二十一　分 段 函 數(shù)基礎(chǔ)全面練　(15分鐘·30分)1.函數(shù)f(x)＝，則f(f(2))的值為(　　)A．－1    B．－3    C．0    D．－8【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝，所以f(2)＝22－2－3＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.2．(2021·南京高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝10，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)A．±3    B．3    C．－3    D．－3或－5【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝，f(a)＝10，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝－2a＝10，解得a＝－5(舍去)；所以實(shí)數(shù)a的值為－3.3．已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的解析式是________．【解析】由題圖可知，當(dāng)－1≤x<0時(shí)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，將(－1，0)，(0，1)代入解析式，得所以即f(x)＝x＋1.當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)f(x)＝kx(k≠0)，將(1，－1)代入，得k＝－1，即f(x)＝－x.綜上f(x)＝答案：f(x)＝4．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f＝________，若f(x0)>1，則x0的取值范圍是________．【解析】f＝＝＝，當(dāng)x0≤0時(shí)，由－x0－1>1，得x0<－2；當(dāng)x0>0時(shí)，由>1，得x0>1.所以x0的取值范圍為(－∞，－2)∪(1，＋∞).答案：　(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．已知函數(shù)f(x)＝2x－1，g(x)＝求f(g(x))和g(f(x))的解析式．【解析】當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1，當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3，所以f(g(x))＝因?yàn)楫?dāng)2x－1≥0，即x≥時(shí)，g(f(x))＝(2x－1)2，當(dāng)2x－1<0，即x<時(shí)，g(f(x))＝－1，所以g(f(x))＝綜合突破練　(30分鐘·60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2021·濰坊高一檢測)設(shè)f(x)＝則f(5)的值是(　　)A．24　　　B．21　　　C．18　　　D．16【解析】選A.f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.2．定義運(yùn)算a*b＝則函數(shù)f(x)＝x2*|x|的圖像是(　　)【解析】選B.由已知給出的運(yùn)算定義知：f(x)＝x2*|x|＝即f(x)＝所以選項(xiàng)B符合題意．3．已知f(x)＝如果f(x0)＝3，那么x0＝(　　)A．2或－     B．2C．－      D．2或【解析】選A.因?yàn)?/span>f(x)＝所以若x0<0，f(x0)＝x＝3，則x0＝－；同理若x0>0，f(x0)＝x0＋1＝3，則x0＝2.4．設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)sgn x＝則(　　)A．|x|＝x|sgn x|    B．|x|＝x sgn |x|C．|x|＝|x|sgn x    D．|x|＝x sgn x【解析】選D.當(dāng)x<0時(shí)，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x sgn |x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a可以取的值為(　　)A．－3    B．3    C．－1    D．1【解析】選CD.因?yàn)?/span>f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1.(1)當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝＝1，所以a＝1.(2)當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝＝1，所以a＝－1.綜上可知a＝1或－1.6．已知f(x)＝則滿足不等式xf(x)＋x≤2的x的值有(　　)A．1    B．2    C．3    D．－1【解析】選AD.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，所以0≤x≤1；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，所以x<0.綜上可知x≤1.三、填空題(每小題5分，共10分)7．若定義運(yùn)算a⊙b＝則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域?yàn)?/span>________．【解析】由題意得f(x)＝畫出函數(shù)f(x)的圖像，值域是(－∞，1].答案：(－∞，1]8．設(shè)定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)f(x)＝且f(f(x))＝1，則x的值所組成的集合為________．【解析】設(shè)f(x)＝t，t∈R，則對于f(t)＝1，有解，t＝2或者－1≤t≤1.那么，①當(dāng)t＝f(x)＝2時(shí)，有2x－3＝2，x＝>1，滿足條件．②當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝1，滿足條件．當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，代入式子f(x)＝2x－3，可得不等式組解得1<x≤2.綜上：－1≤x≤2或者x＝.答案：四、解答題(每小題10分，共20分)9．設(shè)函數(shù)f(x)＝且f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式．【解析】因?yàn)?/span>f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，所以16－4b＋c＝3，4－2b＋c＝－1，解得：b＝4，c＝3，所以f(x)＝(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像，并寫出函數(shù)f(x)的定義域、值域．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>[－4，4]，當(dāng)－4≤x<0時(shí)，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，由－4≤x<0可得，－1≤f(x)≤3，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝－x＋3，所以－1≤f(x)≤3，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>[－1，3].其圖像如圖所示．10．已知函數(shù)f(x)＝1＋，(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x).【解析】因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋1，所以f(x)＝(2)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖像．【解析】函數(shù)圖像如圖：(3)在同一坐標(biāo)系中，再畫出函數(shù)g(x)＝(x>0)的圖像(不用列表)，觀察圖像直接寫出當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)>的解集．【解析】由圖可知當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)，所以不等式f(x)>的解集為{x|x>1} .應(yīng)用創(chuàng)新練1．(多選題)已知f(x)＝g(x)＝則f(g(x))＝(　　)A．－x    B．－x2    C．x    D．x2【解析】選BD.當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝－x2<0，所以f(g(x))＝－x2.當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝x≥0，所以f(g(x))＝x2.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝(1)請?jiān)谙铝兄苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖像．【解析】 函數(shù)f(x)的圖像如圖：(2)根據(jù)(1)的圖像，試分別寫出函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝t的圖像有2，3，4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解析】根據(jù)圖像可知：當(dāng)－2<t<1或t>2時(shí)，f(x)與y＝t有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)t＝1或t＝2時(shí)，f(x)與y＝t有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)1<t<2時(shí)，f(x)與y＝t有4個(gè)交點(diǎn)．(3)記函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?/span>D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，則稱點(diǎn)(x0，x0)為函數(shù)g(x)圖像上的不動點(diǎn)．試問，函數(shù)f(x)圖像上是否存在不動點(diǎn)，若存在，求出不動點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】若f(x)圖像上存在不動點(diǎn)，則f(x)＝x有解，則y＝f(x)與y＝x有交點(diǎn)．由圖像可知：若－1≤x≤2，則－x2＋2＝x，解得x＝1(舍去x＝－2)，即不動點(diǎn)為(1，1)；若x>2，則3x－8＝x，解得x＝4，即不動點(diǎn)為(4，4).綜上，函數(shù)f(x)圖像上存在不動點(diǎn)(1，1)，(4，4).【補(bǔ)償訓(xùn)練】動點(diǎn)P從邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過B，C，D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)移動的路程，f(x)表示PA的長，g(x)表示△ABP的面積，求f(x)和g(x)，并作出g(x)的簡圖．【解析】如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動時(shí)，PA＝x；當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動時(shí)，由Rt△ABP可得PA＝；當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動時(shí)，由Rt△ADP易得PA＝；當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動時(shí)，PA＝4－x，故f(x)的表達(dá)式為：　f(x)＝由于P點(diǎn)在正方形ABCD上不同位置時(shí)，△ABP的形狀各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此必須對P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論．如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，即0≤x≤1時(shí)，△ABP的面積為0；當(dāng)P點(diǎn)在BC上，即1<x≤2時(shí)，S△ABP＝AB·BP＝(x－1)；當(dāng)P點(diǎn)在CD上，即2<x≤3時(shí)，S△ABP＝×1×1＝；當(dāng)P點(diǎn)在DA上，即3<x≤4時(shí)，S△ABP＝(4－x).故g(x)＝g(x)的簡圖如圖所示．

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1.1 函數(shù)及其表示方法

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