?概率與統(tǒng)計(jì)
專題六:非線性回歸方程
一、 必備秘籍
當(dāng)經(jīng)驗(yàn)回歸方程并非形如(）時(shí)，稱之為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來(lái)模擬，常見(jiàn)的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下：
曲線方程
變換公式
變換后的線性關(guān)系式















建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟
1.確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；
2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；
3.通過(guò)變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；
4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常 ．
二、例題講解
1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量級(jí)已經(jīng)從(1=1024)級(jí)別躍升到(1=1024)，(1=1024)乃至(1=1024)級(jí)別.國(guó)際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49，2009年數(shù)據(jù)量為0.8，2010年增長(zhǎng)到1.2，2011年數(shù)據(jù)量更是高達(dá)1.82.下表是國(guó)際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
序號(hào)
1
2
3
4
5
6
年數(shù)據(jù)量
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0







3.5
21.15
2.85
17.58
13.82
125.35
6.73
表中，.
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計(jì)的年數(shù)據(jù)量y關(guān)于年份序號(hào)x的回歸方程類型，試求此回歸方程(精確到0.01).
（2）有人預(yù)計(jì)2021年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將超過(guò)2011年的50倍.根據(jù)（1）中的回歸方程，說(shuō)明這種判斷是否準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：，，回歸方程中，斜率最小二乘法公式為，.
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.
【分析】
（1）設(shè)，則，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)及公式即可得解
（2）先將代入得預(yù)計(jì)2021年數(shù)據(jù)量，進(jìn)而和2011年的50倍比較大小即可得解
【詳解】
（1）由，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，
設(shè)，則.
因?yàn)?，，，?br /> 所以，
.
所以，
所以；
（2）令，得.
預(yù)計(jì)2021年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模會(huì)超過(guò)2011年的50倍.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于非線性回歸方程的求解，一般要結(jié)合題意作變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來(lái)求解，同時(shí)也要注意相應(yīng)數(shù)據(jù)的變化.







感悟升華（核心秘籍）

1、根據(jù)題目提供的參考數(shù)據(jù)，明顯提示如何換元：根據(jù)題意換元；
2、題目提供了很多數(shù)據(jù)，對(duì)于代入的變量不能再直接選擇的數(shù)據(jù)，而應(yīng)該選擇換元后的變量的數(shù)據(jù)，字母字母，替換了字母，而字母沒(méi)有換元，所以公式修改為，修改后，在從參考數(shù)據(jù)總選擇需要的數(shù)據(jù)代入計(jì)算。

2．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））有一種速度叫中國(guó)速度，有一種驕傲叫中國(guó)高鐵.中國(guó)高鐵經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國(guó)完成了從較落后向先進(jìn)鐵路國(guó)的跨越式轉(zhuǎn)變.中國(guó)的高鐵技術(shù)不但越來(lái)越成熟，而且還走向國(guó)外，幫助不少國(guó)家修建了高鐵.高鐵可以說(shuō)是中國(guó)一張行走的名片.截至到2020年，中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程已經(jīng)達(dá)到3.9萬(wàn)公里.下表是2013年至2020年中國(guó)高鐵每年的運(yùn)營(yíng)里程統(tǒng)計(jì)表，它反映了中國(guó)高鐵近幾年的飛速發(fā)展：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼
1
2
3
4
5
6
7
8
運(yùn)營(yíng)里程萬(wàn)公里
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.9
3.5
3.9
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問(wèn)題.
（1）甲同學(xué)用曲線來(lái)擬合，并算得相關(guān)系數(shù)，乙同學(xué)用曲線來(lái)擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，試問(wèn)哪一個(gè)更適合作為關(guān)于的回歸方程類型，并說(shuō)明理由；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到).
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式：；參考數(shù)據(jù)：令
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
(1)比較已知的相關(guān)系數(shù)大小關(guān)系即可得出正確答案;(2)由已知數(shù)據(jù)求出，結(jié)合回歸方程變形為，求出和，從而可求出回歸方程.
【詳解】
解：（1）∵，∴更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型.
（2），由得，
即，則，
，所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛:
本題考查了回歸方程的求解，本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是對(duì)回歸方程，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行變形，結(jié)合最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式進(jìn)行求解.







