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十六平面與平面垂直的性質(zhì)(45分鐘　70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線(xiàn)AB∥l，直線(xiàn)AC⊥l，直線(xiàn)m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是　(　　)A.AB∥m      B.AC⊥mC.AB∥β      D.AC⊥β【解析】選D.因?yàn)?/span>m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l.因?yàn)锳B∥l，所以AB∥m.故A一定正確.因?yàn)锳C⊥l，m∥l，所以AC⊥m.從而B(niǎo)一定正確.因?yàn)锳∈α，AB∥l，l?α，所以B∈α.所以AB?β，l?β.所以AB∥β.故C也正確.因?yàn)锳C⊥l，當(dāng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)時(shí)，AC⊥β成立，當(dāng)點(diǎn)C不在平面α內(nèi)時(shí)，AC⊥β不成立.故D不一定成立.2.(2015·安徽高考)已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是　(　　)A.若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線(xiàn)D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面【解析】選D.選項(xiàng)具體分析結(jié)論A平面α，β垂直于同一個(gè)平面，則α，β相交或平行錯(cuò)誤B直線(xiàn)m，n平行于同一個(gè)平面，則m與n平行、相交、異面錯(cuò)誤C若α，β不平行，則在α內(nèi)存在與β平行的直線(xiàn)，如α中平行于α與β交線(xiàn)的直線(xiàn)，則此直線(xiàn)也平行于平面β錯(cuò)誤D若m，n垂直于同一個(gè)平面，則m∥n，其逆否命題即為選項(xiàng)D正確3.(2016·杭州高二檢測(cè))設(shè)α，β，γ是三個(gè)互不重合的平面，m，n是直線(xiàn)，給出下列命題：①α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ；②若α∥β，m?β，m∥α，則m∥β；③若m，n在γ內(nèi)的射影互相垂直，則m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n，其中正確命題的個(gè)數(shù)為　(　　)A.0   B.1   C.2   D.3【解析】選B.①：根據(jù)面面垂直的判定可知：①錯(cuò)誤；②：根據(jù)線(xiàn)面平行的判定可知，②正確；③：如正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB1與AD1在底面A1B1C1D1的射影互相垂直，而AB1與AD1的夾角為，③錯(cuò)誤；④：m，n可能斜交，可能平行，可能異面，可能垂直，④錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).4.如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為和，過(guò)A，B分別作兩平面交線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，則AB∶A′B′等于　(　　)A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3【解題指南】利用面面垂直的性質(zhì)定理找AB與兩平面α，β所成的角，再利用直角三角形的知識(shí)表示出AB的值與A′B′的值，進(jìn)而求出AB∶A′B′的值.【解析】選A.如圖，由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′=，BB′⊥平面α，∠BAB′=，設(shè)AB=a，則BA′=a，BB′=a，在Rt△BA′B′中，A′B′=a，所以=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC=4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為　(　　)A.2　　　  B.2　　 　C.4　　　 D.4【解析】選B.連接CM，則由題意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM=4×=2，所以PM的最小值為2.5.線(xiàn)段AB的兩端在直二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)，并與這兩個(gè)面都成30°角，則異面直線(xiàn)AB與l所成的角是　(　　)A.30°   B.45°   C.60°   D.75°【解題指南】過(guò)B作l的平行線(xiàn)BC，將直線(xiàn)l與AB所成角轉(zhuǎn)化為AB與BC所成角.【解析】選B.設(shè)AB=a，在平面α內(nèi)，作AA′⊥l于A′，則AA′⊥β，連A′B，則∠ABA′=30°.在Rt△AA′B中，AB=a，所以AA′=a.同理作BB′⊥l于B′，連AB′，則∠BAB′=30°，所以BB′=a，AB′=a，所以A′B′==a，過(guò)B作BCA′B′.連接A′C，則A′CBB′，連接AC，在Rt△AA′C中，AC==a.由BC⊥平面AA′C，所以△ABC為直角三角形，且AC=BC，所以∠ABC=45°，為l與AB所成角.6.(2016·菏澤高一檢測(cè))已知兩條不重合的直線(xiàn)m，n和兩個(gè)不重合的平面α，β，有下列命題：①若m⊥n，m⊥α，則n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β；③若m，n是兩條異面直線(xiàn)，m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，則n⊥α.其中正確命題的個(gè)數(shù)是　(　　)A.1   B.2   C.3   D.4【解析】選C.①若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，故①錯(cuò)誤；②因?yàn)?/span>m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β，則α∥β，故②正確；③過(guò)直線(xiàn)m作平面γ交平面β于直線(xiàn)c，因?yàn)?/span>m，n是兩條異面直線(xiàn)，所以設(shè)n∩c=O；因?yàn)?/span>m∥β，m?γ，γ∩β=c，所以m∥c；因?yàn)?/span>m?α，c?α，所以c∥α，因?yàn)?/span>n?β，c?β，n∩c=O，c∥α，n∥α，所以α∥β，故③正確；④由面面垂直的性質(zhì)定理：因?yàn)?/span>α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，所以n⊥α，故④正確.7.如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是　(　　)A.一條線(xiàn)段B.一條直線(xiàn)C.一個(gè)圓D.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)槠矫?/span>PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，AC?平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因?yàn)锽C?平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn).8.(2015·浙江高考)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線(xiàn)，且l?