概率與統(tǒng)計(jì)專題五：回歸直線方程一、必備秘籍1．兩個(gè)變量線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：將樣本中個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(i＝1,2，…，)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2．回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)回歸方程的推導(dǎo)過程：①假設(shè)已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù),,．②設(shè)所求回歸方程為，其中是待定參數(shù)．③由最小二乘法得其中，是回歸方程的斜率，是截距．二、例題講解1．（2021·哈爾濱市呼蘭區(qū)第一中學(xué)校高三模擬預(yù)測(cè)（文））十三屆全國人大三次會(huì)議表決通過了《中華人民共和國民法典》這部法律自年月日起施行，某市相關(guān)部門進(jìn)行法律宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前周每周普及宣傳的人數(shù)與時(shí)間的數(shù)據(jù)，得到下表：時(shí)間周人數(shù)（1）若可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）的回歸方程，預(yù)測(cè)該宣傳小分隊(duì)第7周普及宣傳（民法典）的人數(shù)．參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，.           2．（2021·合肥市第六中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)（文））樹木根部半徑與樹木的高度呈正相關(guān)，即樹木根部越粗，樹木的高度也就越高.某塊山地上種植了樹木，某農(nóng)科所為了研究樹木的根部半徑與樹木的高度之間的關(guān)系，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取6棵樹木，調(diào)查得到樹木根部半徑(單位：米)與樹木高度(單位：米)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：0.10.20.30.40.50.61.11.31.61.52.02.1（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）對(duì)（1）中得到的回歸方程進(jìn)行殘差分析，若某樹木的殘差為零則認(rèn)為該樹木“長勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)”，在此片樹木中隨機(jī)抽取1棵樹木，估計(jì)這棵樹木“長勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)”的概率.參考公式：回歸直線方程為，其中，.  三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·湖南師大附中高三月考）今年五月，某醫(yī)院健康管理中心為了調(diào)查成年人體內(nèi)某種自身免疫力指標(biāo)，從在本院體檢的人群中隨機(jī)抽取了100人，按其免疫力指標(biāo)分成如下五組：，其頻率分布直方圖如圖1所示．今年六月，某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種疫苗，對(duì)提高該免疫力有顯著效果．經(jīng)臨床檢測(cè)，將自身免疫力指標(biāo)比較低的成年人分為五組，各組分別按不同劑量注射疫苗后，其免疫力指標(biāo)y與疫苗注射量x個(gè)單位具有相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖2所示．（1）健管中心從自身免疫力指標(biāo)在內(nèi)的樣本中隨機(jī)抽取3人調(diào)查其飲食習(xí)慣，記表示這3人中免疫力指標(biāo)在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于大劑量注射疫苗會(huì)對(duì)身體產(chǎn)生一定的副作用，醫(yī)學(xué)部門設(shè)定：自身免疫力指標(biāo)較低的成年人注射疫苗后，其免疫力指標(biāo)不應(yīng)超過普通成年人群自身免疫力指標(biāo)平均值的3倍．以健管中心抽取的100人作為普通人群的樣本，據(jù)此估計(jì)疫苗注射量不應(yīng)超過多少個(gè)單位．附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為．      2．（2021·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)（理））根據(jù)國際疫情形勢(shì)以及傳染病防控的經(jīng)驗(yàn)，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段，我國正在安全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開展疫苗接種社會(huì)宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識(shí)到了疫苗接種的重要作用，自宣傳開始后村干部統(tǒng)計(jì)了本村名居民（未接種）的一個(gè)樣本，天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，如下統(tǒng)計(jì)表：第天新接種人數(shù)（1）建立關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)全村共計(jì)名居民（均未接種過疫苗），用樣本估計(jì)總體來預(yù)測(cè)該村居民接種新冠疫苗需要幾天？參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．                3．（2021·九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）隨著城市規(guī)模的擴(kuò)大和人們生活水平的日益提高，某市近年機(jī)動(dòng)車保有量逐年遞增.根據(jù)機(jī)動(dòng)車管理部門的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以5年為一個(gè)研究周期，得到機(jī)動(dòng)車每5年純?cè)鰯?shù)據(jù)情況為：年度周期1995~20002000~20052005~20102010~20152015~2020時(shí)間變量12345純?cè)鰯?shù)量（單位：萬輛）3691527其中，時(shí)間變量對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)車純?cè)鰯?shù)據(jù)為，且通過數(shù)據(jù)分析得到時(shí)間變量與對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)車純?cè)鰯?shù)量（單位：萬輛）具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）求機(jī)動(dòng)車純?cè)鰯?shù)量（單位：萬輛）關(guān)于時(shí)間變量的回歸方程，并預(yù)測(cè)2025~2030年間該市機(jī)動(dòng)車純?cè)鰯?shù)量的值；附：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：；.（2）該市交通管理部門為了了解市民對(duì)“單雙號(hào)限行”的贊同情況，隨機(jī)采訪了200名市民，將他們的意見和是否擁有私家車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的列聯(lián)表： 贊同限行不贊同限行合計(jì)沒有私家車8515100有私家車7525100合計(jì)16040200根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有95%的把握認(rèn)為“對(duì)限行的意見與是否擁有私家車”有關(guān).附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828                          4．（2021·貴州貴陽·高三月考（理））據(jù)貴州省氣候中心報(bào)，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之間，畢節(jié)市局地、遵義市北部、銅仁市局地和黔東南州東南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超過100mm.若我省某地區(qū)2021年端午節(jié)前后3天，每一天下雨的概率均為.通過模擬實(shí)驗(yàn)的方法來估計(jì)該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)（，且）表示是否下雨：當(dāng)時(shí)表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時(shí)，表示該地區(qū)不下雨.因?yàn)槭?