概率與統(tǒng)計專題一：二項分布 一、必備秘籍   一般地，在重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為（）如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomial distribution），記作。二、例題講解1．（2021·全國高三其他模擬）羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運動項目．羽毛球比賽的計分規(guī)則：采用21分制，即雙方分數(shù)先達21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．   2．（2021·青銅峽市高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)甲?乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.         3．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）設(shè)為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；（2）設(shè)為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；（3）求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.         三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·湖北武漢·）在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是，那么在本次運動會上：（1）求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；（2）若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為，求的分布列及期望．       2．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)高三開學(xué)考試）某醫(yī)院為篩查某病毒，需要檢驗血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，為了優(yōu)化檢驗方法，現(xiàn)在做了以下兩種檢驗方式：實驗一：逐份檢驗，則需要檢驗次.實驗二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗，此時這份血液樣本的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記釆用逐份檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數(shù)為，釆用混合檢驗方式，需要檢驗的這份樣本的總次數(shù)為.（1）若每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，以該樣本的陽性概率估計全市的血液陽性概率，從全市人民中隨機抽取3名市民，（血液不混合）記抽取到的這3名市民血液成陽性的市民個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（2）若每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求的最大值.（，，） 3．（2021·全國高三其他模擬（理））新冠疫情這特殊的時期，規(guī)定居民出行或出席公共場合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)居民人一周的口罩使用量統(tǒng)計如表所示，其中個人一周的口罩使用為個以及個上的有人.個人的一周口罩使用數(shù)量（單位：個）頻率（1）求、的值；（2）用樣本估計總體，將頻率視為概率，若從地區(qū)的所有居民中隨機抽取人，記一周使用口罩數(shù)量（單位：個）在范圍的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.                   4．（2021·新沂市第一中學(xué)高三其他模擬）市教育部門為研究高中學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該市某校200名高中學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天鍛煉的時間進行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：平均每天鍛煉的時間(分鐘)總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均課外體育鍛煉時間在內(nèi)的學(xué)生評價為“課外體育達標”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關(guān)； 課外體育不達標課外體育達標總計男   女 20110總計   （2）從上述課外體育不達標的學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生中隨機抽取3人了解他們鍛煉時間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學(xué)生中抽取4名學(xué)生，求其中恰好有2名學(xué)生課外體育達標的概率.          5．（2021·陜西漢中·高三月考（理））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）對（1）中得到的回歸方程進行殘差分析，若某樹木的殘差為零，則認為該樹木“長勢標準”，以此頻率來估計概率，則在此片樹木中隨機抽取棵，記這棵樹木中“長勢標準”的樹木數(shù)量為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差.參考公式：回歸直線方程為，其中               6．（2021·四川成都·雙流中學(xué)高三三模（理））從某市的中學(xué)生中隨機調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高（假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）從該市的中學(xué)生中隨機抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計其身高在以上的概率.若從全市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機抽取人，用表示身高在以上的男生人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.                7．（2021·安徽安慶一中高三三模（理））安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關(guān)系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團隊合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.                 8．（2021·湖北恩施·高三其他模擬）目前某市居民使用天然氣實行階梯價格制度，從該市隨機抽取10戶調(diào)查同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計表如下：用氣居民編號12345678910年用氣量(立方米)95106112161210227256313325457（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民的年用氣情況，現(xiàn)從全市居民中抽取10戶，其中恰有戶年用氣量不超過228立方米的概率為，求使取到最大值時，的值.                    9．（2021·天津?qū)氎妗じ呷渌M）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病，而新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀，發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎，嚴重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫(yī)藥研究機構(gòu)合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經(jīng)試驗，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，現(xiàn)已進入藥物臨床試用階段．每個試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”．（1））求一個試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用機組“甲類組”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．                   10．（2021·全國高三月考）2022年北京冬季奧運會將在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，北京市延慶區(qū)張山營鎮(zhèn)的2022北京冬奧森林公園于2020年4月22日正式啟動了冬奧賽區(qū)的樹木移植工作．本次移植的樹木來自2022北京冬奧賽區(qū)樹木假植區(qū)，包含暴馬丁香、核桃楸、大葉白蠟等多個品種．現(xiàn)從冬奧賽區(qū)樹木假植區(qū)中抽取300棵暴馬丁香，并對樹木高度（單位：）進行測量，將測量結(jié)果繪制為如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計抽取的300棵暴馬丁香樹木高度的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)可用該區(qū)間的中點值為代表）；（2）北京冬奧賽區(qū)樹木假植區(qū)內(nèi)的暴馬丁香的高度（）服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．記為假植區(qū)內(nèi)10000棵暴馬丁香中高度位于區(qū)間的數(shù)量，求；（3）在樹木移植完成后，采取施用生根粉、加掛營養(yǎng)液等方式確保了移植樹木的成活率，經(jīng)驗收，單棵移植成活率達到了90%．假設(shè)各棵樹木成活與否相互不影響，求移植五棵暴馬丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小數(shù)）附：若，則，．        11．（2021·云南省元謀縣第一中學(xué)高三其他模擬（理））隨著5G通訊技術(shù)的發(fā)展成熟，移動互聯(lián)網(wǎng)短視頻變得越來越普及，人們也越來越熱衷于通過短視頻獲取資訊和學(xué)習(xí)成長.某短視頻創(chuàng)作平臺，為了鼓勵短視頻創(chuàng)作者生產(chǎn)出更多高質(zhì)量的短視頻，會對創(chuàng)作者上傳的短視頻進行審核，通過審核后的短視頻，會對用戶進行重點的分發(fā)推薦.短視頻創(chuàng)作者上傳一條短視頻后，先由短視頻創(chuàng)作平臺的智能機器人進行第一階段審核，短視頻審核通過的概率為，通過智能機器人審核后，進入第二階段的人工審核，人工審核部門會隨機分配3名員工對該條短視頻進行審核，同一條短視頻每名員工審核通過的概率均為，若該視頻獲得2名或者2名以上員工審核通過，則該短視頻獲得重點分發(fā)推薦.（1）某創(chuàng)作者上傳一條短視頻，求該短視頻獲得重點分發(fā)推薦的概率；（2）若某創(chuàng)作者一次性上傳3條短視頻作品，求其獲得重點分發(fā)推薦的短視頻個數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.                   12．（2021·衡水第一中學(xué)高三月考（理））為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目．某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中組合：物理、化學(xué)、生物，組合：歷史、政治、地理，組合：物理、化學(xué)、地理根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇組合的概率為，選擇組合的概率為，選擇組合的概率為，甲、乙、丙三位同學(xué)每人選課是相互獨立的．（1）求這三位同學(xué)恰好選擇互不相同組合的概率；（2）記表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．                    13．（2021·福建三明·高三期末）某商場為了吸引顧客，舉辦了一場有獎摸球游戲，該游戲的規(guī)則是：將大小相同的4個白球和4個黑球裝入不透明的箱子中攪拌均勻，每次從箱子中隨機摸出3個球，記下這3個球的顏色后放回箱子再次攪拌均勻.如果在一次游戲中摸到的白球個數(shù)比黑球多，則該次游戲得3分，否則得1分.假設(shè)在每次游戲中，每個球被模到的可能性都相等.解決以下問題：（1）設(shè)在一次摸球游戲中摸到的白球個數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）如果顧客當天在該商場的消費滿一定金額可選擇參與4次或5次游戲，當完成所選擇次數(shù)后的游戲的平均得分不小于2時即可獲得一份獎品.若某顧客當天的消費金額滿足條件，他應(yīng)如何選擇游戲次數(shù)才會有更大的獲獎概率？說明理由.
 

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