本章將在前一章整體觀察、認識空間幾何體的基礎上，以長方體為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中點、直線、平面之間的位置關系；通過大量圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關系的基本性質(zhì)以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關系，初步體驗公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應用問題.
本章主要內(nèi)容：2.1點、直線、平面之間的位置關系，2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì).2.1節(jié)的核心是空間中直線和平面間的位置關系.從知識結構上看，在平面基本性質(zhì)的基礎上，由易到難順序研究直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系.本章在培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點、公理化的思想、空間想象力和思維能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3節(jié)內(nèi)容的編寫是以“平行”和“垂直”的判定及其性質(zhì)為主線展開，依次討論直線和平面平行、平面和平面平行的判定和性質(zhì)；直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性質(zhì).
“平行”和“垂直”在定義和描述直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系中起著重要作用.在本章它集中體現(xiàn)在：空間中平行關系之間的轉化、空間中垂直關系之間的轉化以及空間中垂直與平行關系之間的轉化.
本章教學時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：
§2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系
§2.1.1 平面
一、教材分析
平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無限延展性.為了更準確地理解平面,教材重點介紹了平面的基本性質(zhì),即教科書中的三個公理,這也是本節(jié)的重點.另外,本節(jié)還應充分展現(xiàn)三種數(shù)學語言的轉換與翻譯,特別注意圖形語言與符號語言的轉換.
二、教學目標
1．知識與技能
（1）利用生活中的實物對平面進行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖
（3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用；
（4）培養(yǎng)學生的空間想象能力.
2．過程與方法
（1）通過師生的共同討論，使學生對平面有了感性認識；
（2）讓學生歸納整理本節(jié)所學知識.
3．情感、態(tài)度與價值觀
使用學生認識到我們所處的世界是一個三維空間，進而增強了學習的興趣.
三、重點難點
三種數(shù)學語言的轉換與翻譯,利用三個公理證明共點、共線、共面問題.
四、課時安排
1課時
五、教學過程
（一）導入新課
思路1.(情境導入)
大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”.結果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認識數(shù)學中的平面.
思路2.(事例導入)
觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點、棱所在的直線，以及側面、底面之間的關系嗎？
圖1
長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內(nèi)的直線等等.空間中的點、直線、平面之間有哪些位置關系呢？本節(jié)我們將討論這個問題.
（二）推進新課、新知探究、提出問題
①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;
②平面的畫法與表示方法;
③如何描述點與直線、平面的位置關系？
④直線與平面有一個公共點，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個公共點才能判斷直線在平面內(nèi)？
⑤根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，幾個點能確定一個平面？
⑥如果兩個不重合的平面有一個公共點，它們的位置關系如何？請畫圖表示;
⑦描述點、直線、平面的位置關系常用幾種語言？
⑧自己總結三個公理的有關內(nèi)容.
活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.對有困難的學生可提示如下：
①回憶我們學過的最基本的概念（原始概念），如點、直線、集合等.
②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.
③點在直線上和點在直線外；點在平面內(nèi)和點在平面外.
④確定一條直線需要幾個點？
⑤引導學生觀察教室的門由幾個點確定.
⑥兩個平面不可能僅有一個公共點，因為平面有無限延展性.
⑦文字語言、圖形語言、符號語言.
⑧平面的基本性質(zhì)小結.
討論結果：①平面與我們學過的點、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因為它是不加定義的.平面的基本特征是無限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯).
②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.

圖2 圖3
平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖5）.

圖4 圖5
③下面我們總結點與直線、平面的位置關系如下表：
④直線上有一個點在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個點在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).
公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).
這是用文字語言描述，我們也可以用符號語言和圖形語言（圖6）描述.
空間圖形的基本元素是點、直線、平面.從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示.規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號語言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則aα.

圖6 圖7
請同學們用符號語言和圖形語言描述直線與平面相交.
若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,則aα.如圖（圖7）.
⑤在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等.
上述事實和類似的經(jīng)驗可以歸納為下面的公理.
公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.
如圖（圖8）.
圖8
公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個平面位置的依據(jù)之一.
⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？
不是，因為平面是無限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無限延展的特征.
現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個現(xiàn)象（課件演示給學生看）.
問：兩個平面會不會只有一個公共點？不會，因為平面是無限延展的，應當有很多公共點.正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數(shù)個公共點.那么這無數(shù)個公共點在什么位置呢？可見，這無數(shù)個公共點在一條直線上.