感悟升華（核心秘籍）

1、根據(jù)題目提供的參考數(shù)據(jù)，明顯提示如何換元：根據(jù)題意換元；
2、題目提供了很多數(shù)據(jù)，對(duì)于代入的變量不能再直接選擇的數(shù)據(jù)，而應(yīng)該選擇換元后的變量的數(shù)據(jù)，字母字母，替換了字母，而字母沒(méi)有換元，所以公式修改為，修改后，在從參考數(shù)據(jù)總選擇需要的數(shù)據(jù)代入計(jì)算。

三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)
1．（2021·山東菏澤·高三二模）“十四五”是我國(guó)全面建成小康社會(huì)、實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)之后，乘勢(shì)而上開(kāi)啟全面建設(shè)社會(huì)主現(xiàn)代化國(guó)家新征程、向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個(gè)五年，實(shí)施時(shí)間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，通過(guò)對(duì)“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：
；，其中， ，， 均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
令，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問(wèn)：
（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合度更好？
（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）
（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）
附：①相關(guān)系數(shù)r＝
回歸直線中：，
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）；（3）億元．
【分析】
（1）分別計(jì)算兩個(gè)函數(shù)模型的相關(guān)系數(shù)和，比較和的大小關(guān)系即可判斷；
（2）由得，即，根據(jù)最小二乘法求和的值，即可求解；
（3）將代入（2）中的回歸方程即可求解.
【詳解】
（1）為了判斷兩個(gè)函數(shù)模型：；，擬合程度，只需要判斷兩個(gè)函數(shù)模型，擬合程度即可．
設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，
由題意
，
，
顯然，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好．
（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程，由得，，即，
，
，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，
所求回歸方程為：，
（3）若2021年盈利額為500億元，即為，
，，
解得：，
所以2021年的研發(fā)資金投入量約為億元．
2．（2021·重慶高三三模）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈.某快遞網(wǎng)點(diǎn)需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)(單位：千件)之間的關(guān)系，對(duì)該網(wǎng)點(diǎn)近5天的每日攬件量(單位：千件)與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.








4
5.16
0.415

2.028
30
0.507
表中，.
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程；
（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實(shí)現(xiàn)總利潤(rùn)的增長(zhǎng)，除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時(shí)效保障外，價(jià)格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網(wǎng)點(diǎn)每天攬收快遞的件數(shù)(單位：千件)與單件快遞的平均價(jià)格(單位；元)之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤(rùn)等于單件的平均價(jià)格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的回歸方程解決以下問(wèn)題：
①預(yù)測(cè)該網(wǎng)點(diǎn)某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤(rùn)；
②單件快遞的平均價(jià)格為何值時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
【答案】（1）適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，回歸方程為；（2）①總利潤(rùn)約為12000元；②平均價(jià)格t為8元.
【分析】
（1）點(diǎn)不在一條直線的近旁，但與雙曲線類似，可得回歸曲線類型．令，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得回歸方程，即可得結(jié)論．
（2）①利用（1）的結(jié)論求出利潤(rùn)函數(shù)，令可得估計(jì)利潤(rùn)值；②由二次函數(shù)性質(zhì)可得．
【詳解】
解：（1）適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型.
令，則，，
，
∴，即所求回歸方程為；
（2）設(shè)收發(fā)x千件快遞獲利z千元，則，，
①當(dāng)時(shí)，，故該網(wǎng)點(diǎn)某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤(rùn)約為12000元；
②，∴當(dāng)即時(shí)，z取最大值，故單件快遞的平均價(jià)格t為8元時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.
3．（2021·安徽蚌埠二中高三模擬預(yù)測(cè)（文））自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來(lái)，美國(guó)疫情持續(xù)升級(jí)，以下是美國(guó)2020年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計(jì)1次共計(jì)11次累計(jì)確診人數(shù)（萬(wàn)）．
日期（月/日）
4/09
5/04
5/29
6/23
7/18
8/13
統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)
1
2
3
4
5
6
累計(jì)確認(rèn)人數(shù)
43.3
118.8
179.4
238.8
377.0
536.0
日期（月/日）
9/06
10/01
10/26
11/19
12/14

