第二章  點、直線、平面之間的位置關(guān)系本章教材分析    本章將在前一章整體觀察、認識空間幾何體的基礎(chǔ)上，以長方體為載體，使學生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認識空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系；通過大量圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關(guān)系，初步體驗公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應用問題.    本章主要內(nèi)容：2.1點、直線、平面之間的位置關(guān)系，2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì).2.1節(jié)的核心是空間中直線和平面間的位置關(guān)系.從知識結(jié)構(gòu)上看，在平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，由易到難順序研究直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系.本章在培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點、公理化的思想、空間想象力和思維能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3節(jié)內(nèi)容的編寫是以“平行”和“垂直”的判定及其性質(zhì)為主線展開，依次討論直線和平面平行、平面和平面平行的判定和性質(zhì)；直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性質(zhì).    “平行”和“垂直”在定義和描述直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系中起著重要作用.在本章它集中體現(xiàn)在：空間中平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、空間中垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及空間中垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.    本章教學時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：2.1.1平面約1課時2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系約1課時2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系約1課時2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系約1課時2.2.1直線與平面平行的判定約1課時2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)約1課時2.2.22.2.4平面與平面平行的判定平面與平面平行的性質(zhì)約1課時2.3.1直線與平面垂直的判定約1課時2.3.2平面與平面垂直的判定約1課時2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)約1課時2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)約1課時 本章復習約1課時               §2.1  空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系§2.1.1  平面一、教材分析    平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準確地理解平面,教材重點介紹了平面的基本性質(zhì),即教科書中的三個公理,這也是本節(jié)的重點.另外,本節(jié)還應充分展現(xiàn)三種數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換.二、教學目標1．知識與技能（1）利用生活中的實物對平面進行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖（3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用；（4）培養(yǎng)學生的空間想象能力. 2．過程與方法（1）通過師生的共同討論，使學生對平面有了感性認識；（2）讓學生歸納整理本節(jié)所學知識. 3．情感、態(tài)度與價值觀使用學生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學習的興趣.三、重點難點    三種數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換與翻譯,利用三個公理證明共點、共線、共面問題.四、課時安排    1課時五、教學過程（一）導入新課思路1.(情境導入)    大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”.結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認識數(shù)學中的平面.思路2.(事例導入)觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？圖1    長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內(nèi)的直線等等.空間中的點、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個問題. （二）推進新課、新知探究、提出問題①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;②平面的畫法與表示方法;③如何描述點與直線、平面的位置關(guān)系？④直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個公共點才能判斷直線在平面內(nèi)？⑤根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，幾個點能確定一個平面？⑥如果兩個不重合的平面有一個公共點，它們的位置關(guān)系如何？請畫圖表示;⑦描述點、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語言？⑧自己總結(jié)三個公理的有關(guān)內(nèi)容.活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.對有困難的學生可提示如下：①回憶我們學過的最基本的概念（原始概念），如點、直線、集合等.②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.③點在直線上和點在直線外；點在平面內(nèi)和點在平面外.④確定一條直線需要幾個點？⑤引導學生觀察教室的門由幾個點確定.⑥兩個平面不可能僅有一個公共點，因為平面有無限延展性.⑦文字語言、圖形語言、符號語言.⑧平面的基本性質(zhì)小結(jié).討論結(jié)果：①平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因為它是不加定義的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯).②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.                  圖2                           圖3    平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖5）.                圖4                       圖5③下面我們總結(jié)點與直線、平面的位置關(guān)系如下表：點A在直線a上（或直線a經(jīng)過點A）A∈a元素與集合間的關(guān)系點A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點A）Aa點A在平面α內(nèi)（或平面α經(jīng)過點A）A∈α點A在平面α外（或平面α不經(jīng)過點A）Aα④直線上有一個點在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個點在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).這是用文字語言描述，我們也可以用符號語言和圖形語言（圖6）描述.    空間圖形的基本元素是點、直線、平面.從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號語言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則aα.          圖6                         圖7請同學們用符號語言和圖形語言描述直線與平面相交.若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,則aα.如圖（圖7）.⑤在生活中，我們常常可以看到這樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等.    上述事實和類似的經(jīng)驗可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個平面位置的依據(jù)之一.⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？不是，因為平面是無限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個現(xiàn)象（課件演示給學生看）.問：兩個平面會不會只有一個公共點？