概率與統(tǒng)計專題六:非線性回歸方程一、必備秘籍當經(jīng)驗回歸方程并非形如(）時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程，當兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下：曲線方程變換公式變換后的線性關(guān)系式建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常 ．二、例題講解1．（2021·全國高三專題練習（文））人類已經(jīng)進入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量級已經(jīng)從(1=1024)級別躍升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)級別.國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49，2009年數(shù)據(jù)量為0.8，2010年增長到1.2，2011年數(shù)據(jù)量更是高達1.82.下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：)及相關(guān)統(tǒng)計量的值：年份201420152016201720182019序號123456年數(shù)據(jù)量6.68.616.121.633.041.03.521.152.8517.5813.82125.356.73表中，.（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程(是自然對數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計的年數(shù)據(jù)量y關(guān)于年份序號x的回歸方程類型，試求此回歸方程(精確到0.01).（2）有人預計2021年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將超過2011年的50倍.根據(jù)（1）中的回歸方程，說明這種判斷是否準確，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，回歸方程中，斜率最小二乘法公式為，.            2．（2021·全國高三專題練習（文））有一種速度叫中國速度，有一種驕傲叫中國高鐵.中國高鐵經(jīng)過十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國完成了從較落后向先進鐵路國的跨越式轉(zhuǎn)變.中國的高鐵技術(shù)不但越來越成熟，而且還走向國外，幫助不少國家修建了高鐵.高鐵可以說是中國一張行走的名片.截至到2020年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達到3.9萬公里.下表是2013年至2020年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計表，它反映了中國高鐵近幾年的飛速發(fā)展：年份20132014201520162017201820192020年份代碼12345678運營里程萬公里1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問題.（1）甲同學用曲線來擬合，并算得相關(guān)系數(shù)，乙同學用曲線來擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對應的相關(guān)系數(shù)，試問哪一個更適合作為關(guān)于的回歸方程類型，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到).參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：；參考數(shù)據(jù)：令         三、實戰(zhàn)練習1．（2021·山東菏澤·高三二模）“十四五”是我國全面建成小康社會、實現(xiàn)第一個百年奮斗目標之后，乘勢而上開啟全面建設(shè)社會主現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標進軍的第一個五年，實施時間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中， ，， 均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請預測2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)r＝回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．         2．（2021·重慶高三三模）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈.某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當天攬收的快遞件數(shù)(單位：千件)之間的關(guān)系，對該網(wǎng)點近5天的每日攬件量(單位：千件)與當日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程；（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實現(xiàn)總利潤的增長，除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時效保障外，價格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網(wǎng)點每天攬收快遞的件數(shù)(單位：千件)與單件快遞的平均價格(單位；元)之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的回歸方程解決以下問題：①預測該網(wǎng)點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格為何值時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，. 3．（2021·安徽蚌埠二中高三模擬預測（文））自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來，美國疫情持續(xù)升級，以下是美國2020年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計1次共計11次累計確診人數(shù)（萬）．日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13統(tǒng)計時間序號123456累計確認人數(shù)43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期（月/日）9/0610/0110/2611/1912/14 統(tǒng)計時間序號7891011 累計確認人數(shù)646.0744.7888.91187.41673.7 （1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計，若將統(tǒng)計時間序號作為變量，每次累計確診人數(shù)作為變量，得到函數(shù)關(guān)系，對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分數(shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計量的值，，，，，，，，，，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，確定該函數(shù)關(guān)系式（參數(shù)，的取值精確到0.01）；（2）為了了解患新冠肺炎與年齡的關(guān)系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人數(shù)分別為45人，30人，15人，按分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調(diào)查，再從6人中隨機抽取2人進行調(diào)查結(jié)果對比，求這2人中至少有一人是老年人的概率．參考公式：線性回歸方程中，，； 4．（2021·貴州（理））某二手車交易市場對2020年某品牌二手車的交易進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖和散點圖.用表示該車的使用時間（單位：年），表示其相應的平均交易價格（單位：萬元）.（Ⅰ）已知2020年在此交易市場成交的該品牌二手車為輛，求使用時間在的車輛數(shù)；（Ⅱ）由散點圖分析后，可用作為此交易市場上該種車輛的平均交易價格關(guān)于其使用時間的回歸方程.5.59230080385表中，.根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.         5．（2021·河南洛陽市·高三二模（理））某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（、為大于0的常數(shù)）.按照某項指標測定，當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機抽取件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：尺寸384858687888質(zhì)量16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機變量的期望；（2）根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計量的值如表：（i）根據(jù)所給統(tǒng)計量，求關(guān)于的回歸方程；（ii）已知優(yōu)等品的收益（單位：千元）與、的關(guān)系為，則當優(yōu)等品的尺寸為何值時，收益的預報值最大？