統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)
7
8
9
10
11

累計(jì)確認(rèn)人數(shù)
646.0
744.7
888.9
1187.4
1673.7

（1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計(jì)，若將統(tǒng)計(jì)時(shí)間序號(hào)作為變量，每次累計(jì)確診人數(shù)作為變量，得到函數(shù)關(guān)系，對(duì)上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計(jì)量的值，，，，，，，，，，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，確定該函數(shù)關(guān)系式（參數(shù)，的取值精確到0.01）；
（2）為了了解患新冠肺炎與年齡的關(guān)系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人數(shù)分別為45人，30人，15人，按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查結(jié)果對(duì)比，求這2人中至少有一人是老年人的概率．
參考公式：線性回歸方程中，，；
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知函數(shù)，兩邊到自然對(duì)數(shù)可得，再計(jì)算，，可得函數(shù)方程．
（2）先由分層抽樣的方法求得老年、中年、青年分別抽取的人數(shù)，運(yùn)用列舉法和古典概率公式可求得答案.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?br /> 由已知得，
，，
∴所求函數(shù)方程為．
（2）從90人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，
老年、中年、青年分別抽取的人數(shù)為3人，2人，1人，
記3個(gè)老年人為，，，2個(gè)中年人為，，1個(gè)青年人為，
抽取的全部結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，共15種．
至少1人是老年人的有，，，，，，，，，，，，共12種．
所以至少1人是老年人的概率為．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，分層抽樣，古典概率的求解，關(guān)鍵在于正確地理解線性回歸方程的意義，準(zhǔn)確地運(yùn)用古典概率公式.
4．（2021·貴州（理））某二手車交易市場(chǎng)對(duì)2020年某品牌二手車的交易進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖和散點(diǎn)圖.用表示該車的使用時(shí)間（單位：年），表示其相應(yīng)的平均交易價(jià)格（單位：萬(wàn)元）.

（Ⅰ）已知2020年在此交易市場(chǎng)成交的該品牌二手車為輛，求使用時(shí)間在的車輛數(shù)；
（Ⅱ）由散點(diǎn)圖分析后，可用作為此交易市場(chǎng)上該種車輛的平均交易價(jià)格關(guān)于其使用時(shí)間的回歸方程.






5.5
9
2
300
80
385
表中，.根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由頻率和為可構(gòu)造方程求得，根據(jù)對(duì)應(yīng)的頻率可計(jì)算求得頻數(shù)；
（Ⅱ）將回歸方程變?yōu)?，利用最小二乘法可求得回歸直線，由此可得所求回歸方程.
【詳解】
（Ⅰ），解得：，
使用時(shí)間在的車輛對(duì)應(yīng)頻率為：，
使用時(shí)間在的車輛數(shù)為：；
（Ⅱ）由得：，
，，
，關(guān)于的回歸方程為：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解回歸方程的關(guān)鍵是能夠通過(guò)取對(duì)數(shù)的方式將非線性的回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用最小二乘法求得線性回歸方程后，再變形得到所求回歸方程.
5．（2021·河南洛陽(yáng)市·高三二模（理））某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（、為大于0的常數(shù)）.按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：
尺寸
38
48
58
68
78
88
質(zhì)量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
質(zhì)量與尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的期望；
（2）根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表：








