新人教B版 數(shù)學(xué) 第一冊《3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計 課題名3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性（第1課時）課標要求1.理解單調(diào)函數(shù)定義,理解增函數(shù)、減函數(shù)定義.2.能用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性.3.理解函數(shù)的單調(diào)性并能進行簡單應(yīng)用.核心目標1.理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念；（重點）2.掌握用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；（難點）3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教學(xué)準備教師準備：教案、課件學(xué)生準備：教材、學(xué)案教學(xué)過程 情景引入德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了有趣的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時間間隔t的函數(shù). 艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯記憶遺忘曲線”,如圖：思考1：當時間間隔t逐漸增大時，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢嗎？通過這個試驗，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?思考2:“艾賓浩斯記憶遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點進行解釋？ 新知探究知識點一  函數(shù)單調(diào)性的概念一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且I?D.(1)  如果對任意,∈I,當<時,都有f()<f(),則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增),如圖1所示.(2)如果對任意,∈I,當<時,都有f()>f(),則稱y=f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減),如圖2所示.兩種情況下,都稱函數(shù)在I上具有單調(diào)性(當I為區(qū)間時,稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間).名師點析 1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì),這個區(qū)間可以是整個定義域,也可以是定義域的一部分,也就是單調(diào)區(qū)間是定義域的某個子集.2.對于單獨一點,由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但在某些點無意義時,單調(diào)區(qū)間不能包括這些點.  核心目標檢驗1. 已知四個函數(shù)的圖像如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是(　　)2. 整個上午（8：00—12：00）天氣越來越暖，中午時分（12：00—13：00）一場暴風(fēng)雨使天氣驟然涼爽了許多.暴風(fēng)雨過后，天氣轉(zhuǎn)暖，直到太陽下山（18：00）才又開始轉(zhuǎn)涼.畫出這一天8：00—20：00期間氣溫作為時間函數(shù)的一個可能圖象，并說出所畫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 新知探究知識點二  判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性的一般步驟:(1)任取,∈I,且Δx=->0;(2)作差:Δy=f()-f();(3)變形(方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定號(即判斷Δy的正負);(5)下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性).核心目標檢驗3. 寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：      4. 辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)函數(shù)f(x)＝2,若f(－1)<f(2),則函數(shù)在R上是增函數(shù)．(　　)提示：函數(shù)f(x)＝2在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝－2/x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　)提示：函數(shù)f(x)＝－的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用“并”表示．(3)函數(shù)f(x)在定義域或其某一個子區(qū)間上一定有嚴格的單調(diào)性．(　　)提示：常數(shù)函數(shù)不具有嚴格的單調(diào)性． 課堂總結(jié)            命題講練命題方向1：利用圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例題1:1．如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是(　　)A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間[－3，1]∪[4，5]上單調(diào)遞減D．函數(shù)在區(qū)間[－5，5]上沒有單調(diào)性【解析】一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接．跟蹤練習(xí)1:如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖像，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)A.(－1，0)       B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)    D．(－1，0)，(1，＋∞)【解析】若函數(shù)單調(diào)遞減，則對應(yīng)圖像為下降的，由圖像知，函數(shù)在(－1，0)，(1，＋∞)上分別下降，則對應(yīng)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0)，(1，＋∞). 命題方向2:判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例題2:(1)證明函數(shù)f(x)＝x＋4/x在(2，＋∞)上是增函數(shù)．【思路導(dǎo)引】任取，∈(2，＋∞)，且<?f()<f()?函數(shù)單調(diào)遞增【證明】任取，∈(2，＋∞)，且<，f()－f()＝＋－－＝(－)＋＝(－).因為2<<，所以－<0，>4，－4>0，所以f()－f()<0，即f()<f().所以函數(shù)f(x)＝x＋4/x在(2，＋∞)上是增函數(shù)．(2)．有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的敘述中，正確的是(　　)A．y＝－2/x在定義域上為增函數(shù)B．y＝1/x^2+1在[0，＋∞)上為增函數(shù)；C．y＝－3x^2－6x的減區(qū)間為[－1，＋∞)D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必為增函數(shù)數(shù)．【解析】對于A，y＝－2/x在定義域上無單調(diào)性，在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以A錯誤；對于B，y＝1/x^2+1在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以B錯誤；對于C，y＝－3－6x圖像是拋物線，對稱軸是x＝－1，所以函數(shù)在[－1，＋∞)上是減函數(shù)，所以C正確；對于D，a>0時，y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，a<0時，y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以D錯誤．