人教B版 (2019)必修第一冊3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性第2課時課堂檢測-試卷下載-教習網(wǎng)

二十三　函數(shù)的最大值、最小值【基礎(chǔ)全面練】　(15分鐘·35分)1.(2021·南昌高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝在上的最大值為A，最小值為B，則A－B等于(　　)A．　　　B．－　　　C．1　　　D．－1【解析】選A.函數(shù)f(x)＝在上是減函數(shù)，所以x＝1時，f(x)的最大值為1，即A＝1，x＝2時，f(x)的最小值為，即B＝，則A－B＝1－＝.2．已知：f(x)＝－，則(　　)A．f(x)max＝，f(x)無最小值B．f(x)min＝1，f(x)無最大值C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1D．f(x)max＝1，f(x)min＝0【解析】選C.f(x)＝－的定義域為[0，1]，因為f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1.3．(2021·昆明高一檢測)已知f(x)＝x2－ax＋在[0，1]上的最大值為g(a)，則g(a)的最小值為(　　)A．0 B． C．1 D．2【解析】選B.因為f(x)＝x2－ax＋圖像的開口向上，對稱軸為x＝，①≤即a≤1時，此時函數(shù)取得最大值g＝f(1)＝1－，②當>即a>1時，此時函數(shù)取得最大值g＝f＝，故g＝，故當a＝1時，g取得最小值.4．函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－4，6]，且在區(qū)間[－4，－2]上遞減，在區(qū)間[－2，6]上遞增，且f(－4)＜f(6)，則函數(shù)f(x)的最小值是________，最大值是________．【解析】因為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－4，－2]上遞減，在區(qū)間[－2，6]上遞增，所以f(x)的最小值是f(－2)，又因為f(－4)＜f(6)，所以f(x)的最大值是f(6).答案：f(－2)　f(6)5．當0≤x≤2時，a＜－x2＋2x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值為0，所以a＜0.答案：(－∞，0)【補償訓練】 (2020·重慶高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值為4，則m的值為________．【解析】f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2＋＋3，0≤m≤4，所以0≤≤1，所以當x＝時，f(x)取得最大值，所以＋3＝4，解得m＝2.答案：26．利用函數(shù)的平均變化率證明函數(shù)y＝在區(qū)間[0，5]上是減函數(shù)．【證明】設(shè)0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，則f(x2)－f(x1)＝－＝，所以＝，又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，則x1＋2＞0，x2＋2＞0，所以<0，則函數(shù)y＝在[0，5]上是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，5]上的最小值為f(5)＝，最大值為f(0)＝.【綜合突破練】　(30分鐘·60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2021·成都高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上單調(diào)遞減，且f(x)在[5，10]上的最小值為－32，則實數(shù)k的值為(　　)A．－　　B．0　　C．0或－　　D．0或【解析】選B.由函數(shù)f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上單調(diào)遞減可知，當x＝10時，函數(shù)有最小值，即100k－40＋8＝－32，解得k＝0，當k＝0時，f(x)＝－4x＋8，函數(shù)單調(diào)遞減，滿足題意．2．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m的值(　　)A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【解析】選B.因為最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定與b無關(guān)，與a有關(guān)．3．某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為(　　)A．90萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．120.25萬元【解析】選C.設(shè)公司在甲地銷售m輛，則在乙地銷售(15－m)輛，設(shè)兩地銷售的利潤之和為y萬元，則y＝－m2＋21m＋2(15－m)＝－m2＋19m＋30.由題意知，所以0≤m≤15，且m∈Z.當m＝＝9.5時，y值最大，因為m∈Z，所以取m＝9或10.當m＝9時，y＝120，當m＝10時，y＝120.綜上可知，公司獲得的最大利潤為120萬元．4．(2021·長春高一檢測)對任意a∈，函數(shù)f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，則x的取值范圍是(　　)A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>2【解析】選B.對任意a∈，函數(shù)f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，設(shè)g＝a＋x2－4x＋4，即g>0在a∈上恒成立．g在a∈上是關(guān)于a的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其圖像為一條線段．則只需線段的兩個端點在x軸上方，即，解得x>3或x<1.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．下列函數(shù)中，值域是[0，＋∞)的是(　　)A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝x2 D．y＝－x2＋4【解析】選AC.y＝|x|的值域是[0，＋∞)；y＝3－x的值域是R；y＝x2的值域是[0，＋∞)；y＝－x2＋4的值域是(－∞，4]，故選AC.6．