（i）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求關(guān)于的回歸方程；
（ii）已知優(yōu)等品的收益（單位：千元）與、的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，.
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）當(dāng)優(yōu)等品的尺寸為時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大.
【分析】
（1）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)一步可計(jì)算得出的值；
（2）（i）在等式兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，利用表格中的數(shù)據(jù)可求得、的值，由此可得出關(guān)于的回歸方程；
（ii）由（i）可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）由表可知，抽取的件合格產(chǎn)品中有件優(yōu)等品，
所以，的所有可能取值為、、、，
，，，
，
所以，隨機(jī)變量的期望為；
（2）（i），，
，，
，，
，
，，所以，，
故關(guān)于的回歸方程為；
（ii）由（i）知，，
，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，
故當(dāng)優(yōu)等品的尺寸為時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知隨機(jī)變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知隨機(jī)變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進(jìn)行計(jì)算；
（3）若能分析出所給的隨機(jī)變量服從常用的分布（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計(jì)算.
6．（2021·全國(guó)（文））2020年新型冠狀病毒肺炎疫情席卷金球，我國(guó)在全力保障口罩、防護(hù)服等醫(yī)療物資供給基礎(chǔ)上，重點(diǎn)開(kāi)展醫(yī)療救治急需的呼吸機(jī)、心電監(jiān)護(hù)儀等醫(yī)療設(shè)備的組織生產(chǎn)和及時(shí)供應(yīng)，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)醫(yī)用物資生產(chǎn)企業(yè)高速生產(chǎn)，支援世界各國(guó)抗擊肺炎疫情．我市某醫(yī)療器械公司轉(zhuǎn)型升級(jí)，從9月1日開(kāi)始投入呼吸機(jī)生產(chǎn)，該公司9月1目~9月9日連續(xù)9天的呼吸機(jī)日生產(chǎn)量為（單位：百臺(tái)，），數(shù)據(jù)作了初步處理；得到如圖所示的散點(diǎn)圖．





2.73
19
5
285
1095

注：圖中日期代碼1~9分別對(duì)應(yīng)9月1日~9月9日；表中，
（1）從9個(gè)樣本點(diǎn)中任意選取2個(gè)，在2個(gè)樣本點(diǎn)的生產(chǎn)量都不高于300臺(tái)的條件下，求2個(gè)樣本點(diǎn)都高于200臺(tái)的概率；
（2）由散點(diǎn)圖分析，樣本點(diǎn)都集中在曲線的附近，求y關(guān)于t的方程，并估計(jì)該公司從生產(chǎn)之日起，需要多少天呼吸機(jī)日生產(chǎn)量可超過(guò)500臺(tái)．
參考公式：回歸直線方程是；， ，
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）；（2）；38.
【分析】
（1）由散點(diǎn)圖讀出不高于300臺(tái)的點(diǎn)有5個(gè)，其中高于200臺(tái)的點(diǎn)有4個(gè)，從而計(jì)算出所求概率；
（2）將對(duì)數(shù)表達(dá)式變成，根據(jù)回歸方程系數(shù)求解公式求得參數(shù)a，b，從而求得回歸方程，并估算對(duì)應(yīng)的t值即可.
【詳解】
（1）由散點(diǎn)圖知，不高于300臺(tái)的點(diǎn)有5個(gè)，其中高于200臺(tái)的點(diǎn)有4個(gè)，
則在2個(gè)樣本點(diǎn)的生產(chǎn)量都不高于300臺(tái)的條件下，
2個(gè)樣本點(diǎn)都高于200臺(tái)的概率為.
（2）
則由回歸方程系數(shù)求解公式知，，
，
故，

需要38天呼吸機(jī)日生產(chǎn)量可超過(guò)500臺(tái)．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：非線性回歸方程，可以先轉(zhuǎn)化為線性的數(shù)據(jù)，利用線性回歸方程系數(shù)求解公式求解，從而求得非線性回歸方程.
7．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）某公司為了了解年研發(fā)資金投人量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響.對(duì)公司近年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中、、、均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值.令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：