這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號語言表示為：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
圖9
公理3告訴我們，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交，且其交線一定過這個公共點.也就是說，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有另外一個公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點，就找出了它們的交線.
由此看出公理3不僅給出了兩個平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.
⑦描述點、直線、平面的位置關系常用3種語言:文字語言、圖形語言、符號語言.
⑧“平面的基本性質(zhì)”小結：
（三）應用示例
思路1
例1 如圖10，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關系.
圖10
活動：學生自己思考或討論，再寫出（最好用實物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
變式訓練
1.畫圖表示下列由集合符號給出的關系：
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如圖11.
圖11
2.根據(jù)下列條件，畫出圖形.
（1）平面α∩平面β=l，直線ABα，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，F(xiàn)l;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個頂點滿足條件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如圖12.
圖12
點評：圖形語言與符號語言的轉換是本節(jié)的重點，主要有兩種題型：
(1)根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面的位置關系，然后用符號表示出來.
(2)根據(jù)符號，想象出點、直線、平面的位置關系，然后用圖形表示出來.
例2 已知直線a和直線b相交于點A.求證：過直線a和直線b有且只有一個平面.
圖13
證明：如圖13,點A是直線a和直線b的交點,在a上取一點B，b上取一點C，
根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點A、B、C有一個平面α，
因為A、B在平面α內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面α內(nèi),
同理直線b在平面α內(nèi)，即平面α是經(jīng)過直線a和直線b的平面.
又因為A、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點A、B、C.
于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點A、B、C的平面有且只有一個，
所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個.
變式訓練
求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).
證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F,
圖14
∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設為α，即a,bα.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一平面內(nèi).
點評：在今后的學習中經(jīng)常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：
直線與直線外一點.(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.
思路2
例1 如圖15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC與EF相交，在圖中分別畫出平面ABC與α、β的交線.
圖15
活動：讓學生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對作圖不準確的學生提示引導考慮問題的思路.
解：如圖16所示，連接CB，
∵C∈β,B∈β,∴直線CBβ.
圖16
∵直線CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直線CB.
設直線CB與直線EF交于D,
∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.
∵A∈α,A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC=直線AD.
變式訓練
1.如圖17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，請畫出直線DE與平面α的交點P，并指出點P與直線BC的位置關系.
圖17
解：AD和AC是相交直線，它們確定一個平面ABC，
它與平面α的交線為直線BC，DE平面ABC，
∴DE與α的交點P在直線BC上.
2.如圖18，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為8 cm，M、N、P分別是AB、A1D1、BB1的中點，
圖18
(1)畫出過M、N、P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線，以及與平面BB1C1C的交線.
(2)設過M、N、P三點的平面與B1C1交于點Q，求PQ的長.
解：(1)設M、N、P三點確定的平面為α，則α與平面AA1B1B的交線為直線MP，設MP∩A1B1=R，則RN是α與平面A1B1C1D1的交線，設RN∩B1C1=Q，連接PQ，則PQ是所要畫的平面α與平面BB1C1C的交線.如圖18.
(2)正方體棱長為8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,
∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，
∴PQ=cm.
點評：公理3給出了兩個平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理3找兩平面的交點和交線.
例2 已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線.
解：如圖19,∵A、B、C是不在同一直線上的三點,
圖19
∴過A、B、C有一個平面β.
又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴點P既在β內(nèi)又在α內(nèi).設α∩β=l,則P∈l,
同理可證：Q∈l,R∈l,
∴P、Q、R三點共線.
變式訓練
三個平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一點.
已知平面α、β、γ兩兩相交于三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求證：l1、l2、l3相交于一點.
證明：如圖20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，
圖20
∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,
∴l(xiāng)1與l2必相交.設l1∩l2=P，
則P∈l1α,P∈l2γ,
∴P∈α∩γ=l3.
∴l(xiāng)1、l2、l3相交于一點P.
點評：共點、共線問題是本節(jié)的重點，在高考中也經(jīng)?？疾椋淅碚撘罁?jù)是公理3.
（四）知能訓練
畫一個正方體ABCD—A′B′C′D′，再畫出平面ACD′與平面BDC′的交線，并且說明理由.
解：如圖21,
圖21
∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.
∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.
∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.
∴EF為所求.
（五）拓展提升
O1是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，過D1、B1、A作一個截面，求證：此截面與對角線A1C的交點P一定在AO1上.
