Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
觀察我們的教室，教室的墻面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光燈抽象成一條直線，那么日光燈所在直線與墻面、地面、天花板有何位置關(guān)系？
Xeq \(\s\up7(新知導(dǎo)學(xué)),\s\d5(in zhi da xue ))
1．空間中直線與平面的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：有且只有三種
①直線在平面內(nèi)——有__無數(shù)__個公共點；
②直線與平面相交——__有且只有一個__公共點；
③直線與平面平行——__沒有__公共點．
直線與平面__相交__或__平行__的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．
[歸納總結(jié)] “直線與平面不相交”和“直線與平面沒有公共點”表示不同的意義，前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．
(2)符號表示：直線l在平面α內(nèi)，記為__l?α__；直線l與平面α相交于點M，記為__l∩α＝M__；直線l與平面α平行，記為__l∥α__．
(3)圖示：直線l在平面α內(nèi)，如圖a所示；直線l與平面α相交于點M，如圖b所示；直線l與平面α平行，如圖c所示．
2．兩個平面之間的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：有且只有兩種
①兩個平面平行——__沒有__公共點；
②兩個平面相交——有__一條__公共直線．
(2)符號表示：兩個平面α，β平行，記為α∥β；兩個平面α，β相交于直線l，記為__α∩β＝l__．
(3)圖示：兩個平面α，β平行，如圖a所示；兩個平面α，β相交于直線l，如圖b所示．
Yeq \(\s\up7(預(yù)習(xí)自測),\s\d5(u xi zi ce ))
1．直線m∥平面α，則m與α的公共點有( A )
A．0個 B．1個
C．2個 D．無數(shù)個
[解析] ∵m∥d，∴m與α沒有公共點．
2．直線l與平面α有兩個公共點，則( A )
A．l?α B．l∥α
C．l與α相交 D．l∈α
[解析] 如果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線就在這個平面內(nèi)．
3．已知兩個不同的平面α，β，若M∈平面α，M∈平面β，則α與β的位置關(guān)系是( B )
A．平行 B．相交
C．重合 D．不確定
[解析] 兩個不同的平面若有一個公共點，則這兩個平面一定有一條過這個公共點的公共直線．
4．若直線a不在平面α內(nèi)，則直線a與平面α的公共點的個數(shù)為__0或1__.
[解析] 當(dāng)直線a與平面平行時，公共點有0個；當(dāng)直線a與平面α相交時，公共點有1個．
Heq \(\s\up7(互動探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命題方向1 ?直線與平面的位置關(guān)系
典例1 下列五個命題中正確命題的個數(shù)是( B )
①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；
②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α 內(nèi)的任何一條直線平行；
③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a與平面α上的無數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 如圖所示
在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′卻在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故①錯；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②錯；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′與A′D′相交，故③錯；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，則C′D′∥平面ABCD，故④正確；AA′顯然與平面ABB′A′中的無數(shù)條直線平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤錯誤，故選B．
『規(guī)律方法』 直線與平面位置關(guān)系的判斷：
(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．
〔跟蹤練習(xí)1〕
下列命題中的真命題是( A )
A．若點A∈α，點B?α，則直線AB與平面α相交
B．若a?α，b?α，則a與b必異面
C．若點A?α，點B?α，則直線AB∥平面α
D．若a∥α，b?α，則a∥b
[解析] 對于選項B，如圖(1)顯然錯誤．
對于選項C，如圖(2)顯然錯誤．
對于選項D，如圖(3)顯然錯誤，故選A．
命題方向2 ?兩個平面的位置關(guān)系
典例2 α，β是兩個不重合的平面，下面說法正確的是( D )
A．平面α內(nèi)有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥β
B．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥β
C．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β
[解析] 如圖(1)
a?α，b?α，a∥β，b∥β
而α與β不平行，故選項A，B錯誤；
如圖(2)