α，m?β　(　　)A.若l⊥β，則α⊥βB.若α⊥β，則l⊥mC.若l∥β，則α∥βD.若α∥β，則l∥m【解析】選A.選項(xiàng)A中，由平面與平面垂直的判定，故正確；選項(xiàng)B中，當(dāng)α⊥β時(shí)，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項(xiàng)C中，l∥β時(shí)，α，β可以相交；選項(xiàng)D中，α∥β時(shí)，l，m也可以異面.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)α，β，γ為平面，l，m，n為直線(xiàn)，則能得到m⊥β的一個(gè)條件為　(　　)A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l　　  B.n⊥α，n⊥β，m⊥αC.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ   D.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α【解析】選B.如圖①知A錯(cuò)；如圖②知C錯(cuò)；如圖③，在正方體中，兩側(cè)面α與β相交于l，都與底面γ垂直，γ內(nèi)的直線(xiàn)m⊥α，但m與β不垂直，故D錯(cuò)；由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，故m⊥β，因此B正確.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2016·桂林高二檢測(cè))如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是________.(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.(3)CA′與平面A′BD所成的角為30°.(4)四面體A′-BCD的體積為.【解析】若A′C⊥BD，又BD⊥CD，則BD⊥平面A′CD，則BD⊥A′D，顯然不可能，故(1)錯(cuò)誤.因?yàn)锽A′⊥A′D，BA′⊥CD，故BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C=90°，故(2)正確.因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，CA′與平面A′BD所成的角為∠CA′D，因?yàn)锳′D=CD，所以∠CA′D=，故(3)錯(cuò)誤.四面體A′-BCD的體積為V=S△BDA′·h=××1=，因?yàn)锳B=AD=1，DB=，所以A′C⊥BD，綜上(2)(4)成立.答案：(2)(4)10.斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，則A1B=________.【解析】取CC1中點(diǎn)M，連A1M與BM，因?yàn)锳A1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，所以△A1CC1是等邊三角形，四邊形ACC1A1≌四邊形CBB1C1，所以A1M⊥CC1，BM⊥CC1，所以A1M=BM=.又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，所以∠A1MB為二面角的平面角，且∠A1MB=90°.所以A1B=.答案：三、解答題(每小題10分，共20分)11.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1.(1)求證：BD⊥AA1.(2)在棱BC上取一點(diǎn)E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值.【解題指南】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證明BD⊥平面AA1C1C，可得BD⊥AA1.(2)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，即=1，再證明AE∥DC，利用線(xiàn)面平行的判定，可得AE∥平面DCC1D1.【解析】(1)在四邊形ABCD中，因?yàn)?/span>BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC，平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面ACC1A1∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面ACC1A1，又AA1?平面ACC1A1，所以BD⊥AA1.(2)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，即=1，下面給予證明：在三角形ABC中，因?yàn)锳B=AC，且E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又在四邊形ABCD中，AB=BC=CA=，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有AE∥DC.因?yàn)镈C?平面DCC1D1，AE?平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.12.(2016·重慶高二檢測(cè))如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn).(1)證明：平面BDC1⊥平面BDC.(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.【解析】(1)設(shè)AC=1，因?yàn)?/span>D為AA1的中點(diǎn)，AC=BC=AA1，所以AC=AD=A1D=A1C1=1，所以DC=DC1=，又CC1=2，所以DC2+D=C，所以C1D⊥DC，因?yàn)锽C⊥AC，BC⊥C1C，AC∩C1C=C，所以BC⊥平面A1ACC1，C1D?平面A1ACC1，所以C1D⊥BC，因?yàn)镈C∩BC=C，所以C1D⊥平面BDC，又C1D?平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.(2)過(guò)C1作C1H⊥A1B1于H點(diǎn)，因?yàn)槠矫鍭1B1C1⊥平面ABB1A1，平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1，所以C1H⊥平面ABB1A1，由(1)知，在等腰Rt△A1B1C1中，C1H=，所以=·(A1D+BB1)·A1B1·C1H=，=·AC·BC·CC1=1，所以這兩部分體積的比為1∶1.【能力挑戰(zhàn)題】如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，(1)證明：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=x，GB=GD=.因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG=x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE=x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=.故x=2.從而可得AE=EC=ED=.所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2.關(guān)閉Word文檔返回原板塊 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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修2電子課本

2.1 空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

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