不會，因為平面是無限延展的，應當有很多公共點.正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數(shù)個公共點.那么這無數(shù)個公共點在什么位置呢？可見，這無數(shù)個公共點在一條直線上.    這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號語言表示為：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.圖9    公理3告訴我們，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交，且其交線一定過這個公共點.也就是說，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有另外一個公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線.    由此看出公理3不僅給出了兩個平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.⑦描述點、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號語言.⑧“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù) （三）應用示例思路1例1  如圖10，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動：學生自己思考或討論，再寫出（最好用實物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.變式訓練1.畫圖表示下列由集合符號給出的關(guān)系：(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如圖11.圖11 2.根據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面α∩平面β=l，直線ABα，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，Fl;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個頂點滿足條件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.答案：如圖12.圖12點評：圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號表示出來.(2)根據(jù)符號，想象出點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來. 例2  已知直線a和直線b相交于點A.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.圖13證明：如圖13,點A是直線a和直線b的交點,在a上取一點B，b上取一點C，根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點A、B、C有一個平面α，因為A、B在平面α內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面α內(nèi),同理直線b在平面α內(nèi)，即平面α是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又因為A、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點A、B、C.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點A、B、C的平面有且只有一個，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個.變式訓練求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F,圖14∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α，即a,bα.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點評：在今后的學習中經(jīng)常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)    直線與直線外一點.(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.(2)     思路2例1  如圖15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC與EF相交，在圖中分別畫出平面ABC與α、β的交線.圖15活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對作圖不準確的學生提示引導考慮問題的思路.解：如圖16所示，連接CB，∵C∈β, B∈β,∴直線CBβ.圖16∵直線CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直線CB.設(shè)直線CB與直線EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直線AD.變式訓練1.如圖17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，請畫出直線DE與平面α的交點P，并指出點P與直線BC的位置關(guān)系.圖17解：AD和AC是相交直線，它們確定一個平面ABC，它與平面α的交線為直線BC，DE平面ABC，∴DE與α的交點P在直線BC上. 2.如圖18，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為8 cm，M、N、P分別是AB、A1D1、BB1的中點，圖18(1)畫出過M、N、P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線，以及與平面BB1C1C的交線.(2)設(shè)過M、N、P三點的平面與B1C1交于點Q，求PQ的長.解：(1)設(shè)M、N、P三點確定的平面為α，則α與平面AA1B1B的交線為直線MP，設(shè)MP∩A1B1=R，則RN是α與平面A1B1C1D1的交線，設(shè)RN∩B1C1=Q，連接PQ，則PQ是所要畫的平面α與平面BB1C1C的交線.如圖18.(2)正方體棱長為8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，∴PQ=cm.點評：公理3給出了兩個平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理3找兩平面的交點和交線. 例2  已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線.解：如圖19,∵A、B、C是不在同一直線上的三點,圖19∴過A、B、C有一個平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,∴點P既在β內(nèi)又在α內(nèi).設(shè)α∩β=l,則P∈l,同理可證：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三點共線.變式訓練三個平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一點.    已知平面α、β、γ兩兩相交于三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求證： l1、l2、l3相交于一點.證明：如圖20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，圖20∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,∴l(xiāng)1與l2必相交.設(shè)l1∩l2=P，則P∈l1α,P∈l2γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l(xiāng)1、l2、l3相交于一點P.點評：共點、共線問題是本節(jié)的重點，在高考中也經(jīng)?？疾?，其理論依據(jù)是公理3. （四）知能訓練    畫一個正方體ABCD—A′B′C′D′，再畫出平面ACD′與平面BDC′的交線，并且說明理由.解：如圖21,圖21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF為所求. （五）拓展提升    O1是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，過D1、B1、A作一個截面，求證：此截面與對角線A1C的交點P一定在AO1上.解：如圖22,連接A1C1、AC，圖22因AA1∥CC1，則AA1與CC1可確定一個平面AC1，易知截面AD1B1與平面AC1有公共點A、O1，所以截面AD1B1與平面AC1的交線為AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在兩平面的交線上，即P∈AO1.點評：證明共點、共線問題關(guān)鍵是利用兩平面的交點必在交線上. （六）課堂小結(jié)1.平面是一個不加定義的原始概念，其基本特征是無限延展性.2.通過三個公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作用.名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)3.利用三個公理證明共面、共線、共點問題. （七）作業(yè)課本習題2.1  A組5、6.                    

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2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標A

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