相似三角形對應線段的比相似三角形周長和面積的比
(1)什么叫相似三角形？
對應角相等、對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形.
(2)如何判定兩個三角形相似？
①定義；②預備定理(平行)；③三邊對應成比例；④兩個角對應相等；⑤兩邊對應成比例，且夾角相等；
相似三角形對應線段的比
三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內(nèi)角的度數(shù)，高、中線、角平分線的長度，以及周長、面積等．如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關系呢？
　　探究： 如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？ 如圖，分別作△ABC和 △A′B′C′的對應高AD和A′ D′ .
∵ △ ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B= ∠B′ .又△ ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ ABD ∽ △A′B′D′.∴類似地，可以證明相似三角形對應中 線的比、對應角平分線的比也等于 k.
　這樣，我們得到： 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比. 一般地，我們有： 相似三角形對應線段的比等于相似比.
例1 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，矩形 EFGH內(nèi)接于△ABC，且長邊FG在BC上，矩 形相鄰兩邊的比為1∶2，若BC＝30 cm，AD＝ 10 cm，求矩形EFGH的周長．
導引：由四邊形EFGH為矩形，得EH∥BC，所以△AEH 與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應高的比等于相 似比可求出HG的長，進而求出EH的長，即可求得 矩形EFGH的周長．解：設HG＝x cm，則EH＝2x cm. 易得AP⊥EH. ∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x) cm. ∵四邊形EFGH為矩形，∴EH∥BC， ∴△AEH ∽ △ABC．∴ 解得x=6．∴HG＝6 cm，EH＝12 cm. ∴矩形EFGH的周長為36 cm.
相似三角形中對應線段的比等于相似比，其中“對應線段”除對應邊外，還有對應邊上的高、中線，對應角的平分線．
如圖，△ABC 與△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求證
∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分別是△ABC，△A′B′C′的高，∴又BE，B′E′分別是△ABC，△A′B′C′的高，∴ ∴
2 已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分別是兩個 三角形對應角的平分線，且AC∶A′C′＝2∶3， 若BD＝4 cm，則B′D′的長是(　　) A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
3 【中考·重慶A卷】若△ABC∽△DEF，相似比 為3∶2，則對應高的比為(　　) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
相似三角形周長和面積的比
某施工隊在道路拓寬施工時遇到這樣一個問題，馬路旁邊原有一個面積為100平方米，周長為80米的三角形綠化地，由于馬路拓寬，綠地被削去了一個角，變成了一個梯形，原綠化地一邊AB的長由原來的30米縮短成18米(如圖)．現(xiàn)在的問題是：它的周長是多少？
解答：將上面生活中的問題轉化為數(shù)學問題是： 　如圖，已知DE∥BC，AB=30 m，BD=18 m，　　　　　　△ABC 的周長為80 m，求△ADE的周長.
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴由比例的性質可得，而△ADE 的周長=AD＋AE＋DE, △ABC的周長=AB＋AC＋BC，∴∴△ADE 的周長=32 m.
　從以上解答過程中可以看出：相似三角形的周長比等于相似比.
例2 已知兩個相似三角形的最短邊分別為9 cm和 6 cm. 若它們的周長之和為60 cm，則這兩個 三角形的周長分別是多少？ 導引：兩個相似三角形的最短邊就是一組對應邊， 由此可確定相似比，進而根據(jù)已知條件，解 以一個三角形周長為未知數(shù)的方程即可．
解：設△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短邊 AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短邊A1C1＝6 cm. 則 ∴△ABC和△A1B1C1的相似比為 設△ABC的周長為x cm， 則△A1B1C1的周長為(60－x)cm. ∴ ∴△ABC的周長為36 cm，△A1B1C1的周長為24 cm.
解得x＝36，60－x＝24.
相似三角形周長的比等于相似比．在解題時，如果是相似圖形，求周長就常用到周長比等于相似比.
1 (中考?重慶)△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則 △ABC與△DEF的周長比為(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 30°，CD⊥AB于點D，則△BCD與△ABC的 周長之比為(　　) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
相似三角形面積的比與相似比有什么關系？如圖，由前面的結論，我們有
這樣，我們得到：相似三角形面積的比等于相似比的平方．
例3　如圖，在△ABC和△DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A=∠D． 若△ABC的邊BC上的高為6， 面積為 　，求△DEF的邊EF 上的高和面積．
解： 在△ABC和△DEF中， ∵ AB = 2DE，AC = 2DF, ∴ 又 ∠D=∠A， ∴ △DEF∽△ABC，△DEF 與△ABC 的相似比為 ∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為 ∴△DEF的邊EF上的高為 面積為?
利用相似比求周長和面積時，先判定兩個三角形相似，然后找準相似比，利用“相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方”解題．警示：不要誤認為面積的比等于相似比．
1 判斷題（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）.　　(1) 一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三　　　　　角形的角平分線也擴大為原來的5倍；（　 ）　　(2)一個三角形的各邊長擴大為原來的9倍，這個三　　　角形的面積也擴大為原來的9倍.　　?。ā。?br/>【中考·重慶B卷】已知△ABC∽△DEF，且相似比為1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為(　　)A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
【中考·南寧】有3個正方形按如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1： S2等于(　　 ) A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
【中考·綏化】如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，已知S△AEF＝4，則下列結論：①②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正確的是(　　)A．①②③④ B．①④C．②③④ D．①②③
【中考·菏澤】如圖，△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝ A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，則△ABC與△A′B′C′的面積比為(　　)A．25：9　 B．5：3　 C.　 D．
1、相似三角形對應邊成_______，對應角______. 2、相似三角形對應邊上的高、對應邊上的中線、 對應角平分線的比都等于________. 3、相似三角形周長的比等于________， 相似三角形面積的比等于______________.
如圖，在△ABC中，DE與BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
易錯點：忽略相似三角形性質的適用條件.跳出誤區(qū)：此題易錯計算為AD∶DB＝1∶2，要求AD∶DB，關鍵是求S△ADE∶S△ABC，根據(jù)三角形的面積比得出線段的比，從而得出AD與DB的比．

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27.2.2 相似三角形的性質

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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