解：如圖22,連接A1C1、AC，
圖22
因AA1∥CC1，則AA1與CC1可確定一個平面AC1，
易知截面AD1B1與平面AC1有公共點A、O1，
所以截面AD1B1與平面AC1的交線為AO1.
又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，
故P在兩平面的交線上，即P∈AO1.
點評：證明共點、共線問題關鍵是利用兩平面的交點必在交線上.
（六）課堂小結
1.平面是一個不加定義的原始概念，其基本特征是無限延展性.
2.通過三個公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作用.
3.利用三個公理證明共面、共線、共點問題.
（七）作業(yè)
課本習題2.1 A組5、6.
§2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系
一、教材分析
空間中直線與直線的位置關系是立體幾何中最基本的位置關系，直線的異面關系是本節(jié)的重點和難點.異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明方法也就與眾不同.公理4是空間等角定理的基礎，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎，請注意知識之間的相互關系，準確把握兩異面直線所成角的概念.
二、教學目標
1．知識與技能
（1）了解空間中兩條直線的位置關系；
（2）理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學生的空間想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角公理；
（5）異面直線所成角的定義、范圍及應用。
2．過程與方法
讓學生在學習過程中不斷歸納整理所學知識.
3．情感、態(tài)度與價值
讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣.
三、重點難點
兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求法.
四、課時安排
1課時
五、教學設計
（一）導入新課
思路1.(情境導入）
在浩瀚的夜空，兩顆流星飛逝而過（假設它們的軌跡為直線），請同學們討論這兩直線的位置關系.
學生：有可能平行，有可能相交，還有一種位置關系不平行也不相交，就像教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側所在的直線一樣.
教師：回答得很好，像這樣的兩直線的位置關系還可以舉出很多，又如學校的旗桿所在的直線與其旁邊公路所在的直線，它們既不相交，也不平行，即不能處在同一平面內(nèi).今天我們討論空間中直線與直線的位置關系.
思路2.（事例導入）
觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與線段C′C所在直線的位置關系如何？
圖1
（二）推進新課、新知探究、提出問題
①什么叫做異面直線？
②總結空間中直線與直線的位置關系.
③兩異面直線的畫法.
④在同一平面內(nèi)，如果兩直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.在空間這個結論成立嗎？
⑤什么是空間等角定理？
⑥什么叫做兩異面直線所成的角？
⑦什么叫做兩條直線互相垂直？
活動：先讓學生動手做題，再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.
討論結果：①異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.它是以否定的形式給出的，以否定形式給出的問題一般用反證法證明.
②空間兩條直線的位置關系有且只有三種.結合長方體模型(圖1)，引導學生得出空間的兩條直線的三種位置關系：
③教師再次強調(diào)異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如圖2.
圖2
④組織學生思考：
長方體ABCD—A′B′C′D′中，如圖1,
BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′與DD′平行嗎？
通過觀察得出結論：BB′與DD′平行.
再聯(lián)系其他相應實例歸納出公理4.
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號表示為：a∥b,b∥ca∥c.
強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用.
公理4是：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應用.
⑤等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
⑥怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉化為用共面直線所成的角來表示呢？
可以把異面直線所成角轉化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示.如圖3，異面直線a、b，在空間中任取一點O，過點O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.
圖3
針對這個定義，我們來思考兩個問題.
問題1：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點O有無限制條件？
答：在這個定義中，空間中的一點是任意取的.若在空間中，再取一點O′（圖4），過點O′作a″∥a，b″∥b，根據(jù)等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等，即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點位置無關，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時，為了方便，可將點O取在a或b上（如圖3）.
圖4
問題2：這個定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？
答：沒有矛盾.當a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.
⑦在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面（圖5）.
圖5
（三）應用示例
思路1
例1 如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.
圖6
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.
同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.
變式訓練
1.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD.
求證：四邊形EFGH是菱形.
證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=.
同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=,EF=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.
因為AC=BD,所以EF=EH.
所以四邊形EFGH為菱形.
2.如圖6，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD，AC⊥BD.
求證：四邊形EFGH是正方形.
證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，
所以EH∥BD，且EH=.
同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=，EF=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.
因為AC=BD，所以EF=EH.
因為FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH為兩異面直線AC與BD所成的角.又因為AC⊥BD，所以EF⊥EH.
所以四邊形EFGH為正方形.
