概率與統(tǒng)計(jì)專題三： 正態(tài)分布一、必備秘籍1、若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為對任意的,,它的圖象在軸的上方.可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(normal dis-tribution),記為.特別地,當(dāng)時,稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即.由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：（1）曲線在軸的上方，與軸不相交。（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱.（3）曲線在處達(dá)到峰值 (最高點(diǎn))（4）當(dāng)無限增大時，曲線無限接近軸.（5）軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1 .2、正態(tài)分布的原則二、例題講解1．（2021·湖南高三其他模擬）數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個組成部分?jǐn)?shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn)．為全面推動數(shù)學(xué)建模活動的開展，某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競賽活動已知該競賽共有60名學(xué)生參加，他們成績的頻率分布直方圖如下．（1）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績定為不合格，60分以上（含60分）的成績定為合格．為科學(xué)評估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平?jīng)Q定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會．記為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（用一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表），若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵，本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分，試估計(jì)此次競賽受到獎勵的人數(shù)．（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：，，．                         2．（2021·全國高三其他模擬）中國人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學(xué)的學(xué)生中，為了加強(qiáng)愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)的抽取了100人，對他們進(jìn)行校史問卷測試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為新人學(xué)的學(xué)生校史問卷測試分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）在某間寢室有6人，求這6個人中至少有1人校史問卷測試分?jǐn)?shù)在90.8分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.            三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分100分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)2515020025022510050（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)，請用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:(ⅰ)得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；(ⅱ)每次獲贈送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:贈送的隨機(jī)話費(fèi)(單元:元)2040概率0.750.25現(xiàn)有市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記 (單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則①；②；③.         2．（2021·沙坪壩·重慶八中高三月考）消費(fèi)扶貧是社會各界通過消費(fèi)來自貧困地區(qū)和貧困人口的產(chǎn)品與服務(wù)，幫助貧困人口增收脫貧的一種扶貧方式，是社會力量參與脫貧攻堅(jiān)的重要途徑.某地為了解消費(fèi)扶貧對貧困戶幫扶情況，該地民政部門從本地的貧困戶中隨機(jī)抽取2000戶時2020年的收入進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：收入(千元)頻數(shù)200600600300200100（1）將調(diào)查的2000戶貧困戶按照收入從低到高依次編號為1，2，3，……，2000，從這些貧困戶中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50戶貧困戶進(jìn)行深度幫扶，已知8號被抽到；（i）收入在和的貧困戶卬被抽到進(jìn)行深度幫扶的戶數(shù)分別為多少？（ii）收入在和的貧困戶中被抽到進(jìn)行深度幫扶的凡中隨機(jī)選取2戶，記選取的2戶中來自的戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由頻率分布表可認(rèn)為該地貧困戶的收入近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)從該地的所有貧困戶中隨機(jī)抽取10戶，記收入在之外的戶數(shù)為，求(精確到0.001).參考數(shù)據(jù)1：當(dāng)時，，，.參考數(shù)據(jù)2：，.           3．（2021·湖北高三開學(xué)考試）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數(shù)頻率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047合計(jì)10001.000（1）求，，的值；（2）求出這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（3）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中已計(jì)算得.如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間，企業(yè)每件產(chǎn)品可以獲利10元，如果產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外，企業(yè)每件產(chǎn)品要損失100元，從該企業(yè)一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品，記為抽取的20件產(chǎn)品所獲得的總利潤，求.附：，，.                        4．（2021·四川高三其他模擬（理））在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：贈送話費(fèi)的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)與公式：．若，則，，.        5．（2021·遼寧）《中國制造2025》提出，堅(jiān)持“創(chuàng)新驅(qū)動、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人オ為本”的基本方針，通過“三步走”實(shí)現(xiàn)制造強(qiáng)國的戰(zhàn)略目標(biāo)：第一步，到2025年邁入制造強(qiáng)國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達(dá)到世界制造強(qiáng)國陣營中等水平；第三步，到新中國成立一百年時，綜合實(shí)力進(jìn)入世界制造強(qiáng)國前列．質(zhì)檢部門對設(shè)計(jì)出口的甲、乙兩種“無人機(jī)”分別隨機(jī)抽取100架檢測某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種“無人機(jī)”100架樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為，試比較的大小（只需給出答案）；（2）若質(zhì)檢部門規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)高于20的無人機(jī)為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，根據(jù)上面抽取的200架無人機(jī)的質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行判斷，是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩種“無人機(jī)”的優(yōu)質(zhì)率有差異？ 甲乙合計(jì)優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品   不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品   合計(jì)1001002000.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種“無人機(jī)”的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，設(shè)表示從乙種無人機(jī)中隨機(jī)抽取10架，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（11.6，35.4）的架數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得；②若，則．                          