2










（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？
（2）①根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
②若下一年銷售額需達(dá)到億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？
附：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線中公式分別為：，；
參考數(shù)據(jù)：，，.
【答案】（1）模型；（2）①；②億元.
【分析】
（1）分別設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，利用公式求解比較下結(jié)論；
（2）（?。┯?，兩邊取對(duì)數(shù)，即，再利用公式分別求得即可；（ⅱ）根據(jù)（?。┑哪Ｐ停汕蠼?
【詳解】
（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，
，
，
則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好；
（2）（?。┫冉㈥P(guān)于的線性回歸方程，
由，得，即；
由于，，
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
所以，則；
（ⅱ）下一年銷售額需達(dá)到億元，即，代入，得，
又，所以，所以，
所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約是億元.
8．（2021·四川達(dá)州·高三二模（理））在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車將成為未來(lái)汽車的發(fā)展方向．我國(guó)大力發(fā)展新能源汽車的生產(chǎn)和銷售．某市近6年的新能源汽車保有量數(shù)據(jù)如下表
年份代號(hào)x
1
2
3
4
5
6
保有量y（萬(wàn)輛）
1
1.8
2.7
4
5.9
9.2
（1）從這6年中任意選取兩年，求這兩年中僅有1年的新能源汽車保有量大于4萬(wàn)輛的概率；
（2）用函數(shù)模型對(duì)兩個(gè)變量x，y的關(guān)系進(jìn)行擬合，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的回歸方程（條數(shù)精確到0.01）．
參考數(shù)據(jù)：，，；設(shè)．
參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用古典概型概率的計(jì)算公式可求概率；
（2）設(shè)，可利用公式求出關(guān)于的線性回歸方程，從而可得所求的與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的回歸方程.
【詳解】
解：（1）設(shè)6年中任意選取兩年，僅有1年的新能源汽車保有量大于4（萬(wàn)輛）為事件A，
∴．
所以，僅有1年的新能源汽車保有量大于4（萬(wàn)輛）的概率為．
（2）對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，設(shè)，
∴
∴，
∴．
∵，∴，∴．
9．（2021·陜西高三二模（理））為了迎接十四運(yùn)，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付．某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表下所示：

1
2
3
4
5
6
7

6
11
21
34
66
101
196
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（均為大于零的常數(shù)），哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立與的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第天使用掃碼支付的人次；
（3）推廣期結(jié)束后，車隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
支付方式
現(xiàn)金
乘車卡
掃碼
比例



西安公交六公司車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力，以萬(wàn)元的單價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每輛車每個(gè)月的運(yùn)營(yíng)成本約為萬(wàn)元．已知該線路公交車票價(jià)為元，使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠．預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有萬(wàn)人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你估計(jì)這批車輛需要幾年（結(jié)果取整數(shù)年）才能盈利？
參考數(shù)據(jù)：










其中其中，，
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．
【答案】（1）（均為大于零的常數(shù)）適宜；（2）；活動(dòng)推出第天使用掃碼支付的人次為人；（3）需要年才能盈利．
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可直接判斷得到結(jié)論；
（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，轉(zhuǎn)化為回歸直線的求解問(wèn)題，利用最小二乘法可求得，進(jìn)而得到回歸方程；將代入回歸方程即可得到結(jié)果；
（3）設(shè)一名乘客一次乘車的費(fèi)用為元，可求得可能的取值對(duì)應(yīng)的概率，由此計(jì)算得到，構(gòu)造不等式，由此求得結(jié)果.
【詳解】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，（均為大于零的常數(shù)），適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，兩邊取對(duì)數(shù)得：，
其中，，，，，
，，
，．
當(dāng)時(shí)，，
活動(dòng)推出第天使用掃碼支付的人次為人；
（3）設(shè)一名乘客一次乘車的費(fèi)用為元，
由題意知：所有可能取值為：，，，，
，，，，
，
假設(shè)這批車需要年才能開(kāi)始盈利，則，
解得：，需要年才能盈利.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查非線性回歸相關(guān)問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)指數(shù)型回歸方程左右同時(shí)取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸的類型，從而利用最小二乘法求得線性回歸方程，進(jìn)而得到非線性回歸方程.
10．（2021·吉林高三模擬預(yù)測(cè)（文））全球化時(shí)代，中國(guó)企業(yè)靠什么在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日?qǐng)?bào)社指導(dǎo)，《中國(guó)經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國(guó)經(jīng)濟(jì)論壇在人民日?qǐng)?bào)社舉行，就中國(guó)企業(yè)如何提升全球行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力進(jìn)行了研討.數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入(百萬(wàn)元)與收益(百萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
科技投入
1
2
3
4
5
6
7
收益
19
20
22
31
40
50
70
根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.如下表：