點評：“見中點找中點”構造三角形的中位線是證明平行常用的方法.
例2 如圖7，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.
圖7
(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？
(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？
(3)哪些棱所在直線與直線AA′垂直？
解：(1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與BA′是異面直線.
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是異面直線BA′和CC′的夾角，∠B′BA′=45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°.
（3）直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.
變式訓練
如圖8，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.
圖8
（1）求異面直線BC′與A′B′所成的角的度數(shù)；
（2）求異面直線CD′和BC′所成的角的度數(shù).
解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是異面直線BC′與A′B′所成的角，
∵BC′⊥C′D′，∴異面直線BC′與A′B′所成的角的度數(shù)為90°.
（2）連接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是異面直線CD′和BC′所成的角，
∵△AD′C是等邊三角形.
∴∠AD′C=60°，即異面直線CD′和BC′所成的角的度數(shù)為60°.
點評：“平移法”是求兩異面直線所成角的基本方法.
思路2
例1 在長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1的中點.
求證：EB1∥DF，ED∥B1F.
活動：學生先思考或討論，然后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生.
證明：如圖9，設G是DD1的中點，分別連接EG，GC1.
圖9
∵EGA1D1，B1C1A1D1,
∴EGB1C1.四邊形EB1C1G是平行四邊形,
∴EB1GC1.
同理可證DFGC1，∴EB1DF.
∴四邊形EB1FD是平行四邊形.
∴ED∥B1F.
變式訓練
如圖10，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關系：
圖10
（1）AB與CC1；
（2）A1B1與DC；
（3）A1C與D1B；
（4）DC與BD1；
（5）D1E與CF.
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,∴AB與CC1異面.
（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，則A1、B、C、D1在同一平面內(nèi).
∴A1C與D1B相交.
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,∴DC與BD1異面.
（5）如圖10，CF與DA的延長線交于G，連接D1G，
∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點，∴A為DG的中點.
又AE∥DD1，
∴GD1過AA1的中點E.∴直線D1E與CF相交.
點評：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行（或重合）.兩條直線相交，總可以找到它們的交點.作圖時用實點標出.兩條直線異面，有時看上去像平行（如圖中的EB與A1C），有時看上去像相交（如圖中的DC與D1B）.所以要仔細觀察，培養(yǎng)空間想象能力，尤其要學會兩條直線異面判定的方法.
例2 如圖11，點A是BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角.
圖11
解：設G是AC中點，連接EG、FG.
因E、F分別是AB、CD中點，故EG∥BC且EG=，F(xiàn)G∥AD，且FG=.由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即∠EGF為所求.
由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.
點評：本題的平移點是AC中點G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在△EFG中求角.通常在出現(xiàn)線段中點時，常取另一線段中點，以構成中位線，既可用平行關系，又可用線段的倍半關系.
變式訓練
設空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.
解：如圖12，由三角形中位線的性質(zhì)知，HG∥AB，HE∥CD，
圖12
∴∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.
由題意可知EFGH是平行四邊形，HG=，HE=，
∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.
∴sin∠EHG=.
∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.
∴AB和CD所成的角為45°.
（四）知能訓練
如圖13，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有對____________.
圖13
答案：三
（五）拓展提升
圖14是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：
圖14
①AB與CD所在直線垂直；②CD與EF所在直線平行；③AB與MN所在直線成60°角；④MN與EF所在直線異面.其中正確命題的序號是（ ）
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
答案：D
（六）課堂小結
本節(jié)學習了空間兩直線的三種位置關系：平行、相交、異面，其中異面關系是重點和難點.
為了準確理解兩異面直線所成角的概念，我們學習了公理4和等角定理.
（七）作業(yè)
課本習題2.1 A組3、4.
§2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關系
一、教材分析
空間中直線與平面之間的位置關系是立體幾何中最重要的位置關系，直線與平面的相交和平行是本節(jié)的重點和難點.空間中直線與平面之間的位置關系是根據(jù)交點個數(shù)來定義的，要求學生在公理1的基礎上會判斷直線與平面之間的位置關系.本節(jié)重點是結合圖形判斷空間中直線與平面之間的位置關系.
二、教學目標
1．知識與技能
（1）了解空間中直線與平面的位置關系；
（2）培養(yǎng)學生的空間想象能力.