/span>3天，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下:332    714    740    945    593    468    491    272    073    445    992    772    951    431    169    332    435    027    898    719     （1）求出k的值，使得該地區(qū)每一天下雨的概率均為；并根據(jù)上述20組隨機(jī)數(shù)估計(jì)該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年該地區(qū)端午節(jié)當(dāng)天降雨量（單位:mm）如表：時(shí)間2016年2017年2018年2019年2020年年份12345降雨量2827252322經(jīng)研究表明：從2016年到2020年，該地區(qū)端午節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.并預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為多少？參考公式：，.        5．（2021·重慶高三月考）為了研究義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力指標(biāo)分、推理能力指標(biāo)分、建模能力指標(biāo)分的相關(guān)性，其中，，，并將它們各自量化為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)3個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解重慶市1年級(jí)至9年級(jí)在校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)抽取了該地的五個(gè)年級(jí)，訪問了每個(gè)年級(jí)的2個(gè)學(xué)生，統(tǒng)計(jì)得到這10個(gè)學(xué)生的如下數(shù)據(jù)：年級(jí)24568數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分29，3138，4247，5356，6469，71數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)平均分分3040506070（1）畫出散點(diǎn)圖，并判斷，之間是否具有相關(guān)關(guān)系（2）若，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試估計(jì)重慶市9年級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)平均分為多少（3）在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：①參考數(shù)據(jù)：，②求線性回歸方程的系數(shù)公式，           6．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)高三月考）近年來，學(xué)生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進(jìn)入課堂，考生選擇大學(xué)就讀專業(yè)時(shí)不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報(bào)考專業(yè)分布更加廣泛，報(bào)考之前較冷門專業(yè)的人數(shù)也逐年上升．下表是某高校專業(yè)近五年來在某省錄取平均分與當(dāng)年該大學(xué)的最低提檔線對(duì)照表：年份20172018201920202021年份代碼（）該校最低提檔分?jǐn)?shù)線專業(yè)錄取平均分專業(yè)錄取平均分與提檔線之差（）（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程； （2）據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學(xué)專業(yè)每年錄取分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中為當(dāng)年該大學(xué)專業(yè)錄取的平均分. 假設(shè)2022年該大學(xué)最低提檔線為分．①利用（1）的結(jié)果預(yù)測(cè)2022年專業(yè)錄取平均分；②若某同學(xué)2022年高考考了分，該大學(xué)專業(yè)在該省共錄取100人，錄取成績前五名的學(xué)生可以獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金，請(qǐng)問該同學(xué)能否獲得該獎(jiǎng)學(xué)金？請(qǐng)說明理由．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，，.         7．（2021·全國（理））某藥廠為了了解某新藥的銷售情況，將今年2至6月份的銷售額整理得到如下圖表：月份23456銷售額(萬元)1925353742（1）根據(jù)2至6月份的數(shù)據(jù)，求出每月的銷售額關(guān)于月份的線性回歸方程；（2）根據(jù)所求線性回歸方程預(yù)測(cè)該藥廠今年第三季度(7，8，9月份)這種新藥的銷售總額.(參考公式：，)                   8．（2021·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)（文））為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某電商平臺(tái)為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng).為了對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)（元/件）88.28.48.68.89銷量（萬件）908483807568（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測(cè)把單價(jià)定為多少時(shí)，工廠獲得最大利潤？（參考公式：回歸方程，其中，）                    9．（2021·四川內(nèi)江·高三其他模擬（文））為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，教育部開展了招生改革工作——強(qiáng)基計(jì)劃.現(xiàn)對(duì)某高中學(xué)校學(xué)生對(duì)強(qiáng)基課程學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行調(diào)查，在參加數(shù)學(xué)和物理的強(qiáng)基計(jì)劃課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中，隨機(jī)抽取了名學(xué)生.（1）在某次數(shù)學(xué)強(qiáng)基課程的測(cè)試中，這名學(xué)生成績的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，其中某男生的成績被污損（為整數(shù)），求女生的平均分?jǐn)?shù)超過男生的平均分?jǐn)?shù)的概率.男生 女生  （2）已知學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了小明同學(xué)連續(xù)次在強(qiáng)基課程測(cè)試中的數(shù)學(xué)和物理成績（如下表）.若第次測(cè)試該生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到，請(qǐng)你估計(jì)第次測(cè)試他的物理成績大約是多少？數(shù)學(xué)成績物理成績附：，.           10．（2021·全國高三模擬預(yù)測(cè)（文））發(fā)展清潔能源，是改善能源結(jié)構(gòu)、保障能源安全、推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要任務(wù).十三五以來，我國加快調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，減少煤炭消費(fèi)、穩(wěn)定油氣供應(yīng)、大幅增加清潔能源比重，風(fēng)電、光伏等可再生能源發(fā)電效率不斷提高.據(jù)資料整理統(tǒng)計(jì)我國從2015年到2019年的年光伏發(fā)電量如表：年份20152016201720182019編號(hào)12345年光伏發(fā)電量（億千瓦時(shí)）395665117817752243其中.（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明是否可用線性回歸模型擬合年光伏發(fā)電量與的關(guān)系；（2）建立年光伏發(fā)電量關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2021年年光伏發(fā)電量（結(jié)果保留整數(shù)）.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,  ,          11．（2021·全國高三其他模擬（文））實(shí)施新規(guī)后，某商場(chǎng)2020年1月份至10月份的收入情況如表.月份12345678910收入(萬元)10121513161715161620并計(jì)算得，，，.（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(當(dāng)時(shí)，那么變量，有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)（2）建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入情況.(結(jié)果保留整數(shù))附：，，.
 

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