數(shù)列專題五：數(shù)列求通項 （倒數(shù)法）一、必備秘籍用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符合專題四類型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式。）二、例題講解1．（2021·全國高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求的通項公式.【答案】.【分析】已知式取倒數(shù)可證得是等差數(shù)列，從而易得通項公式．【詳解】，兩邊取倒數(shù)得，即，又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；   感悟升華（核心秘籍）用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：1、注意題目給定的符合用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1；2、兩邊取“倒”，化為；3、注意到化簡式可以看成是首項為，公差為的等差數(shù)列。2．（2020·浙江省寧海中學(xué)高二其他模擬）已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；【答案】（Ⅰ）；【分析】（Ⅰ）對遞推公式兩邊同時取倒數(shù)，進(jìn)而變?yōu)?/span>，利用等比數(shù)列通項公式可得，化簡即可得解；【詳解】（Ⅰ），，又，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，；  感悟升華（核心秘籍）用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型2：（注意和類型1對比）1、注意題目給定的符合用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型2；2、兩邊取“倒”，化為；3、注意到化簡式可以換元化簡為，再用專題四的構(gòu)造法求解。  三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2020·上海高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，，求的通項公式.【答案】【分析】通過對遞推關(guān)系式，變形可知，即數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】， ，即又，則是首項為，公差為的等差數(shù)列，，即，故答案為：2．（2021·全國高二期末）已知數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列【答案】（1）證明見解析  .【分析】（1）由可得，然后可得答案；【詳解】（1）證明：由，知又，∴是以為首項，3為公比的等比數(shù)列。3．（2021·青海海東·平安一中高一月考）已知數(shù)列，滿足，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)將已知遞推關(guān)系式取倒數(shù)化簡，利用等差數(shù)列的定義證明即可；(2)先求出等差數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可得．【詳解】(1)證明:∵，，∴，∴，即是首項為，公差為的等差數(shù)列．(2)由上述可知，∴.4．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且．求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）【詳解】由得，（兩邊同時減1）得：，所以是為首項，以2位公比的等比數(shù)列，所以，得到，5．（2020·河南（理））已知數(shù)列的首項，且．（1）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）由已知關(guān)系式可推得，知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可求得，由此得到結(jié)果；【詳解】（1），，，即，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，．6．（2020·浙江高二期中）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；【答案】（1）證明見解析，；【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式公式可得數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項公式，【詳解】解：（1），，，，，，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，7．（2020·開魯縣第一中學(xué)高二月考（理））設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；【答案】（1）；【分析】（1）利用倒數(shù)法和構(gòu)造法可得到數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可整理得到結(jié)果；【詳解】（1）由可得：，即，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，整理可得：. 
 

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