溫馨提示：    此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè) 十五直線與平面垂直的性質(zhì)(45分鐘　70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.已知直線a，b和平面M，N，且a⊥M，則下列說法正確的是　(　　)A.b∥M?b⊥a　　　　　　 B.b⊥a?b∥MC.N⊥M?a∥N     D.a?N?M∩N≠?【解析】選A.對于A，如圖1所示：過直線b作平面N與平面M相交于直線l，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知：b∥l，又因為a⊥M，l?M，所以a⊥l，所以b⊥a，A正確.選項B，C均少考慮了直線在面內(nèi)的情況，分別如圖2，3所示，均錯誤；對于D，用排除法，如圖4所示，M∥N，D錯誤.2.(2016·太原高二檢測)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面.下列說法正確的是　(　　)A.若m∥α，n∥α，則m∥n　　  B.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥α   D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解析】選B.對于A，若m∥α，n∥α，則m，n相交、平行或異面，不對；對于B，若m⊥α，n?α，則m⊥n，故B正確；對于C，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；對于D，若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，D不正確.3.(2016·溫州高二檢測)設(shè)m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列命題不正確的是　(　　)A.m⊥α，m⊥β，則α∥β   B.m∥n，m⊥α，則n⊥αC.m⊥α，n⊥α，則m∥n    D.m∥α，α∩β=n，則m∥n【解析】選D.A選項正確，兩平面垂直于同一直線，兩平面平行；B選項正確，兩平行線中的一條垂直于某個平面，則另一條必垂直于這個平面；C選項正確，兩直線垂直于同一平面，兩直線平行；D選項錯誤，由線面平行的性質(zhì)定理知，線平行于面，過線的面與已知面相交，則交線與已知直線平行，由于m和β的位置關(guān)系不確定，不能確定線線平行.4.(2016·吉安高一檢測)如圖所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在圖中與AC垂直的直線有　(　　)A.1條　　　　 B.2條　　　　 C.3條　　　 D.4條【解析】選D.因為PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PO⊥AC，又因為AC⊥BO，PO∩BO=O，所以AC⊥平面PBD，因此，平面PBD中的4條直線PB，PD，PO，BD都與AC垂直.5.如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B，D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，這個條件不可能是下面四個選項中的　(　　)A.AC⊥βB.AC⊥EFC.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上D.AC與α，β所成的角相等【解析】選D.因為AB⊥α，CD⊥α，所以AB∥CD，所以A，B，C，D四點共面.選項A，B中的條件都能推出EF⊥平面ABDC，則EF⊥BD.選項C中，由于AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，所以顯然有EF⊥BD.選項D中，若AC∥EF，則AC與α，β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.6.(2015·朔州高二檢測)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于　(　　)A.AC   B.BD   C.A1D   D.A1D1【解析】選B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1，B1D1的中點，設(shè)O是AC，BD的交點，則EO⊥平面ABCD，所以EO⊥BD，又CO⊥BD，CO∩EO=O，所以BD⊥面COE，所以BD⊥CE.7.正方體ABCD-A1B1C1D1中E為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中錯誤的是　(　　)A.AC⊥BEB.B1E∥平面ABCDC.三棱錐E-ABC的體積為定值D.B1E⊥BC1【解析】選D.對于A，因為在正方體中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，所以AC⊥平面BB1D1D，因為BE?平面BB1D1D，所以AC⊥BE，所以A正確.對于B，因為B1D1∥平面ABCD，所以B1E∥平面ABCD成立，即B正確.對于C，三棱錐E-ABC的底面△ABC的面積為定值，錐體的高BB1為定值，所以錐體體積為定值，即C正確.對于D，因為D1C1⊥BC1，所以B1E⊥BC1錯誤.8.(2016·福州高一檢測)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F，M分別是AB，AD，AA1的中點，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0<x<1，設(shè)平面MEF∩平面MPQ=l，則下列結(jié)論中不成立的是　(　　)A.l∥平面ABCDB.l⊥ACC.平面MEF與平面MPQ不垂直D.當x變化時，l不是定直線【解析】選D.因為A1P=A1Q=x，所以PQ∥B1D1，又E，F分別是AB，AD的中點，故EF∥BD，從而PQ∥EF，而EF?平面MPQ，PQ?平面MPQ，故EF∥平面MPQ，且平面MEF∩平面MPQ=l，從而EF∥l，而l?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正確；由EF∥BD，AC⊥BD，所以AC⊥EF，又EF∥l，所以AC⊥l，故B正確；設(shè)A1C1∩B1D1=H，連接MH，易證MH⊥平面MEF，而MH?平面MPQ，故平面MPQ與平面MEF不垂直，故C正確，綜上，不正確的為D項.【補償訓(xùn)練】如圖，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直徑，C是☉O上的一點，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，給出下列結(jié)論：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的個數(shù)是(　　)A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4【解析】選C.因為PA⊥☉O所在的平面，BC?☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正確；又因為AF?平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正確；而PB?平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF?平面AEF，所以EF⊥PB，故③正確；因為AF⊥平面PCB，假設(shè)AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，顯然不成立，故④不正確.二、填空題(每小題5分，共10分)9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，給出以下四個結(jié)論：①D1C∥平面A1ABB1；②A1D1與平面BCD1相交；③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正確結(jié)論的序號是________.