利用性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)當f(x)＞0時，函數(shù)y＝1/f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相反，對于f(x)＜0也成立．(2)在公共定義域內(nèi)，兩增函數(shù)的和仍為增函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)所得的函數(shù)為增函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)與f(x)＋c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性．(4)當c＞0時，函數(shù)f(x)與cf(x)具有相同的單調(diào)性；當c＜0時，函數(shù)f(x)與cf(x)具有相反的單調(diào)性．(5).復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷如下:若u=g(x),y=f(u)在相應(yīng)的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù),則y=f(g(x))為增函數(shù);若u=g(x),y=f(u)在相應(yīng)的區(qū)間上一個是增函數(shù),另一個是減函數(shù),則y=f(g(x))為減函數(shù).復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”,即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時遞增,相異時遞減. 跟蹤練習(xí)2：(1)函數(shù)y＝|x－1|的單調(diào)增區(qū)間是____________．【解析】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞).(2) 已知函數(shù)f(x)＝.(1)用定義證明f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．【解析】(1)在[1，＋∞)上任取，，設(shè)<.f()－f()＝+1－＝，因為1≤<，所以＋1>0，＋1>0，－<0，所以f()－f()<0，即f()<f()，所以f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在[1，4]上是增函數(shù)，當x＝1時有最小值為3/2，當x＝4時有最大值為9/5.命題方向3:利用單調(diào)性求參數(shù)取值范圍例題3:1.若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是嚴格單調(diào)減函數(shù)，則有(　　)A．a≥1/2  B．a(chǎn)≤1/2   C．a(chǎn)>1/2  D．a(chǎn)<1/2【解析】函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是嚴格單調(diào)減函數(shù)，則2a－1<0，即a<1/2.已知函數(shù)f(x)＝2x^2－ax－1在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________．【解析】因為函數(shù)f(x)＝2x^2－ax－1的對稱軸為x＝a/4，又函數(shù)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，所以a/4≥1，解得a≥4，所以a的取值范圍為[4，＋∞).3.已知函數(shù)f(x)＝2x^2－ax－1的減區(qū)間為(－∞，1]上，則a的值為________．【解析】因為函數(shù)f(x)＝2x^2－ax－1的對稱軸為x＝a/4，又減區(qū)間為(－∞，1]，所以a/4=1，解得a=4.4.函數(shù)f(x)＝kx^2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上單調(diào)遞 增，則k的取值范圍是(　　)A．(0，＋∞)     B．(?∞,├2/5]C．[2/3,+∞)     D．[2/5, +∞)【解析】當k＝0時，f(x)＝－2x－5在R上單調(diào)遞減， 不符合題意，當k≠0時，則有,解得：k≥2/5，綜上所述，k的取值范圍是[2/5, +∞).5.若函數(shù)f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由題意，因為f(x)在R上是減函數(shù)，x＜0時f(x)＝x^2－ax＋1，其過定點(0，1)，且x＜0時是減函數(shù)，所以對稱軸x＝a/2≥0，①又因為x≥0時，f(x)＝－x＋3a是減函數(shù)，且在R上是減函數(shù)，所以3a≤1，②由①②得0≤a≤1/3.例題3:(1)已知函數(shù)f(x)＝x^2－ax的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，＋∞)，則實數(shù)a的值為________．(2)  已知函數(shù)f(x)＝x^2－ax在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．(3)  若函數(shù)f(x)＝在R上為增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為(　　)A．[1，2]   B．(1/2┤,├ 2]   C．(1，2]   D．(1/2,2)命題方向4:利用單調(diào)性解函數(shù)不等式例題4:已知函數(shù)f(x)的定義域為[－2，2]，且f(x)在區(qū)間[－2，2]上是增函數(shù)，f(1－m)＜f(m)，則實數(shù)m的取值范圍為________．【思路導(dǎo)引】從定義域，單調(diào)性兩個方面列不等式求范圍．【解析】因為f(x)的定義域為[－2，2]，所以解得－1≤m≤2，因為f(x)是增函數(shù)，所以1－m＜m，所以m＞1/2，所以1/2＜m≤2.跟蹤練習(xí)4:已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f(1/x)<f(1)的實數(shù)x的取值范圍是(　　)     A．(0，1)       B．(－∞，1)     C．(0，＋∞)    D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】選A.因為f(x)為R上的減函數(shù)，所以由f(1/x)<f(1)得1/x>1，解得0<x<1.命題方向5: 抽象函數(shù)的單調(diào)性例題5:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且對任意正實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且當x>1時, f(x)>0.(1)求f(1/2)的值;(2)判斷y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并給出證明.思路點撥:抽象函數(shù)問題解題的關(guān)鍵是根據(jù)結(jié)論對x,y進行賦值,通過賦值解決.解析　(1)對于任意正實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,∴當x=y=1時,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.當x=2,y=1/2時,有f(2×1/2)=f(2)+f(1/2),即f(2)+f(1/2)=0,又f(2)=1,∴f(1/2)=-1.(2)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).證明如下:任取,∈(0,+∞),且<,則f()+f()=f(),即f()-f()=f().∵>1,∴f()>0,即f()>f(),∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).布置作業(yè)教材練習(xí)題教輔練習(xí)題板書設(shè)計一、 二、 教學(xué)反思    

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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