一、基本目標(biāo)
1．掌握用分解因式法解一元二次方程的方法．
2．能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法．
3．通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法——因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題．
二、重難點目標(biāo)
【教學(xué)重點】
運用分解因式法解一元二次方程．
【教學(xué)難點】
靈活運用各種分解因式的方法解一元二次方程．
環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱、生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P46～P47的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．
【3 min反饋】
1．將下列各題因式分解：
am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)；
3x2－14x＋8＝(x－4)(3x－2).
2．當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易分解成兩個一次因式的乘積時，我們可以用書中方法求解，這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法.
3．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，這是因式分解法的根據(jù)．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝－1或x＝1.
環(huán)節(jié)2 合作探究，解決問題
活動1 小組討論(師生互學(xué))
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)5x2－2x－eq \f(1,4)＝x2－2x＋eq \f(3,4)；
(3)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(4)(x－4)2＝(5－2x)2.
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是什么？分解因式時要注意些什么問題？
【解答】(1)因式分解，得(x＋1)(x－2)＝0.
于是，得x＋1＝0或x－2＝0，
故x1＝－1，x2＝2.
(2)移項、合并同類項，得4x2－1＝0.
因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是，得2x＋1＝0或2x－1＝0，
故x1＝－eq \f(1,2)，x2＝eq \f(1,2).
(3)原方程可變形為3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0.
因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.
于是，得2x＋1＝0或3x－2＝0，
故x1＝－eq \f(1,2)，x2＝eq \f(2,3).
(4)移項，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.
因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.
即(1－x)(3x－9)＝0，
于是，得1－x＝0或3x－9＝0，
故x1＝1，x2＝3.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)用因式分解法解一元二次方程的步驟：①將一元二次方程化成一般形式，即方程右邊為0；②將方程左邊進(jìn)行因式分解，由一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程；③對兩個一元一次方程分別求解．
【例2】我們知道x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，那么x2－(a＋b)x＋ab＝0就可轉(zhuǎn)化為(x－a)(x－b)＝0，請你用上面的方法解下列方程．
(1)x2－3x－4＝0； (2)x2－7x＋6＝0；
(3)x2＋4x－5＝0.
【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)上面因式分解的特點是什么？一次項系數(shù)與常數(shù)項有什么關(guān)系？
【解答】二次三項式x2－(a＋b)x＋ab的最大特點是x2項是由x·x而成，常數(shù)項ab是由(－a)·(－b)而成的，而一次項是由－a·x＋(－b·x)交叉相乘而成的．根據(jù)上面的分析，我們可以對上面的三題分解因式．
(1)因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0.
于是，得x＋1＝0或x－4＝0，
故x1＝－1，x2＝4.
(2)因式分解，得(x－1)(x－6)＝0.
于是，得x－1＝0或x－6＝0，
故x1＝1，x2＝6.
(3)因式分解，得(x＋5)(x－1)＝0.
于是，得x＋5＝0或x－1＝0，
故x1＝－5，x2＝1.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)上面這種因式分解的方法叫做十字相乘法，在解一元二次方程中經(jīng)常用到這種方法．
活動2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))
1．解方程：
(1)x2－3x－10＝0；(2)3x(x＋2)＝5(x＋2)．
解：(1)x1＝－2，x2＝5.
(2)x1＝－2，x2＝eq \f(5,3).
2．三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2－12x＋35＝0的根，求該三角形的周長．
解：解x2－12x＋35＝0，得x1＝5，x2＝7.
∵3＋4＝7，∴x＝5，故該三角形的周長為3＋4＋5＝12.
活動3 拓展延伸(學(xué)生對學(xué))
【例3】已知9a2－4b2＝0，求代數(shù)式eq \f(a,b)－eq \f(b,a)－eq \f(a2＋b2,ab)的值．
【互動探索】a、b的值能直接求出來嗎？a、b之間有怎樣的關(guān)系？怎樣將a、b的關(guān)系代入代數(shù)式中求值．
【解答】原式＝eq \f(a2－b2－a2－b2,ab)＝－eq \f(2b,a).
∵9a2－4b2＝0，
∴(3a＋2b)(3a－2b)＝0，
即3a＋2b＝0或3a－2b＝0，
∴a＝－eq \f(2,3)b或a＝eq \f(2,3)b.
當(dāng)a＝－eq \f(2,3)b時，原式＝－eq \f(2b,－\f(2,3)b)＝3；
當(dāng)a＝eq \f(2,3)b時，原式＝－3.
【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)要求eq \f(a,b)－eq \f(b,a)－eq \f(a2＋b2,ab)的值，首先要對它進(jìn)行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發(fā)生錯誤．本題注意不要漏解．
環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
(學(xué)生總結(jié)，老師點評)
用因式分解法解一元二次方程的思路：因式分解法要先將方程一邊化為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.
請完成本課時對應(yīng)訓(xùn)練！

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4 用因式分解法求解一元二次方程

版本： 北師大版

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