3、 平面與平面之間的位置關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握直線與平面的三種位置關(guān)系，會(huì)判斷直線與平面的位置關(guān)系；2.學(xué)會(huì)用圖形語言、符號(hào)語言表示三種位置關(guān)系；3.掌握空間中平面與平面的位置關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)一 直線和平面的位置關(guān)系
思考 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中線段BC1所在的直線與長(zhǎng)方體的六個(gè)面所在的平面有幾種位置關(guān)系？
答案 三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)；(2)直線與平面相交；(3)直線與平面平行．
知識(shí)點(diǎn)二 兩個(gè)平面的位置關(guān)系
思考 觀察前面問題中的長(zhǎng)方體，平面A1C1與長(zhǎng)方體的其余各個(gè)面，兩兩之間有幾種位置關(guān)系？
答案 兩種位置關(guān)系：兩個(gè)平面相交或兩個(gè)平面平行．
類型一 直線與平面的位置關(guān)系
例1 下列五個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個(gè)平面；
②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；
③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a與平面α上的無數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④中，假設(shè)b與α相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即④正確；⑤顯然不正確，故答案為B.
反思與感悟 空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行．本題借助幾何模型判斷，通過特例排除錯(cuò)誤命題．對(duì)于正確命題，根據(jù)線、面位置關(guān)系的定義或反證法進(jìn)行判斷，要注意多種可能情形．
跟蹤訓(xùn)練1 以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)，①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 如圖所示在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯(cuò)誤；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯(cuò)誤；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯(cuò)誤；
A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯(cuò)誤．
類型二 平面與平面之間的位置關(guān)系
例2 α、β是兩個(gè)不重合的平面，下面說法中，正確的是( )
A．平面α內(nèi)有兩條直線a、b都與平面β平行，那么α∥β
B．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥β
C．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β
答案 D
解析 A、B都不能保證α、β無公共點(diǎn)，如圖1所示；C中當(dāng)a∥α，a∥β時(shí)α與β可能相交，如圖2所示；只有D說明α、β一定無公共點(diǎn)．
反思與感悟 判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系，要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識(shí)，結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題，作出判斷．
跟蹤訓(xùn)練2 兩平面α、β平行，a?α，下列四個(gè)命題：
①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；
③直線a與β內(nèi)任何一條直線都不垂直；④a與β無公共點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①中a不能與β內(nèi)的所有直線平行而是與無數(shù)條直線平行，有一些是異面；②正確；③中直線a與β內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；④根據(jù)定義a與β無公共點(diǎn)，正確.
1．已知直線a在平面α外，則( )
A．a(chǎn)∥α
B．直線a與平面α至少有一個(gè)公共點(diǎn)
C．a(chǎn)∩α＝A
D．直線a與平面α至多有一個(gè)公共點(diǎn)
答案 D
解析 因已知直線a在平面α外，所以a與平面α的位置關(guān)系為平行或相交，因此斷定a∥α或斷定a與α相交都是錯(cuò)誤的，但無論是平行還是相交，直線a與平面α至多有一個(gè)公共點(diǎn)是正確的，故選D.
2．下列命題中的真命題是( )
A．若點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B?α，則直線AB與平面α相交
B．若a?α，b?α，則a與b必異面
C．若點(diǎn)A?α，點(diǎn)B?α，則直線AB∥平面α
D．若a∥α，b?α，則a∥b
答案 A
解析 若a?α，b?α，則a與b平行或異面，故B錯(cuò)．對(duì)直線AB上兩點(diǎn)A，B雖然都不在α內(nèi)，但直線AB與平面α可能有公共點(diǎn)，故直線AB與平面α也可能相交，故C不正確．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,b?α))?a∥b或a，b異面，D錯(cuò)．
3．若平面α∥平面β，l?α，則l與β的位置關(guān)系是( )
A．l與β相交 B．l與β平行
C．l在β內(nèi) D．無法判定
答案 B
解析 ∵α∥β，∴α與β無公共點(diǎn)．
∵l?α，∴l(xiāng)與β無公共點(diǎn)，∴l(xiāng)∥β.
4．若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線( )
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行或異面
答案 D
解析 兩個(gè)平面平行時(shí)，這兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線也沒有公共點(diǎn)，因此它們不是平行就是異面．
5．下列說法中正確的序號(hào)為________．
①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；
②若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；
③若α∥β，a?α，則a∥β；
④若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．
答案 ③
解析 ①不符合直線與平面平行的定義；
②中直線a與b沒有交點(diǎn)，也有可能平行；
③中直線a與平面β沒有公共點(diǎn)，所以a∥β；
④中直線a與平面β有可能平行．
1．弄清直線與平面各種位置關(guān)系的特征，利用其定義作出判斷，要有畫圖意識(shí)，并借助于空間想象能力進(jìn)行細(xì)致的分析．
2．長(zhǎng)方體是一個(gè)特殊的圖形，當(dāng)點(diǎn)、線、面關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，可以尋找長(zhǎng)方體作為載體，將它們置于其中，立體幾何的直線與平面的位置關(guān)系都可以在這個(gè)模型中得到反映．因而人們給它以“百寶箱”之稱．
一、選擇題
1．與同一個(gè)平面α都相交的兩條直線的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交
C．異面 D．以上都有可能
答案 D
2．直線l與平面α不平行，則( )
A．l與α相交 B．l?α
C．l與α相交或l?α D．以上結(jié)論都不對(duì)
答案 C
解析 直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交，由于直線l與平面α不平行，所以直線l與α相交或l?α.
