二十五　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【基礎(chǔ)全面練】　(15分鐘·35分)1.(2021·蕪湖高一檢測)若偶函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)且有最小值0，則它在上(　　)A．為減函數(shù)，有最大值0B．為增函數(shù)，有最大值0C．為減函數(shù)，有最小值0D．為增函數(shù)，有最小值0【解析】選C.因為偶函數(shù)f(x)在[1，3]上為增函數(shù)，且有最小值0，所以函數(shù)f(x)在[－3，－1]上為減函數(shù)，且有最小值0.2．已知函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x＋3，則當(dāng)x<0時，f(x)的解析式是(　　)A．f(x)＝x2＋2x－3　　B．f(x)＝x2－2x－3C．f(x)＝x2＋2x＋3    D．f(x)＝－x2＋2x＋3【解析】選C.若x<0，則－x>0，因為當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝f(x)，所以當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x＋3.3．定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)＝0，則f(x)＜0的解集是(　　)A．(－3，0)∪(3，＋∞)B．(－∞，－3)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，0)∪(0，3)【解析】選B.因為f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)內(nèi)是增函數(shù)，因為f(－3)＝－f(3)＝0，所以f(3)＝0.當(dāng)x>0時，由f(x)＜0＝f(3)，得0<x<3，當(dāng)x<0時，由f(x)＜0＝f(－3)，所以x<－3，當(dāng)x＝0時，f(x)＝0不符合題意，故f(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0，3).【補償訓(xùn)練】 已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為(　　)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1，0)∪(0，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】選C.根據(jù)題意，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則在(0，1)上，f(x)＜0，在(1，＋∞)上，f(x)＞0.又由f(x)為奇函數(shù)，則在(－∞，－1)上，f(x)＜0，在(－1，0)上，f(x)＞0，＜0?或，則有－1＜x＜0或0＜x＜1，即不等式＜0的解集為(－1，0)∪(0，1).4．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函數(shù)，則f(x)的遞減區(qū)間為________．【解析】由偶函數(shù)的定義知k＝3，f(x)＝x2＋3，其圖像開口向上，所以f(x)的遞減區(qū)間是(－∞，0].答案：(－∞，0]5．(2021·長沙高一檢測)已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞增，則不等式f(2x)>f(1－x)的解集為________．【解析】依題意，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞增，要滿足f(2x)>f(1－x)，則要求|2x|>|1－x|，兩邊平方得4x2>1－2x＋x2，即3x2＋2x－1>0，即(x＋1)(3x－1)>0，解得x∈(－∞，－1)∪.答案：(－∞，－1)∪6．(2021·馬鞍山高一檢測)已知y＝f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)＝－x2＋4x.(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(t，t＋1)上是單調(diào)函數(shù)，求t的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)＝－x2＋4x，又因為y＝f(x)為奇函數(shù)，則任取x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，f(x)＝－f(－x)＝x2＋4x，所以f(x)＝(2)由(1)知由圖可知，y＝f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上單調(diào)遞減， 在[－2，2]上單調(diào)遞增，因為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(t，t＋1)上是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)t＋1≤－2，即t≤－3時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減；當(dāng)－2≤t且t＋1≤2，即－2≤t≤1時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞增；當(dāng)t≥2時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減．綜上，t≤－3或t≥2時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減；當(dāng)－2≤t≤1時，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞增．即t的取值范圍是t≤－3或t≥2或－2≤t≤1.【綜合突破練】　(30分鐘·60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．函數(shù)y＝|x－1|的圖像是(　　)【解析】選A.根據(jù)函數(shù)的定義域為{x|x≠0}可知選項B，選項C不正確；根據(jù)函數(shù)y＝|x－1|的值恒正，可知選項D不正確．2．函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(3)<f(2a＋1)，則a的取值范圍是(　　)A．a>1       B．a<－2C．a>1或a<－2    D．－1<a<2【解析】選C.因為函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上是偶函數(shù)，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以3<|2a＋1|，解得a>1或a<－2.3．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f＝0，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式xf(x)＞0的解為(　　)A．B．C．D．【解析】選C.因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f＝0，所以f＝0，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，因為當(dāng)－＜x＜0時，f(x)＜0，此時xf(x)＞0，當(dāng)0＜x＜時，f(x)＞0，此時xf(x)＞0，綜上，xf(x)＞0的解集為{x|0<x<或－<x<0}．4．(2021·蘭州高一檢測)函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意的x1，x2∈，有<0，且函數(shù)f為偶函數(shù)，則(　　)A．