第三章  函數(shù)3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析：函數(shù)的單調(diào)性與最值指的是在初中的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的再認(rèn)識(shí)，是利用集合與對(duì)應(yīng)的思想來(lái)理解函數(shù)的定義，從而加深對(duì)抽象函數(shù)單調(diào)性的定義理解，根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)區(qū)間以及理解函數(shù)最大（?。┲档亩x并掌握其求法。由于它還是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的樞紐，所以在本學(xué)科有不可替代的重要位置的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)區(qū)間以及理解函數(shù)最大（?。┲档亩x并掌握其求法。函數(shù)的單調(diào)性與最值指的是在初中的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的再認(rèn)識(shí)，是利用集合與對(duì)應(yīng)的思想來(lái)理解函數(shù)的定義，從而加深對(duì)抽象函數(shù)單調(diào)性的定義理解，根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)區(qū)間以及理解函數(shù)最大（?。┲档亩x并掌握其求法。由于它還是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)銜接的樞紐，所以在本學(xué)科有不可替代的重要位置的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)區(qū)間以及理解函數(shù)最大（小）值的定義并掌握其求法。教學(xué)目標(biāo)：會(huì)用三種語(yǔ)言表述函數(shù)單調(diào)性；掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法和步驟。在函數(shù)單調(diào)性的研究中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察分析、歸納概括、語(yǔ)言表示的思維過(guò)程，初步體會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)的方法。培養(yǎng)函數(shù)思維能力。通過(guò)單調(diào)性的學(xué)習(xí)樹(shù)立善于思考、敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的精神。初步感知平均變化率與函數(shù)增長(zhǎng)速度之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【教學(xué)重點(diǎn)】1.函數(shù)單調(diào)性的判定與證明2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.用圖像法、函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.4.函數(shù)最值的應(yīng)用問(wèn)題【教學(xué)難點(diǎn)】1.利用單調(diào)性證明一些簡(jiǎn)單的不等式2.對(duì)抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷3.借助函數(shù)單調(diào)性求最值在函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)中，準(zhǔn)備使用《幾何畫(huà)板》。因?yàn)槭褂谩稁缀萎?huà)板》，有利于規(guī)范作圖。教學(xué)過(guò)程一、單調(diào)性的定義與證明【情境與問(wèn)題】           情境與問(wèn)題中的函數(shù)y=f（x）反映出記憶的如下規(guī)律：隨著時(shí)間間隔x的增大，記憶保持量y將減小.給定一個(gè)函數(shù)，人們有時(shí)候關(guān)心的是，函數(shù)值會(huì)隨著自變量增大而怎樣變化，類(lèi)似的內(nèi)容我們?cè)诔踔性?jīng)接觸過(guò).如下圖，從正比例函數(shù)y=2x的圖像可以看出，當(dāng)自變量由小變大時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值逐漸變大，即y隨著x的增大而增大；從反比例函數(shù)y=  的圖像可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y都隨著x的增大而減小.         【嘗試與發(fā)現(xiàn)】  一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，且I?D：（1）如果對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）<f（x2），則稱(chēng)y=f（x）在I上是增函數(shù)（也稱(chēng)在I上單調(diào)遞增），如下圖（1）所示；（2）如果對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f（x1）>f（x2），則稱(chēng)y=f（x）在I上是減函數(shù)（也稱(chēng)在I上單調(diào)遞減），如下圖（2）所示兩種情況下，都稱(chēng)函數(shù)在I上具有單調(diào)性（當(dāng)I為區(qū)間時(shí)，稱(chēng)I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱(chēng)為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間）.     由增函數(shù)和減函數(shù)的定義可知，前面給出的例子中，y=2x在R上是增函數(shù)；y=  在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上也是減函數(shù).【想一想】  【嘗試與發(fā)現(xiàn)】      由嘗試與發(fā)現(xiàn)可知，從函數(shù)的圖像能方便地看出函數(shù)的單調(diào)性.但一般情況下，得到函數(shù)的圖像并不容易，而且手工作出的圖像往往都不精確，因此我們要探討怎樣從函數(shù)的解析式來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性.這可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義和不等式的證明方法.【典型例題】例1 求證：函數(shù)f（x）=-2x在R上是減函數(shù).證明 任取x1，x2∈R且x1<x2，則x1-x2<0，那么f（x1）-f（x2）=（-2x1）-（-2x2）=2（x2-x1）>0，從而f（x1）>f（x2）.因此，函數(shù)f（x）=-2x在R上是減函數(shù).一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，且x0∈D：如果對(duì)任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），則稱(chēng)f（x）的最大值為f（x0），而x0稱(chēng)為f（x）的最大值點(diǎn)；如果對(duì)任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），則稱(chēng)f（x）的最小值為f（x0），而x0稱(chēng)為f（x）的最小值點(diǎn).最大值和最小值統(tǒng)稱(chēng)為最值，最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為最值點(diǎn).不難看出，如果函數(shù)有最值而且函數(shù)的單調(diào)性容易求出，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值點(diǎn)和最值例2 判斷函數(shù)f（x）=3x+5，x∈[-1，6]的單調(diào)性，并求這個(gè)函數(shù)的最值.