3．已知平面α，直線a，b，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若a?α，則a∥α；
②若a∥b，b?α，則a∥α；
③若a∥α，b∥α，則a∥b；
④若a與α內(nèi)的任何一條直線都不相交，則a∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①錯(cuò)誤．因?yàn)橹本€a在平面α外，包括兩種情況：
a∥α和a與α相交，所以a不一定平行于α.
②錯(cuò)誤．因?yàn)閍∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，所以a不一定平行于α.
③錯(cuò)誤．如圖所示，直線a∥α，直線b∥α，但a與b相交．
④正確．若a與α內(nèi)的任何一條直線都不相交，則a與α無公共點(diǎn)，所以a∥α.綜上可知，正確的說法只有1個(gè)．
4．如果平面α外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面α的距離都是a，則直線AB和平面α的位置關(guān)系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB?α
答案 C
解析 結(jié)合圖形可知選項(xiàng)C正確．
5．下列命題正確的是( )
A．若直線a在平面α外，則直線a∥α
B．若直線a與平面α有公共點(diǎn)，則a與α相交
C．若平面α內(nèi)存在直線與平面β無交點(diǎn)，則α∥β
D．若平面α內(nèi)的任意直線與平面β均無交點(diǎn)，則α∥β
答案 D
解析 直線a在平面α外，則直線a∥α或a與α相交，故A錯(cuò)；直線a與平面α有公共點(diǎn)，則a與α相交或a?α，故B錯(cuò)；C中α與β可能平行，可能相交．
6．教室內(nèi)有一根直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線與直尺所在的直線( )
A．異面 B．相交
C．平行 D．垂直
答案 D
解析 若尺子與地面相交，則C不正確；若尺子平行于地面，則B不正確；若尺子放在地面上，則A不正確．所以選D.
7．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )
(1)平面α與平面β，γ都相交，則這三個(gè)平面有2條或3條交線．
(2)如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個(gè)平面．
(3)直線a不平行于平面α，則a不平行于α內(nèi)任何一條直線．
(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 (1)錯(cuò)誤．平面α與平面β，γ都相交，則這三個(gè)平面有可能有2條或3條交線，還有可能只有1條交線．
(2)錯(cuò)誤．如果a，b是兩條直線，a∥b，那么直線a有可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)．
(3)錯(cuò)誤．直線a不平行于平面α，則a有可能在平面α內(nèi)，此時(shí)可以與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行．
(4)錯(cuò)誤．如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a?β.
二、填空題
8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：
(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是________；
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是________．
答案 (1)平行 (2)相交
解析 (1)AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點(diǎn)，所以平行；(2)平面A1BC1與平面ABCD有公共點(diǎn)B，故相交．
9．已知下列說法：
①若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a∥b；
②若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；
③若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交；
④若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面；
⑤若兩個(gè)平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．
其中正確的序號(hào)是____________(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．
答案 ③④
解析 ①錯(cuò)，a與b也可能異面；②錯(cuò)，a與b也可能平行；③對(duì)，∵α∥β，∴α與β無公共點(diǎn)，又∵a?α，b?β，∴a與b無公共點(diǎn)；④對(duì)，由已知及③知：a與b無公共點(diǎn)，那么a∥b或a與b異面；⑤錯(cuò)，a與β也可能平行．
10．若a、b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________．
答案 b?α，b∥α或b與α相交
解析 正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1A為a，BC為b，若平面BCC1B1為α，則b?α；若平面CDD1C1為α，則b與α相交；若過AB、CD、C1D1、A1B1中點(diǎn)的截面為α，則b∥α.
11．一個(gè)透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體，則水面在容器中的形狀可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形．其中正確的結(jié)論是________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．
答案 (2)(3)(4)
解析 因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心．
于是過正方體的一條棱和中心可作一截面，截面形狀為長(zhǎng)方形，如圖①；
過正方體一面上一邊的中點(diǎn)和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，如圖②；
正方體一面上相對(duì)兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，如圖③.
若出現(xiàn)三角形，水的體積不可能為正方體的eq \f(1,2).
12．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．
答案 4
解析 EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行．所以與EF相交的側(cè)面有4個(gè)．
三、解答題
13.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，畫出過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線，并說明理由.
解 如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，A1B，CF.
∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.
在正方體ABCD-A1B1C1D1中 ，
A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面．
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F(xiàn)∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，
∴過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF.
14．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，在圖①中，E，F(xiàn)分別是D1C1，B1B的中點(diǎn)，畫出圖①②中有陰影的平面與平面ABCD的交線，并給出證明．
解 如圖①所示，過點(diǎn)E作EN平行于BB1交CD于點(diǎn)N，連接NB并延長(zhǎng)交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，則直線AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線．
如圖②所示，延長(zhǎng)DC，過點(diǎn)C1作C1M∥A1B交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BM，則直線BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線．
證明：在圖①中，因?yàn)橹本€EN∥BF，所以B，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，因此EF與NB相交，交點(diǎn)為M.因?yàn)镸∈EF，且M∈NB，而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)A是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn)，故直線AM為兩平面的交線．
在圖②中，C1M在平面CDD1C1內(nèi)，因此與DC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M為平面A1C1B與平面ABCD的公共點(diǎn)，又點(diǎn)B也是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，因此直線BM是兩平面的交線．位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)
直線在平面外
直線與平面相交
直線與平面平行
公共點(diǎn)
無數(shù)個(gè)
1個(gè)
0個(gè)
符號(hào)表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
圖形表示
位置關(guān)系
圖示
表示法
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
兩平面平行
α∥β
0個(gè)
兩平面相交
α∩β＝l
無數(shù)個(gè)點(diǎn)(共線)

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8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

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