f(1)<f(－2)<f(3)B．f(3)<f(－2)<f(1)C．f(－2)<f(3)<f(1)D．f(－2)<f(1)<f(3)【解析】選C.因為對任意的x1，x2∈，有<0，所以對任意的x1，x2∈，x2－x1與f(x2)－f(x1)均為異號，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，又函數(shù)f為偶函數(shù)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(－2)＝f(4)，所以f(－2)＝f(4)<f(3)<f(1).二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且有f(3)>f(1).則下列各式中一定成立的是(　　)A．f(－3)>f(－1)    B．f(0)<f(5)C．f(－1)<f(3)     D．f(2)>f(0)【解析】選AC.因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，所以f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．6．已知狄利克雷函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是(　　)A．f(x)的值域為[0，1]B．f(x)的定義域為RC．f(x＋1)＝f(x)D．f(x)是奇函數(shù)【解析】選BC.對于A，f(x)的值域為{0，1}，故A錯誤．對于B，f(x)的定義域為R，故B正確．對于C，當(dāng)x是有理數(shù)時，x＋1也為有理數(shù)；當(dāng)x是無理數(shù)時，x＋1也為無理數(shù)，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正確．對于D, 因為f(0)＝1，故D錯誤．三、填空題(每小題5分，共10分)7．偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的最小值為2 020，則f(x)在(－∞，0)上的最小值為________．【解析】由于偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以f(x)在對稱區(qū)間內(nèi)的最值相等．又當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)min＝2 020，故當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)min＝2 020.答案：2 0208．(2021·濰坊高一檢測)函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－2)的圖像關(guān)于點(2，0)對稱，則滿足f(4x－4)＋f(x2－x)<0的實數(shù)x的取值范圍為________．【解析】函數(shù)y＝f(x－2)的圖像關(guān)于點(2，0)對稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(0，0)對稱，即y＝f(x)為奇函數(shù)，滿足f(－x)＝－f(x).所以f(4x－4)＋f(x2－x)<0，f(4x－4)<－f(x2－x)?f(4x－4)<f(－x2＋x)，又因為y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，所以4x－4<－x2＋x?－4<x<1.答案：(－4，1)四、解答題(每小題10分，共20分)9．設(shè)函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋4x.(1)求f(x)的表達式．(2)證明f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．【解析】(1)當(dāng)x<0時，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)，所以f(x)＝(2)設(shè)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)(x2＋x1＋4).因為0<x1<x2，所以x2－x1>0，x2＋x1＋4>0，所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)．10．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時f(x)＝－x2－2x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式．(2)若對任意實數(shù)m，f(m－1)＋f(m2＋t)＜0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)x＜0時，－x＞0，又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2＋2x)＝x2－2x，所以f(x)＝；(2)f(m－1)＋f(m2＋t)＜0，所以f(m－1)＜－f(m2＋t)，又f(x)是奇函數(shù)，所以f(m－1)＜f(－t－m2)，又因為f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以m－1＞－t－m2恒成立，所以t＞－m2－m＋1＝－＋恒成立，所以t＞，即實數(shù)t的范圍為.【應(yīng)用創(chuàng)新練】1．函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)，g(x)是一個奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝，則f(x)等于(　　)A．    B．C．    D．【解析】選A.由題知f(x)＋g(x)＝①以－x代x，①式得f(－x)＋g(－x)＝，即f(x)－g(x)＝②①＋②得f(x)＝.2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－1.(1)若f(1)＝2，求實數(shù)a的值，并求此時函數(shù)f(x)的最小值．(2)若f(x)為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．(3)若f(x)在(－∞，4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)由題意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，此時函數(shù)f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，故當(dāng)x＝－1時，函數(shù)f(x)min＝－2.(2)若f(x)為偶函數(shù)，則對任意x∈R，f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，化簡得，4ax＝0，故a＝0.(3)函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－1的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上單調(diào)遞減，所以4≤－a，即a≤－4，故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]. 

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2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用

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