2．過程與方法
（1）學生通過觀察與類比加深了對這些位置關系的理解、掌握；
（2）讓學生利用已有的知識與經(jīng)驗歸納整理本節(jié)所學知識.
3．情感、態(tài)度與價值
讓學生感受到掌握空間直線與平面關系的必要性，提高學生的學習興趣.
三、教學重點與難點
正確判定直線與平面的位置關系.
四、課時安排
1課時
五、教學設計
（一）導入新課
思路1.(情境導入)
一支筆所在的直線與我們的課桌面所在的平面,可能有幾個交點?可能有幾種位置關系?
思路2.(事例導入)
觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與長方體ABCD—A′B′C′D′的六個面所在平面有幾種位置關系？
圖1
（二）推進新課、新知探究、提出問題
①什么叫做直線在平面內(nèi)？
②什么叫做直線與平面相交?
③什么叫做直線與平面平行?
④直線在平面外包括哪幾種情況?
⑤用三種語言描述直線與平面之間的位置關系.
活動：教師提示、點撥從直線與平面的交點個數(shù)考慮，對回答正確的學生及時表揚.
討論結果：①如果直線與平面有無數(shù)個公共點叫做直線在平面內(nèi).
②如果直線與平面有且只有一個公共點叫做直線與平面相交.
③如果直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行.
④直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.
⑤
（三）應用示例
思路1
例1 下列命題中正確的個數(shù)是( )
①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α
②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行
③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行
④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：如圖2,
圖2
我們借助長方體模型，棱AA1所在直線有無數(shù)點在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確；
A1B1所在直線平行于平面ABCD，A1B1顯然不平行于BD，所以命題②不正確；
A1B1∥AB,A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB平面ABCD,所以命題③不正確；
l與平面α平行,則l與α無公共點,l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點,所以命題④正確.
答案：B
變式訓練
請討論下列問題：
若直線l上有兩個點到平面α的距離相等，討論直線l與平面α的位置關系.
圖3
解：直線l與平面α的位置關系有兩種情況（如圖3），直線與平面平行或直線與平面相交.
點評：判斷直線與平面的位置關系要善于找出空間模型，結合圖形來考慮，注意考慮問題要全面.
例2 已知一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面.
已知直線a∥b∥c，直線l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求證：l與a、b、c共面.
證明：如圖4,∵a∥b,
圖4
∴a、b確定一個平面，設為α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.
同理b、c確定一個平面β，lβ,
∴平面α與β都過兩相交直線b與l.
∵兩條相交直線確定一個平面,
∴α與β重合.故l與a、b、c共面.
變式訓練
已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求證：PQα.
證明：∵PQ∥a，∴PQ、a確定一個平面，設為β.
∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa,
由推論1：過P、a有且只有一個平面,
∴α、β重合.∴PQα.
點評：證明兩個平面重合是證明直線在平面內(nèi)問題的重要方法.
思路2
例1 若兩條相交直線中的一條在平面α內(nèi)，討論另一條直線與平面α的位置關系.
解：如圖5,另一條直線與平面α的位置關系是在平面內(nèi)或與平面相交.
圖5
用符號語言表示為：若a∩b=A,bα,則aα或a∩α=A.
變式訓練
若兩條異面直線中的一條在平面α內(nèi)，討論另一條直線與平面α的位置關系.
分析：如圖6,另一條直線與平面α的位置關系是與平面平行或與平面相交.
圖6
用符號語言表示為：若a與b異面,aα,則b∥α或b∩α=A.
點評：判斷直線與平面的位置關系要善于找出空間模型，結合圖形來考慮，注意考慮問題要全面.
例2 若直線a不平行于平面α,且aα,則下列結論成立的是( )
A.α內(nèi)的所有直線與a異面 B.α內(nèi)的直線與a都相交
C.α內(nèi)存在唯一的直線與a平行 D.α內(nèi)不存在與a平行的直線
分析：如圖7,若直線a不平行于平面α,且aα,則a與平面α相交.
圖7
例如直線A′B與平面ABCD相交，直線AB、CD在平面ABCD內(nèi)，直線AB與直線A′B相交，直線CD與直線A′B異面，所以A、B都不正確；平面ABCD內(nèi)不存在與a平行的直線，所以應選D.
答案：D
變式訓練
不在同一條直線上的三點A、B、C到平面α的距離相等，且Aα,給出以下三個命題：
①△ABC中至少有一條邊平行于α;②△ABC中至多有兩邊平行于α；③△ABC中只可能有一條邊與α相交.