設(shè)c＜0，f(x)是區(qū)間[a，b]上的減函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(　　)A．f(x)在區(qū)間[a，b]上有最小值f(a)B．在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)【解析】選CD.A中，f(x)是區(qū)間[a，b]上的減函數(shù)，在區(qū)間[a，b]上有最小值f(b)，A錯誤；B中，f(x)是區(qū)間[a，b]上的減函數(shù)，而函數(shù)在[a，b]上單調(diào)性無法確定，其最小值無法確定，B錯誤；C中，f(x)是區(qū)間[a，b]上的減函數(shù)，f(x)－c在區(qū)間[a，b]上也是減函數(shù)，其最小值為f(b)－c，C正確；D中，f(x)是區(qū)間[a，b]上的減函數(shù)，且c＜0，則cf(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則在[a，b]上有最小值cf(a)，D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．(2021·寧波高一檢測)函數(shù)y＝2＋的最大值是________，單調(diào)遞增區(qū)間是________．【解析】函數(shù)y＝2＋＝2＋，可得x＝2時，函數(shù)y取得最大值2＋2＝4；由4x－x2≥0，可得0≤x≤4，由t＝－x2＋4x在[0，2]上為增函數(shù)，y＝2＋在[0，＋∞)上為增函數(shù)，可得函數(shù)y＝2＋的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2].答案：4　[0，2]8．當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，則m的取值范圍是________．　【解析】當x∈(1，2)時，不等式x2＋mx＋4＜0可化為m＜－，又函數(shù)f(x)＝－在(1，2)上遞增，則f(x)＞－5，則m≤－5.答案：(－∞，－5]四、解答題(每小題10分，共20分)9．(2021·蕪湖高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝x＋.(1)試證明函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；(2)求函數(shù)f(x)在上的值域．【解析】(1)任取x1，x2∈(0，2)且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)，又0<x1<x2<2，所以x1－x2<0，0<x1x2<4，1－<0，所以(x1－x2)>0，則f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函數(shù)f(x)＝x＋在x∈(0，2)上單調(diào)遞減．(2)任取x1，x2∈[2，＋∞)且x1<x2，由(1)可知，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，即f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，其中f＝，f(2)＝4，f(4)＝5，所以f(x)在區(qū)間上的值域為.10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)當a＝2，x∈[－2，3]時，求函數(shù)f(x)的值域．(2)若函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．【解析】(1)當a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3＝－，對稱軸為x＝－，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f≤f(x)≤f(3)，f(3)＝15，f＝－，所以該函數(shù)的值域為.(2)函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3的對稱軸是x＝－a.當－a＞1時，函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為f(－1)＝－2a－1＝1，所以a＝－1；當－a≤1時，函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為f(3)＝6a＋3＝1，所以a＝－，綜上所述a＝－或a＝－1.【補償訓練】設(shè)函數(shù)f(x)＝其中a為常數(shù)．(1)對任意x1，x2∈R，當x1≠x2時，>0，求實數(shù)a的取值范圍．(2)在(1)的條件下，求g(x)＝x2－4ax＋3在區(qū)間[1，3]上的最小值h(a).【解析】(1)由題意函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，則實數(shù)a應滿足解得1≤a≤4.(2)g(x)＝x2－4ax＋3＝(x－2a)2＋3－4a2，其圖像的對稱軸x＝2a，由(1)得2≤2a≤8.①當2≤2a≤3，即1≤a≤時，h(a)＝g(2a)＝3－4a2；②當3<2a≤8，即<a≤4時，h(a)＝g(3)＝12－12a.綜上h(a)＝【應用創(chuàng)新練】1．已知x＞1，則函數(shù)f(x)＝2x＋的最小值為________．【解析】根據(jù)題意f(x)＝2x＋＝2(x－1)＋＋2，又由x＞1，即x－1＞0，則f(x)≥2＝2＋2，即函數(shù)f(x)的最小值為2＋2.答案：2＋22．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋a2＋1(a∈R)，設(shè)f(x)在[－1，1]上的最大值為g(a)，(1)求g(a)的表達式．(2)是否存在實數(shù)m，n，使得g(a)的定義域為[m，n]，值域為[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，請說明理由．【解析】(1)因為函數(shù)f(x)圖像的對稱軸為x＝－，所以當－≤0，即a≥0時，g(a)＝f(x)max＝f(1)＝a2＋a＋2；當－>0，即a＜0時，g(a)＝f(x)max＝f(－1)＝a2－a＋2.所以g(a)＝(2)假設(shè)存在符合題意的實數(shù)m，n，則由(1)可知，函數(shù)g(a)的圖像如圖所示，故g(a)≥2，又g(a)∈[5m，5n]，所以0<m<n.又g(a)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以所以m，n是方程x2＋x＋2＝5x，即x2－4x＋2＝0的兩根，解得m＝2－，n＝2＋.

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