【解析】對于①，因為平面A1ABB1∥平面DCC1D1，而D1C?平面DCC1D1，故D1C與平面A1ABB1沒有公共點，所以D1C∥平面A1ABB1，即①正確；對于②，因為A1D1∥BC，所以A1D1?平面BCD1，所以②錯誤；對于③，只有AD⊥D1D，而AD與平面BDD1內(nèi)其他直線不垂直，所以③錯誤；對于④，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易得BC⊥平面A1ABB1，而BC?平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以④正確.答案：①④10.(2016·杭州高二檢測)如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，下列說法正確的是________(填上所有正確的序號).①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥AB；④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD.【解析】將三角形ADE沿AE折起后幾何體如圖所示.①取DE，EC的中點分別為H，G，連接MH，HG，GN，則四邊形MNGH為平行四邊形，所以MN∥GH，而GH?平面DEC，MN?平面DEC，所以MN∥平面DEC，所以①正確.②因為MN∥GH，而AE⊥EC，AE⊥DE，EC∩DE=E，所以AE⊥平面EDC，所以AE⊥GH，故AE⊥MN，②正確.③因為GH與EC相交，而AB∥EC，故無論D折到何位置AB都不平行于MN，③錯.④當EC⊥ED時，因為CE⊥AE，所以CE⊥平面AED，所以CE⊥AD，所以存在某個位置，使EC⊥AD，所以④正確.答案：①②④【補償訓(xùn)練】AB是☉O的直徑，點C是☉O上的動點(點C不與A，B重合)，過動點C的直線VC垂直于☉O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點，則下列結(jié)論中正確的是________(填寫正確結(jié)論的序號).(1)直線DE∥平面ABC.(2)直線DE⊥平面VBC.(3)DE⊥VB.(4)DE⊥AB.【解析】因為AB是☉O的直徑，點C是☉O上的動點(點C不與A，B重合)，所以AC⊥BC，因為VC垂直于☉O所在的平面，所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，.Com]所以AC⊥平面VBC.因為D，E分別是VA，VC的中點，所以DE∥AC，又DE?平面ABC，AC?平面ABC，所以DE∥平面ABC，DE⊥平面VBC，DE⊥VB，DE與AB所成的角為∠BAC是銳角，故DE⊥AB不成立.由以上分析可知(1)(2)(3)正確.答案：(1)(2)(3)三、解答題(每小題10分，共20分)11.(2016·重慶高一檢測)在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，點E是PC的中點.證明：(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.【解題指南】(1)要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義得出線線垂直.(2)要證明線面垂直，則先證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線.【證明】(1)在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD.又因為AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得△ABC是等邊三角形，故AC=PA.因為點E是PC的中點，所以AE⊥PC.由(1)知：AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，所以AE⊥PD.又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.又因為AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.【拓展延伸】遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化原則在解決線面、面面平行、垂直判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行、垂直”到“線面平行、垂直”，再到“面面平行、垂直”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.12.(2016·雅安高二檢測)如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2.(1)求證：A1C⊥平面BCDE.(2)過點E作截面EFH∥平面A1CD，分別交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面積.【解析】(1)因為CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，所以DE⊥平面A1CD.又因為A1C?平面A1CD，所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD，DE∩CD=D，所以A1C⊥平面BCDE.(2)過點E作EF∥CD交BC于F，過點F作FH∥A1C，交A1B于H，連接EH.則截面EFH∥平面A1CD.因為四邊形EFCD為矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，從而FB=2，HF=A1C=.因為A1C⊥平面BCDE，F(xiàn)H∥A1C，所以HF⊥平面BCDE，所以HF⊥FE.所以S△HFE=.【能力挑戰(zhàn)題】如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，菱形ABCD在平面β內(nèi)，A，B兩點在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點，DO⊥平面α，垂足為O.(1)證明：AB⊥平面ODE.(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值.【解析】(1)如圖，因為DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB，連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形，又E是AB的中點，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE.(2)因為BC∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角.由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，從而∠DEO=60°.不妨設(shè)AB=2，則AD=2，易知DE=.在Rt△DOE中，DO=DE·sin60°=，連接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO===，故異面直線BC與OD所成角的余弦值為.關(guān)閉Word文檔返回原板塊 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高中數(shù)學(xué)人教版新課標A必修2電子課本

2.1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教版新課標A

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