5
140
1239
149
2134
130
其中，.
（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到)；
（2）①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)(即相關(guān)指數(shù))，試比較甲乙兩人所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好？
②由①所得的結(jié)論，計(jì)算該企業(yè)欲使收益達(dá)到億元，科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬(wàn)元？(精確到)
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，決定系數(shù)：.參考數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）；（2）①甲建立的回歸模型擬合效果更好；②科技投入的費(fèi)用至少要百萬(wàn)元.
【分析】
（1）兩邊取對(duì)數(shù)得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；
（2）①根據(jù)公式計(jì)算可得相關(guān)指數(shù)，由此可得結(jié)論；
②由，解不等式可求得范圍，由此可得結(jié)果.
【詳解】
（1）將兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，則，
，根據(jù)最小二乘估計(jì)可知：，
，
回歸方程為，即.
（2）①甲建立的回歸模型的.
甲建立的回歸模型擬合效果更好.
②由①知，甲建立的回歸模型擬合效果更好.
設(shè)，解得：，解得：.
科技投入的費(fèi)用至少要百萬(wàn)元，下一年的收益才能達(dá)到億.
11．（2021·江西（文））每年的4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”．從進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代以來(lái)，人們閱讀方式發(fā)生了改變，數(shù)字媒體閱讀方式因?yàn)楸銛y，容量大等優(yōu)點(diǎn)越來(lái)越被大眾接受，下表是國(guó)際數(shù)據(jù)公司（IDC）研究的全球近年每年數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量（單位：）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
序號(hào)






年數(shù)據(jù)量




















表中，．
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）更適宜作為該公司統(tǒng)計(jì)的年數(shù)據(jù)量關(guān)于年份序號(hào)的回歸方程類型，試求此回歸方程；
（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，預(yù)計(jì)2024年全世界數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2021年的多少倍？并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到）
參考數(shù)據(jù)：回歸方程中，斜率最小二乘法公式為，．
【答案】（1）；（2）倍；答案見(jiàn)解析．
【分析】
（1）根據(jù)，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并令，化簡(jiǎn)得到，然后利用公式求得，，寫出回歸方程；
（2）根據(jù)（1）的回歸方程，分別令，，求得數(shù)據(jù)值相比即可；
【詳解】
解：（1）由，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，
設(shè)，則．
因?yàn)?，，，?br /> 所以，
．
所以，所以；
（2）令，得．令，得
，預(yù)計(jì)2024年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模是2021年的倍．
12．（2021·山東濟(jì)寧一中高三開(kāi)學(xué)考試）某公司對(duì)某產(chǎn)品作市場(chǎng)調(diào)研，獲得了該產(chǎn)品的定價(jià)（單位：萬(wàn)元/噸）和一天銷售量（單位：噸）的一組數(shù)據(jù)，制作了如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，并作出了散點(diǎn)圖．







0.33
10
3
0.164
100
68
350
表中，，．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適合作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，試建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.20萬(wàn)元，依據(jù)（2）的回歸方程，預(yù)計(jì)定價(jià)為多少時(shí)，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，并求此時(shí)的月利潤(rùn)．（每月按30天計(jì)算，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）
（參考公式：回歸方程，其中，）
【答案】（1）；（2）；（2）預(yù)計(jì)定價(jià)為0.45萬(wàn)元/噸吋，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，此時(shí)的月利潤(rùn)為45.00萬(wàn)元．
【分析】
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖作出判斷；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，令，則，計(jì)算系數(shù)即可得到方程；
（3）建立利潤(rùn)函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.
【詳解】
解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知更適合作為y關(guān)于x的回歸方程．
（2）令，則，
則，
，，關(guān)于x的回歸方程為．
（3）一天利潤(rùn)為．
（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）
每月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元）
預(yù)計(jì)定價(jià)為0.45萬(wàn)元/噸吋，該產(chǎn)品一天的利潤(rùn)最大，此時(shí)的月利潤(rùn)為45.00萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為； 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).


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