其中真命題是_____________.
分析：如圖8,三點A、B、C可能在α的同側，也可能在α兩側，
圖8
其中真命題是①.
答案：①
變式訓練
若直線aα,則下列結論中成立的個數(shù)是( )
(1)α內(nèi)的所有直線與a異面 (2)α內(nèi)的直線與a都相交 (3)α內(nèi)存在唯一的直線與a平行 (4)α內(nèi)不存在與a平行的直線
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：∵直線aα,∴a∥α或a∩α=A.
如圖9,顯然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以應選A.
圖9
答案：A
點評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維.
（四）知能訓練
已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.
求證：a與β相交,b與α相交.
證明：如圖10,∵a∩b=P,
圖10
∴P∈a,P∈b.
又bβ,∴P∈β.
∴a與β有公共點P,即a與β相交.
同理可證,b與α相交.
（五）拓展提升
過空間一點，能否作一個平面與兩條異面直線都平行？
解：(1)如圖11,
C′D′與BD是異面直線，可以過P點作一個平面與兩異面直線C′D′、BD都平行.
如圖12,

圖11 圖12 圖13
顯然，平面PQ是符合要求的平面.
(2)如圖13,當點P與直線C′D′確定的平面和直線BD平行時，不存在過P點的平面與兩異面直線C′D′、BD都平行.
點評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維.
（六）課堂小結
本節(jié)主要學習直線與平面的位置關系，直線與平面的位置關系有三種：
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點,
②直線與平面相交——有且只有一個公共點,
③直線與平面平行——沒有公共點.
另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點和難點.
（七）作業(yè)
課本習題2.1 A組7、8.
§2.1.4 平面與平面之間的位置關系
一、教材分析
空間中平面與平面之間的位置關系是立體幾何中最重要的位置關系，平面與平面的相交和平行是本節(jié)的重點和難點.空間中平面與平面之間的位置關系是根據(jù)交點個數(shù)來定義的，要求學生在公理3的基礎上會判斷平面與平面之間的位置關系.本節(jié)重點是結合圖形判斷空間中平面與平面之間的位置關系.
二、教學目標
1．知識與技能
（1）了解空間中平面與平面的位置關系；
（2）培養(yǎng)學生的空間想象能力.
2．過程與方法
（1）學生通過觀察與類比加深了對這些位置關系的理解、掌握；
（2）讓學生利用已有的知識與經(jīng)驗歸納整理本節(jié)所學知識.
3．情感、態(tài)度與價值
讓學生感受到掌握空間兩個平面關系的必要性，提高學生的學習興趣.
三、教學重點與難點
平面與平面的相交和平行.
四、課時安排
1課時
五、教學設計
（一）復習
1.直線與直線的位置關系:相交、平行、異面.
2.直線與平面的位置關系：
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點,
②直線與平面相交——有且只有一個公共點,
③直線與平面平行——沒有公共點.
（二）導入新課
思路1.(情境導入)
拿出兩本書，看作兩個平面，上下、左右移動和翻轉，它們之間的位置關系有幾種？
思路2.(事例導入)
觀察長方體（圖1），圍成長方體ABCD—A′B′C′D′的六個面，兩兩之間的位置關系有幾種？
圖1
（三）推進新課、新知探究、提出問題
①什么叫做兩個平面平行？
②兩個平面平行的畫法.
③回憶兩個平面相交的依據(jù).
④什么叫做兩個平面相交?
⑤用三種語言描述平面與平面之間的位置關系.
活動:先讓學生思考，后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.
問題①引導學生回憶直線與平面平行的定義.
問題②怎樣體現(xiàn)兩個平面平行的特點.
問題③兩個平面有一個公共點,兩平面是否相交.
問題④回憶公理三.
問題⑤鼓勵學生自我訓練.
討論結果：
①兩個平面平行——沒有公共點.
②畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的平行四邊形的對應邊平行，如圖2.

圖2 圖3
③如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理3.如圖3，用符號語言表示為：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l.
④兩個平面相交——有一條公共直線.
⑤如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β.
如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交.
兩平面平行與相交的圖形表示如圖4.
圖4
（四）應用示例
思路1
例1 已知平面α,β,直線a,b,且α∥β,aα,bβ,則直線a與直線b具有怎樣的位置關系?
活動：學生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,并及時評價.