6．（2021·山西高三三模（理））2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點(diǎn)，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒影隧?xiàng)主要內(nèi)容，其中第一項(xiàng)是結(jié)合鞏固深化“不忘初心?牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教育.這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事，開新局.為了配合這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機(jī)抽取100人，并對他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識競賽人員的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算.現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，，.       7．（2021·全國高三其他模擬）從2020年開始，部分高校實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，越來越多的學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)競賽來證明自己的數(shù)學(xué)實(shí)力.某省舉行的數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽有10000名學(xué)生參加，成績數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N（80，100），現(xiàn)隨機(jī)抽取了某市50名參賽學(xué)生的初賽成績進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)他們的成績?nèi)课挥趨^(qū)間[50，110]內(nèi).將成績分成6組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，該50名學(xué)生成績的平均分是77分.（1）求a，b的值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（2）（i）若要在全省選拔15.865%的同學(xué)通過初賽進(jìn)入決賽，則分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？（ii）若給成績位于全省前228名的同學(xué)頒發(fā)初賽一等獎的證書，現(xiàn)從本市這50名同學(xué)里面能成功進(jìn)入決賽的同學(xué)中任意抽取3人，記這3人中得到初賽一等獎的數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若X~N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.           8．（2021·河南鄭州·（理））已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸（單位：）服從正態(tài)分布．（1）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取個，求至少有一個尺寸小于的概率；（2）為了保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，需要對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障維修，假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備使用期限為四年，每一年為一個維護(hù)周期，每個周期內(nèi)日常維護(hù)費(fèi)為元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則不會產(chǎn)生故障維修費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除了日常維護(hù)費(fèi)外，還會產(chǎn)生一次故障維修費(fèi)．已知故障維修費(fèi)第一次為元，此后每增加一次則故障維修費(fèi)增加元．假設(shè)每個維護(hù)周期互相獨(dú)立，每個周期內(nèi)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行的概率為．求該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用總和的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，．                   9．（2021·通遼新城第一中學(xué)高三其他模擬（理））近年來，學(xué)生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進(jìn)入課堂，考生選擇大學(xué)就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報(bào)考專業(yè)分布更加廣泛，之前較冷門的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等專業(yè)報(bào)考的人數(shù)也逐年上升．下表是某高校數(shù)學(xué)專業(yè)近五年的錄取平均分與當(dāng)年該學(xué)校的最低提檔線對照表：年份20162017201820192020年份代碼（）該校最低提檔分?jǐn)?shù)線數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分提檔線與數(shù)學(xué)專業(yè)錄取平均分之差（）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程；（2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)每年數(shù)學(xué)專業(yè)的錄取分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)的數(shù)學(xué)錄取平均分，假設(shè)2021年該校最低提檔分?jǐn)?shù)線為分．（i）若該大學(xué)2021年數(shù)學(xué)專業(yè)錄取的學(xué)生成績在分以上的有人，本專業(yè)2021年錄取學(xué)生共多少人？進(jìn)入本專業(yè)高考成績前名的學(xué)生可以獲得一等獎學(xué)金．一等獎學(xué)金分?jǐn)?shù)線應(yīng)該設(shè)定為多少分？請說明理由．（ii）若同學(xué)2021年高考考了分，他很想報(bào)考這所大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)，想第一志愿填報(bào)，請利用概率與統(tǒng)計(jì)知識，給該同學(xué)一個合理的建議．（第一志愿錄取可能性低于，則建議謹(jǐn)慎報(bào)考）參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，   10．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（理））2020年是全面建成小康社會之年，是脫貧攻堅(jiān)收官之年．蓮花村是鄉(xiāng)扶貧辦的科學(xué)養(yǎng)魚示范村，為了調(diào)查該村科技扶貧成果，鄉(xiāng)扶貧辦調(diào)查組從該村的養(yǎng)魚塘內(nèi)隨機(jī)捕撈兩次，上午進(jìn)行第一次捕撈，捕撈到60條魚，共105kg，稱重后計(jì)算得出這60條魚質(zhì)量（單位kg）的平方和為200.41，下午進(jìn)行第二次捕撈，捕撈到40條魚，共66kg．稱重后計(jì)算得出這40條魚質(zhì)量（單位kg）的平方和為117．（1）請根據(jù)以上信息，求所捕撈100條魚質(zhì)量的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為該魚塘魚質(zhì)量X服從正態(tài)分布，用作為的估計(jì)值，用作為的估計(jì)值．隨機(jī)從該魚糖捕撈一條魚，其質(zhì)量在的概率是多少？（3）某批發(fā)商從該村魚塘購買了1000條魚，若從該魚塘隨機(jī)捕撈，記為捕撈的魚的質(zhì)量在的條數(shù)，利用（2）的結(jié)果，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）數(shù)據(jù)，，…的方差，（2）若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則；；．              13．（2021·湖南師大附中高三其他模擬）某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備M，為對其進(jìn)行評估，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.（1）為評估設(shè)備M對原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量y和原料中的該材料含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，求y與x的線性回歸方程.附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.（2）為評判設(shè)備M生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(P表示相應(yīng)事件的概率)；①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級.（3）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.從樣本中隨意抽取2件零件，再從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y). 
 

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