解   任取x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，則x1-x2<0，那么f（x1）-f（x2）=（3x1+5）-（3x2+5）=3（x1-x2）<0，所以這個(gè)函數(shù)是增函數(shù).因此，當(dāng)-1≤x≤6時(shí)，有f（-1）≤f（x）≤f（6），從而這個(gè)函數(shù)的最小值為f（-1）=2，最大值為f（6）=23.例2的結(jié)論也可由不等式的知識(shí)得到：因?yàn)?/span>-1≤x≤6，所以-3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.二、函數(shù)的平均變化率我們已經(jīng)知道，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，這一結(jié)論當(dāng)然也成立.一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱(chēng)  為直線(xiàn)AB的斜率；當(dāng)x1=x2時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)AB的斜率不存在.直線(xiàn)AB的斜率反映了直線(xiàn)相對(duì)于x軸的傾斜程度.若記Δx=x2一x1，相應(yīng)的Δy=y2-y1，則當(dāng)Δx≠0時(shí)，斜率可記為解為如下圖所示，直線(xiàn)AB的斜率即為Rt△ACB中BC與AC的比.另外，圖中，直線(xiàn)AB的斜率大于零，而直線(xiàn)AD的斜率小于零.       不難看出，平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)其中任意兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)的斜率都相等或都不存在.下面我們用直線(xiàn)的斜率來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性.由函數(shù)的定義可知，任何一個(gè)函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，它們所確定的直線(xiàn)的斜率一定存在.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】        可以看出，函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率都大于0，函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率都小于0一般地，若I是函 數(shù)y=f（x）的定義域的子集，對(duì)任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1=f（x1），y2=f（x2 ），            （即                 ），則： （1）y=f（x）在I上是增函數(shù)的充要條件是       在I上恒成立； （2）y=f（x）在I上是減函數(shù)的充要條件是       在I上恒成立。一般地，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱(chēng) 為函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x1，x2]（x1<x2時(shí)）或[x2，x1]（x1>x2時(shí)）上的平均變化率。利用上述結(jié)論，我們可以證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性.例如，對(duì)于函數(shù)y=-2x來(lái)說(shuō)，對(duì)任意x1，x2∈R且x1≠x2，有             因此y=-2x在R上是減函數(shù).【拓展閱讀】             【典型例題】例3   求證：函數(shù)y=   在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)證明  設(shè)x1≠x2，那么  如果x1，x2∈（-∞，0），則x1x2>0，此時(shí)   ＜0，所以函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù).同理，函數(shù)在（0，+∞）也是減函數(shù)例4  判斷一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的單調(diào)性.解  設(shè)x1≠x2，那么                 因此，一次函數(shù)的單調(diào)性取決于k的符號(hào)：當(dāng)k>0時(shí)，一次函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，一次函數(shù)在R上是減函數(shù).例4說(shuō)明，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像上任意兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)斜率均為k，這實(shí)際上也說(shuō)明了一次函數(shù)的圖像一定是直線(xiàn)不僅則此，此時(shí)從   =k還可以看出，Δy=kΔx，這就意味著在一次函數(shù)中，Δy與Δx成正比，且比例系數(shù)為k.特別地，當(dāng)自變量每增大一個(gè)單位時(shí)，因變量增大k個(gè)單位，而且可以證明，只有一次函數(shù)才具有這個(gè)性質(zhì).事實(shí)上，如果Δy=kΔx，設(shè)x=0時(shí)函數(shù)值為y0，則y-y0=k（x-0），即y=kx+y0，因此一定是一次函數(shù).正因?yàn)槿绱?，一次函?shù)也經(jīng)常被稱(chēng)為線(xiàn)性函數(shù).例如，如果向給定的容器中倒水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水體積相等，那么容器內(nèi)水面的高度y是時(shí)間t的函數(shù)。當(dāng)容器是下圖（1）所示的圓柱時(shí)，在固定的Δt時(shí)間內(nèi)，Δy應(yīng)該是常數(shù)，因此函數(shù)的圖像是如下圖（2）所示的一條線(xiàn)段.      當(dāng)容器是如下圖（1）所示圓臺(tái)時(shí)，由容器的形狀可知，在固定的Δt時(shí)間內(nèi)，隨著t的增加，Δy應(yīng)該越大，因此函數(shù)的圖像如圖（2）所示。   【典型例題】  例5  證明函數(shù)f（x）=x2+2x在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，+∞）上是增函數(shù)，并求這個(gè)函數(shù)的最值.當(dāng)然，這一結(jié)論也可以從二次函數(shù)的圖像是關(guān)于x=     對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)與開(kāi)口方向看出來(lái).【拓展與閱讀】                教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問(wèn)題是歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義，并根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及求一個(gè)具體函數(shù)的最值。產(chǎn)生這一問(wèn)題的原因是對(duì)抽象函數(shù)還不熟練，對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的定義還不是很理解，其次單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。要解決這一問(wèn)題，就要加強(qiáng)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握單調(diào)性的證明，以及求函數(shù)的最值。      

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性

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