附：對于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，.      6．（2021·全國（文））2020年新型冠狀病毒肺炎疫情席卷金球，我國在全力保障口罩、防護服等醫(yī)療物資供給基礎(chǔ)上，重點開展醫(yī)療救治急需的呼吸機、心電監(jiān)護儀等醫(yī)療設(shè)備的組織生產(chǎn)和及時供應，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)醫(yī)用物資生產(chǎn)企業(yè)高速生產(chǎn)，支援世界各國抗擊肺炎疫情．我市某醫(yī)療器械公司轉(zhuǎn)型升級，從9月1日開始投入呼吸機生產(chǎn)，該公司9月1目~9月9日連續(xù)9天的呼吸機日生產(chǎn)量為（單位：百臺，），數(shù)據(jù)作了初步處理；得到如圖所示的散點圖．2.731952851095注：圖中日期代碼1~9分別對應9月1日~9月9日；表中，（1）從9個樣本點中任意選取2個，在2個樣本點的生產(chǎn)量都不高于300臺的條件下，求2個樣本點都高于200臺的概率；（2）由散點圖分析，樣本點都集中在曲線的附近，求y關(guān)于t的方程，并估計該公司從生產(chǎn)之日起，需要多少天呼吸機日生產(chǎn)量可超過500臺．參考公式：回歸直線方程是；， ，參考數(shù)據(jù)：．    7．（2021·全國高三專題練習）某公司為了了解年研發(fā)資金投人量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.對公司近年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中、、、均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).并得到一些統(tǒng)計量的值.令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：2（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（2）①根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；②若下一年銷售額需達到億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線中公式分別為：，；參考數(shù)據(jù)：，，.          8．（2021·四川達州·高三二模（理））在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車將成為未來汽車的發(fā)展方向．我國大力發(fā)展新能源汽車的生產(chǎn)和銷售．某市近6年的新能源汽車保有量數(shù)據(jù)如下表年份代號x123456保有量y（萬輛）11.82.745.99.2（1）從這6年中任意選取兩年，求這兩年中僅有1年的新能源汽車保有量大于4萬輛的概率；（2）用函數(shù)模型對兩個變量x，y的關(guān)系進行擬合，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸方程（條數(shù)精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：，，；設(shè)．參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．                9．（2021·陜西高三二模（理））為了迎接十四運，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，表示活動推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表下所示：1234567611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖．（1）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（均為大于零的常數(shù)），哪一個適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立與的回歸方程，并預測活動推出第天使用掃碼支付的人次；（3）推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼比例西安公交六公司車隊為緩解周邊居民出行壓力，以萬元的單價購進了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗可知，每輛車每個月的運營成本約為萬元．已知該線路公交車票價為元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠．預計該車隊每輛車每個月有萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費標準，請你估計這批車輛需要幾年（結(jié)果取整數(shù)年）才能盈利？參考數(shù)據(jù)：其中其中，，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．                   10．（2021·吉林高三模擬預測（文））全球化時代，中國企業(yè)靠什么在激烈的競爭中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日報社指導，《中國經(jīng)濟周刊》主辦的第十八屆中國經(jīng)濟論壇在人民日報社舉行，就中國企業(yè)如何提升全球行業(yè)競爭力進行了研討.數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入(百萬元)與收益(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：科技投入1234567收益19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理.如下表：514012391492134130其中，.（1）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到)；（2）①乙認為樣本點分布在直線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)(即相關(guān)指數(shù))，試比較甲乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？②由①所得的結(jié)論，計算該企業(yè)欲使收益達到億元，科技投入的費用至少要多少百萬元？(精確到)附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，，決定系數(shù)：.參考數(shù)據(jù)：.      11．（2021·江西（文））每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”．從進入大數(shù)據(jù)時代以來，人們閱讀方式發(fā)生了改變，數(shù)字媒體閱讀方式因為便攜，容量大等優(yōu)點越來越被大眾接受，下表是國際數(shù)據(jù)公司（IDC）研究的全球近年每年數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量（單位：）及相關(guān)統(tǒng)計量的值：年份201520162017201820192020序號年數(shù)據(jù)量表中，．（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程（是自然對數(shù)的底數(shù)）更適宜作為該公司統(tǒng)計的年數(shù)據(jù)量關(guān)于年份序號的回歸方程類型，試求此回歸方程；（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，預計2024年全世界數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2021年的多少倍？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到）參考數(shù)據(jù)：回歸方程中，斜率最小二乘法公式為，．         12．（2021·山東濟寧一中高三開學考試）某公司對某產(chǎn)品作市場調(diào)研，獲得了該產(chǎn)品的定價（單位：萬元/噸）和一天銷售量（單位：噸）的一組數(shù)據(jù)，制作了如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表，并作出了散點圖．0.331030.16410068350表中，，．（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適合作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，試建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.20萬元，依據(jù)（2）的回歸方程，預計定價為多少時，該產(chǎn)品一天的利潤最大，并求此時的月利潤．（每月按30天計算，計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考公式：回歸方程，其中，） 
 

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