5.1.2　弧度制課后訓(xùn)練鞏固提升A組1.將315°化為弧度為(　　)A. B. C. D.解析:315°=.答案:D2.與角終邊相同的角是(　　)A. B.2kπ-(k∈Z)C.2kπ-(k∈Z) D.(2k+1)π+(k∈Z)解析:選項(xiàng)A錯(cuò)誤,=2π+,與角終邊相同;選項(xiàng)B正確,2kπ-,k∈Z,當(dāng)k=2時(shí),2×2π-,與有相同的終邊;選項(xiàng)C錯(cuò)誤,2kπ-,k∈Z,當(dāng)k=1時(shí),2×π-,與有相同的終邊;選項(xiàng)D錯(cuò)誤,(2k+1)π+,k∈Z,當(dāng)k=0時(shí),(2×0+1)π+.答案:B3.設(shè)角α=-2弧度,則α所在的象限為(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:∵-π<-2<-,∴2π-π<2π-2<2π-,即π<2π-2<,∴2π-2為第三象限角,∴α為第三象限角.答案:C4.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是(　　)A.60°化成弧度是 B.-化成角度是-600°C.化成角度是15° D.-150°化成弧度是-解析:選項(xiàng)A正確,60°=60×;選項(xiàng)B正確,-=-×180°=-600°;選項(xiàng)C正確,×180°=15°;選項(xiàng)D錯(cuò)誤,-150°=-150×=-.答案:D5.已知角α=,則與α終邊相同的角β的集合是　　　　　　　　　　　　　　　. 答案:6.-是第　　　　　象限的角. 解析:因?yàn)?/span>-=-6π-,而-是第三象限的角,所以-是第三象限的角.答案:三7.用弧度表示終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.解:如圖,330°角的終邊與-30°角的終邊相同,-30°=-,而75°=75×,故終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為.8.已知α=1 690°,(1)把角α寫成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;(2)求角θ,使角θ與α終邊相同,且θ∈(-4π,4π).解:(1)1690°=4×360°+250°=4×2π+.(2)因?yàn)?/span>θ與α終邊相同,所以θ=2kπ+(k∈Z).又因?yàn)?/span>θ∈(-4π,4π),所以-4π<2kπ+<4π,解得-<k<(k∈Z).所以k=-2,-1,0,1.所以θ的值是-,-.9.如圖,已知一長為 dm,寬為1 dm的長方形木塊在桌面上做無滑動(dòng)的翻滾,翻滾到第四次時(shí)被一小木板擋住,使木塊的寬與桌面所成的角為30°.求點(diǎn)A走過的路程及走過的弧度所對扇形的總面積.解:由題意可知圓弧的半徑是2dm,圓心角為;圓弧的半徑是1dm,圓心角為;圓弧的半徑是dm,圓心角為,故點(diǎn)A走過的路程即為3段圓弧之和,即2×+1×π(dm);扇形的總面積是×2×π+(dm2).B組1.下列各組角中,終邊相同的角是(　　)A. B.-C.,- D.-,-解析:=6π+=10π-,終邊不相同,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;=7π+,與-的終邊不相同,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;的終邊在y軸的負(fù)半軸上,而-的終邊在y軸的正半軸上,終邊不相同,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)?/span>-=-2π-,所以-和-的終邊相同,選項(xiàng)D正確.答案:D2.已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),點(diǎn)P沿著直線l向右、點(diǎn)Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)P在如圖所示的位置同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),連接OQ,OP(如圖),則陰影部分面積S1,S2的大小關(guān)系是(　　)A.S1=S2B.S1≤S2C.S1≥S2D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2解析:因?yàn)橹本€l與圓O相切,所以OA⊥AP,所以S△AOP=·AP·OA.又因?yàn)?/span>S扇形OAQ=·R=·OA,且的長與線段AP的長相等,所以S扇形OAQ=S△AOP.所以S扇形OAQ-S扇形OAB=S△AOP-S扇形OAB,即S1=S2.答案:A3.《九章算術(shù)》是中國古代著名的數(shù)學(xué)專著,其中記載了計(jì)算弧田(弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形)的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式:弧田面積=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長為40 m的弧田,其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為(　　)(參考數(shù)據(jù):π≈3,≈1.73)A.15 m2 B.16 m2 C.17 m2 D.18 m2解析:因?yàn)閳A心角為,弦長為40m,所以圓心到弦的距離為20,半徑為40.因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為(40×20+20×20)=400+200,實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積,即×402-×20×40-400.因此兩者之差為-400-(400+200)≈16.答案:B4.時(shí)鐘的分針從1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為　　　　　. 解析:因?yàn)榉轴樏糠昼娹D(zhuǎn)6°,所以分針從1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的度數(shù)為-6°×(2×60+20)=-840°.所以-840°×=-.答案:-5.如圖,以正方形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心,邊AB的長為半徑作扇形AEB.若圖中兩塊陰影部分的面積相等,則∠EAD的弧度數(shù)大小為　　　　　. 解析:設(shè)正方形的邊長為a,∠EAD=α.由已知可得a2-πa2=αa2,解得α=2-.答案:2-6.在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分△POB的面積,且∠AOB=α弧度,則=　　　　　. 解析:設(shè)扇形的半徑為r,則扇形的面積為αr2.在Rt△POB中,PB=rtanα,則△POB的面積為r·rtanα.由題意得r·rtanα=2×αr2,即tanα=2α,故.答案:7.某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌,銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知OA=10,OB=x(0<x<10),線段BA,CD與的長度之和為30 m,圓心角為θ弧度.(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)記銘牌的截面面積為y,試問x取何值時(shí),y的值最大?并求出最大值.解:(1)根據(jù)題意,可算得=x·θ(m),=10θ(m).因?yàn)?/span>BA+CD+=30,所以10-x+10-x+xθ+10θ=30.所以θ=(0<x<10).(2)依據(jù)題意,可知y=S△OAD-S△OBC=θ×102-θx2,化簡得y=-x2+5x+50=-.所以當(dāng)x=時(shí),ymax=(m2).答:當(dāng)x=m時(shí),銘牌的面積最大,且最大面積為m2. 

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5.1 任意角和弧度制

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