解：如圖5,直線a與直線b的位置關系為平行或異面.
圖5
例2 如果三個平面兩兩相交，那么它們的交線有多少條？畫出圖形表示你的結論.
解：三個平面兩兩相交，它們的交線有一條或三條,如圖6.
圖6
變式訓練
α、β是兩個不重合的平面,在下列條件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直線l、m
B.α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等
C.l、m是α內(nèi)的兩條直線,且l∥β,m∥β
D.l、m是兩條異面直線,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析：如圖7,分別是A、B、C的反例.

圖7
答案：D
點評：判斷正誤要結合圖形，并善于發(fā)現(xiàn)反例，即注意發(fā)散思維.
思路2
例1 α∩β=l,aα,bβ,試判斷直線a、b的位置關系,并畫圖表示.
活動:學生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,并及時評價.
解：如圖8,直線a、b的位置關系是平行、相交、異面.
圖8
變式訓練
α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,試判斷直線a、b的位置關系,并畫圖表示.
解：如圖9,直線a、b的位置關系是相交、異面.
圖9
直線a、b不可能平行，這里僅要求學生結合圖形或?qū)嵨锬Ｐ图右泽w會，學完下一節(jié)后可以證明.
點評：結合圖形或?qū)嵨锬Ｐ团袛嘀本€與平面的位置關系，目的在于培養(yǎng)學生的空間想象能力.
例2 如圖10，在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是AA1、D1C1的中點，過D、M、N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l，
圖10
（1）畫出l的位置；
（2）設l∩A1B1=P，求PB1的長.
解：（1）平面DMN與平面AD1的交線為DM，
則平面DMN與平面A1C1的交線為QN.
QN即為所求作的直線l.如圖10.
（2）設QN∩A1B1=P,
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1,
∴A1是QD1的中點.又A1P∥D1N,
∴A1P=D1N=C1D1=a.
∴PB1=A1B1－A1P=.
變式訓練
畫出四面體ABCD中過E、F、G三點的截面與四面體各面的交線.
解：如圖11,分別連接并延長線段EF、BD，
圖11
∵線段EF、BD共面且不平行，∴線段EF、BD相交于一點P.
∴連接GP交線段CD于H,分別連接EG、GH、FH即為所作交線.
點評：利用公理3作兩平面的交線是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，是兩平面關系的重點.
（五）知能訓練
三棱柱的各面把空間分成幾部分?
解：分為21部分.
（六）拓展提升
已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,
求證：b、c是異面直線.
證明：反證法：若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交.
(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.這與a∩b=A矛盾.
(2)若b、c相交于B,則B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.
∴ABβ,即bβ.這與b∩β=A矛盾.
∴b,c是異面直線.
（七）課堂小結
本節(jié)主要學習平面與平面的位置關系，平面與平面的位置關系有兩種：
①兩個平面平行——沒有公共點；
②兩個平面相交——有一條公共直線.
另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點和難點.
（八）作業(yè)
課本習題2.1 B組1、2、3.
2.1.1
平面
約1課時
2.1.2
空間中直線與直線之間的位置關系
約1課時
2.1.3
空間中直線與平面之間的位置關系
約1課時
2.1.4
平面與平面之間的位置關系
約1課時
2.2.1
直線與平面平行的判定
約1課時
2.2.3
直線與平面平行的性質(zhì)
約1課時
2.2.2
2.2.4
平面與平面平行的判定平面與平面平行的性質(zhì)
約1課時
2.3.1
直線與平面垂直的判定
約1課時
2.3.2
平面與平面垂直的判定
約1課時
2.3.3
直線與平面垂直的性質(zhì)
約1課時
2.3.4
平面與平面垂直的性質(zhì)
約1課時
本章復習
約1課時
點A在直線a上（或直線a經(jīng)過點A）
A∈a
元素與集合間的關系
點A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點A）
Aa
點A在平面α內(nèi)（或平面α經(jīng)過點A）
A∈α
點A在平面α外（或平面α不經(jīng)過點A）
Aα
名稱
作用
公理1
判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)
公理2
確定一個平面的依據(jù)
公理3
兩平面相交的依據(jù)
名稱
作用
公理1
判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)
公理2
確定一個平面的依據(jù)
公理3
兩平面相交的依據(jù)
直線在平面內(nèi)
aα
直線與平面相交
a∩α=A
直線與平面平行
a∥α

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2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系

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