導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題七：極值點(diǎn)偏移問題一、必備秘籍1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往。如下圖所示。             圖1 極值點(diǎn)不偏移           圖2  極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)右偏。2、對(duì)稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，若證 ，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．[提醒]　若要證明的符號(hào)問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．二、例題講解1．（2021·貴州省思南中學(xué)高三月考（文））設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)，滿足且，證明：.       2．（2021·黑龍江大慶中學(xué)（文））已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．             三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·江蘇周市高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，證明：．        2．（2021·安徽六安一中高三（理））已知函數(shù).（1）證明：曲線在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：.       3．（2021·江蘇南通·高三）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：. 4．（2021·黑龍江齊齊哈爾·（理））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：.       5．（2021·新疆布爾津縣高級(jí)中學(xué)（理））已知函數(shù)（1）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（2）求證且；（3）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證      6．（2021·江西萍鄉(xiāng)·高三二模（理））已知函數(shù)，函數(shù)滿足．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，證明：． 7．（2021·長(zhǎng)嶺縣第二中學(xué)高三）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)滿足且，證明：．     8．（2021·北京昌平·臨川學(xué)校）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．    9．（2021·全國(guó)高三）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，求證：. 10．（2021·江蘇高三期末）已知函數(shù)，．（1）若在處的切線與軸平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：． 
      
 

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