a∥α，a∥β，而α與β不平行，故選項C錯誤，故選D．
『規(guī)律方法』 判斷兩平面之間的位置關(guān)系時，可把自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，搞清圖形間的相對位置是確定的還是可變的，借助于空間想象能力，確定平面間的位置關(guān)系．
〔跟蹤練習(xí)2〕
如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是( C )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能確定
[解析] 由題目分別在兩個平面內(nèi)的兩直線平行判定兩平面是相交或平行．解答本題可逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．
Yeq \(\s\up7(易混易錯警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi )) 對空間線面位置關(guān)系考慮不全面致誤.
典例3 設(shè)P是異面直線a，b外的一點，則過P與a，b都平行的平面( C )
A．有且只有一個 B．恰有兩個
C．沒有或只有一個 D．有無數(shù)個
[錯解] 如圖，過P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴過a1，b1有且只有一個平面．故選A．
[錯因分析] 錯解是因為對空間概念理解不透徹，對P點位置沒有作全面地分析，只考慮了一般情況，而忽略了特殊情形．事實上，當(dāng)直線a(或b)與點P確定的平面恰與直線b(或a)平行時，與a，b都平行的平面就不存在了．
[正解] C
[警示] 對于空間中的線面和面面位置關(guān)系問題，應(yīng)注意結(jié)合實例，全面考慮，認(rèn)真分析所有可能的情形，才能避免判斷失誤．
〔跟蹤練習(xí)3〕若直線l與平面α不平行，則下列結(jié)論正確的是( D )
A．α內(nèi)的所有直線都與直線l異面
B．α內(nèi)不存在與l平行的直線
C．α內(nèi)的直線與l都相交
D．直線l與平面α有公共點
[錯解] 選B．因為l與平面α不平行，所以l與α相交，因此α內(nèi)任意直線都與l不平行．
[錯因分析] 對直線與平面的位置關(guān)系不清楚，忽視了l?α的情形．
[正解] D
∵l與α不平行，∴l(xiāng)?α或l與α相交，故l與α有公共點．
Xeq \(\s\up7(學(xué)科核心素養(yǎng)),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 推理證明的一種間接方法——反證法
典例4 已知：直線a∥b，a∩平面α＝P．
求證：直線b與平面α相交.
[思路分析] 解答此類問題要首先把符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，即依據(jù)題意作圖，然后根據(jù)已知條件證明，若直接證明較困難，則宜采用反證法．即先假設(shè)原結(jié)論不成立，則原結(jié)論的反面就成立，然后把原結(jié)論的反面和題設(shè)條件作為條件進(jìn)行推理，直到推出一個明顯錯誤的結(jié)論．從而肯定原結(jié)論正確．
[解析] 如右圖，∵a∥b，
∴a和b確定平面β，
∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于過P點的直線l．
∵在平面β內(nèi)l和兩條平行直線a，b中的一條直線a相交，
∴l(xiāng)必和b相交于Q，即b∩l＝Q，
又因為b不在平面α內(nèi)(若b在 α內(nèi)，則α和β都過兩相交直線b和l，因此α和β重合)，l在α內(nèi)，故直線b和平面α 相交．
『規(guī)律方法』 應(yīng)用反證法證題時，要全面考慮反面的各種情況，逐一推出矛盾進(jìn)行排除，具體步驟為：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)歸謬；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論．
〔跟蹤練習(xí)4〕
如果一條直線經(jīng)過平面內(nèi)的一點，又經(jīng)過平面外的一點，則此直線和平面相交．
已知：A∈α，A∈a，B?α，B∈a．
求證：直線a與平面α相交．
[解析] 假設(shè)直線a和平面α不相交，則a∥α或a?α．
假設(shè)a∥α，就與A∈α，A∈a矛盾；
假設(shè)a?α，就與B?α，B∈a矛盾．
∴假設(shè)不成立．
∴直線a與平面α相交．
Keq \(\s\up7(課堂達(dá)標(biāo)驗收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．圓柱的兩個底面的位置關(guān)系是( B )
A．相交 B．平行
C．平行或異面 D．相交或異面
[解析] 圓柱的兩個底面無公共點，則它們平行．
2．直線a與平面α平行，直線b?α，則a與b的位置關(guān)系是( D )
A．相交 B．平行
C．異面 D．平行或異面
[解析] ∵a∥α，∴a與α無公共點
又∵b?α，∴a與b無公共點
∴a∥b或a與b異面．
3．若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的直線( D )
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行或異面
[解析] 兩個平面內(nèi)的直線必?zé)o交點，所以不是異面必是平行．
4．過平面α外一點，作直線l∥α，則這樣的直線l有__無數(shù)__條.
[解析] 過平面α外一點可以作無數(shù)條直線平行于平面α．

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2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 必修2

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