-=,解得a=-6,符合題意;③當(dāng)>1,即a>2時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增, f(x)max=f(1)=a-1,則a-1=,解得a=,符合題意.綜上所述,a=-6或a=.三、解答題8.解析　(1)根據(jù)題意,設(shè)f(x)=ax+b,a、b∈R,且a≠0,∴f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b.∵3f(x+1)=6x+5,∴3ax+3a+3b=6x+5,∴解得∴f(x)=2x-.(2)函數(shù)g(x)=f(x)+2x2-x=2x2+x-,∵g(x)的圖象開口向上,∴g(x)max=max{g(-1),g(a)},g(-1)=,g(a)=2a2+a-,當(dāng)g(a)≥g(-1)時(shí),2a2+a-≥,且a>-1,解得a≥,故當(dāng)a≥時(shí),g(x)max=g(a)=2a2+a-;當(dāng)-1<a<時(shí),g(x)max=g(-1)=.故g(x)max=9.解析　因?yàn)?/span>?x1∈[-1,2],?x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,所以g(x)的值域是f(x)值域的子集,當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=的值域?yàn)?/span>[1,2],當(dāng)x∈[-1,2]時(shí), f(x)=ax+2(a>0)的值域?yàn)?/span>[-a+2,2a+2],要滿足g(x)的值域是f(x)值域的子集,則解得a≥1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).10.解析　(1)p(5)=60-(5-10)2=35,其實(shí)際意義為:發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí),載客量為35.(2)∵y=-10,∴當(dāng)5≤t<10,t∈N時(shí),y=-10=110-,任取t1,t2∈[5,6],且t1<t2,則y1-y2=-=6(t2-t1)+-=6(t2-t1)+=,∵5≤t1<t2≤6,∴t2-t1>0,25<t1t2<36,∴t1t2-36<0,∴y1-y2<0,∴函數(shù)y=110-在區(qū)間[5,6]上單調(diào)遞增,同理可證該函數(shù)在區(qū)間[6,10)上單調(diào)遞減,∴當(dāng)t=6時(shí),y取得最大值38;當(dāng)10≤t≤20,t∈N時(shí),y=-10=-10,該函數(shù)在區(qū)間[10,20]上單調(diào)遞減,則當(dāng)t=10時(shí),y取得最大值28.4.綜上,當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí),該路公交車每分鐘的凈收益最大,最大凈收益為38元.11.解析　(1)不正確.沒有考慮到u還可以小于0.正確解答如下:令u=3+2x-x2,則u=-(x-1)2+4≤4,易知u≠0,當(dāng)0<u≤4時(shí),≥,即f(x)≥;當(dāng)u<0時(shí),<0,即f(x)<0.∴f(x)<0或f(x)≥,即f(x)既無最大值,也無最小值.(2)∵x2+x+2=+≥,∴0<y≤,∴函數(shù)y=的最大值為,而無最小值.(3)對(duì)于函數(shù)f(x)=(a>0),令u=ax2+bx+c,①當(dāng)Δ>0時(shí),u有最小值,umin =<0;當(dāng)≤u<0時(shí),≤,即f(x)≤;當(dāng)u>0時(shí), f(x)>0.∴f(x)>0或f(x)≤,即f(x)既無最大值也無最小值.②當(dāng)Δ=0時(shí),u有最小值,umin==0,結(jié)合f(x)=知u≠0,∴u>0,此時(shí)>0,即f(x)>0, f(x)既無最大值也無最小值.③當(dāng)Δ<0時(shí),u有最小值,umin=>0,即u≥>0,∴0<≤,即0<f(x)≤,∴當(dāng)x=-時(shí), f(x)有最大值,沒有最小值.綜上,當(dāng)Δ≥0時(shí), f(x)既無最大值,也無最小值;當(dāng)Δ<0時(shí), f(x)有最大值,此時(shí)x=-,沒有最小值.

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