導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題六：極限與洛必達(dá)法則一、必備秘籍法則1  若函數(shù)和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)， 與 可導(dǎo)且；
　　(3)，那么 =。
法則2  若函數(shù)和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)，和在與上可導(dǎo)，且；
　　(3)，那么 =。
法則3  若函數(shù) 和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)， 與可導(dǎo)且；
　　(3)，那么 =。注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意： 將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型。3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。
4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。二、例題講解1.若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍？當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于.記，則.且時(shí)，，所以.因此在上單調(diào)遞減.；。.所以。   感悟升華（核心秘籍）  本題在求發(fā)現(xiàn)沒(méi)有意義屬于型；從而可以使用洛必達(dá)法則；在使用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要先判斷是否符合洛必達(dá)法則使用的標(biāo)準(zhǔn)；2.已知函數(shù).（1）若在時(shí)有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?/span>，所以由在處取極值，得，求得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，即.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以；從而在上單調(diào)遞增，所以.由洛必達(dá)法則有：，即當(dāng)時(shí)，，所以，即有.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，成立.   感悟升華（核心秘籍） 本題構(gòu)造，等價(jià)于，而，屬于型，符合洛必達(dá)使用的基本條件，從而可以使用洛必達(dá)法則；  三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1：已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1),  ；函數(shù)在處取得極值，  ；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令， 則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．2.設(shè)函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解：（1）易證. （2）由題設(shè)，此時(shí).①當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即；若，則；若，則等價(jià)于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.3.設(shè)函數(shù)．如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍．【解析】，若，則；若，則等價(jià)于，即則.記，因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，故，所以在上單調(diào)遞減，而.另一方面，當(dāng)時(shí)，，因此.
 

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