第二章測評(時間:120分鐘　滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.不等式-x2-5x+6≥0的解集為(　　)A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3,或x≤2} D.{x|x≥1,或x≤-6}解析:不等式-x2-5x+6≥0可化為x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,故不等式的解集為{x|-6≤x≤1}.答案:A2.已知A={x|x2-2x>0},B=,則A∪B=(　　)A.{x|1<x<2} B.{x|2<x<3}C.{x|x<0,或x>1} D.{x|x<0,或1<x<2}解析:∵A={x|x>2,或x<0},B={x|1<x<3},∴A∪B={x|x<0,或x>1}.答案:C3.李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺學(xué)習(xí)機,他現(xiàn)在已存有60元.計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省30元,直到他至少有400元.設(shè)x個月后他至少有400元,則可以用于計算所需要的月數(shù)x的不等式是(　　)A.30x-60≥400 B.30x+60≥400C.30x-60≤400 D.30x+40≤400解析:設(shè)x月后所存的錢數(shù)為y,則y=30x+60,由于存的錢數(shù)不少于400元,故不等式為30x+60≥400.答案:B4.若a<1<b,則下列結(jié)論正確的是(　　)A. B.>1 C.a2<b2 D.ab<a+b解析:對于A,若a=-2,b=2,則不成立,對于B,若a=-2,b=2,則不成立,對于C,若a=-2,b=2,則不成立,對于D,∵a<1<b,∴a-1<0,b-1>0,∴(a-1)(b-1)<0,即ab-a-b+1<0,∴ab+1<a+b,∴ab<a+b,故D成立.答案:D5.設(shè)函數(shù)y=4x+-1(x<0),則y(　　)A.有最大值3 B.有最小值3C.有最小值-5 D.有最大值-5解析:∵x<0,∴-x>0.∴y=4x+-1=--1≤-4-1=-5,當(dāng)且僅當(dāng)x=-時,等號成立.∴y有最大值-5.答案:D6.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a的大小關(guān)系為 (　　)A.a2>a>-a B.-a>a2>aC.-a>a>a2 D.a2>-a>a解析:因為a2+a<0,即a(a+1)<0,所以-1<a<0,因此-a>a2>0,有-a>a2>a.故選B.答案:B7.已知a>0,b>0,且2a+b=2,則ab的最大值為(　　)A. B. C.1 D.解析:∵a>0,b>0,且2a+b=2,∴ab=×(2a·b)≤,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b,且2a+b=2,即a=,b=1時,取得最大值.故選A.答案:A8.某人從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(a<b),其全程的平均速度為v,則(　　)A.v= B.v=C.a<v< D.<v<解析:設(shè)甲、乙兩地的距離為S,往返的速度分別為a=,b=(a<b),則其全程的平均速度為v=,又v>a,故a<v<.答案:C9.已知正實數(shù)a,b滿足4a+b=30,使得取最小值時,實數(shù)對(a,b)是(　　)A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2)解析:∵a,b>0,∴(4a+b)5+≥(5+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“=”.這時a=5,b=10.答案:A10.已知不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},則不等式bx2-x-a>0的解集是(　　)A. B.C.{x|x<-3,或x>-2} D.{x|-3<x<-2}解析:因為不等式ax2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},所以a<0,且方程ax2+5x+b=0的實數(shù)根為2和3,所以解得a=-1,b=-6.所以不等式bx2-x-a>0為-6x2-x+1>0,即6x2+x-1<0,解得-<x<.所以不等式bx2-x-a>0的解集是x<x<.答案:A11.已知函數(shù)y=(x<-2),則函數(shù)y(　　)A.有最小值-2 B.有最小值2C.有最大值-2 D.有最大值-6解析:∵x<-2,∴x+2<0,令x+2=t,則t<0.∵y=,∴y==t+-4=--4≤-2-4=-6,當(dāng)且僅當(dāng)t=,且t<0,即t=-1,從而有x=-3時取最大值-6.故選D.答案:D12.設(shè)a>0,b>0,則下列不等式中不一定成立的是(　　)A.a+b+≥2 B.C.≥a+b D.(a+b)≥4解析:∵a>0,b>0,∴a+b+≥2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,且2,即a=b=時,取等號,故A成立;∵a+b≥2>0,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號,∴不一定成立,故B不成立;∵,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號,∴=a+b-≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號,∴,∴≥a+b,故C一定成立;∵(a+b)=2+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取等號,故D一定成立.故選B.答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.設(shè)M=5a2-a+1,N=4a2+a-1,則M,N的大小關(guān)系為　　　　　. 解析:∵M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+1≥1>0,∴M>N.答案:M>N14.已知關(guān)于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　. 解析:因為關(guān)于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以其對應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸最多有一個交點,所以判別式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥.答案:a≥15.已知方程ax2+bx+1=0的兩個根為-,3,則不等式ax2+bx+1>0的解集為　　　　　. 解析:根據(jù)題意,方程ax2+bx+1=0的兩個根為-,3,則有×3=,解得a=-<0,則ax2+bx+1>0?-<x<3,即不等式的解集為.答案:16.下列命題:①設(shè)a,b是非零實數(shù),若a<b,則ab2>a2b;②若a<b<0,則;③函數(shù)y=的最小值是2;④若x,y是正數(shù),且=1,則xy的最小值是16.其中正確的是　　　　　.(填序號) 解析:①中ab2-a2b=ab(b-a).由于a,b符號不定,故上式符號無法確定,故①不對.②中在a<b兩邊乘正數(shù),得,故②對.③中y=≥2,但由,得x2+2=1無解,故③不對.④中,∵=1≥2,∴xy≥16,即④對.答案:②④三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比較與a+b的大小.解:∵-(a+b)=-b+-a==(a2-b2)=(a2-b2),又a>0,b>0,a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,∴-(a+b)>0,∴>a+b.18.(本小題滿分12分)解關(guān)于x的不等式56x2+ax-a2<0.解:原不等式可化為(7x+a)(8x-a)<0,即<0.①當(dāng)-,即a>0時,-<x<;②當(dāng)-,即a=0時,原不等式的解集為?;③當(dāng)-,即a<0時,<x<-.綜上可知,當(dāng)a>0時,原不等式的解集為;當(dāng)a=0時,原不等式的解集為?;當(dāng)a<0時,原不等式的解集為xx<-.19.(本小題滿分12分)(1)已知式子,求使式子有意義的x的取值集合;(2)已知函數(shù)y=x2-4ax+a2(a∈R),關(guān)于x的不等式y≥x的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)由≥0,得3+2x-x2>0,解得-1<x<3,故使式子有意義的x的取值集合是{x|-1<x<3}.(2)∵y≥x的解集為R,∴當(dāng)x∈R時,x2-(4a+1)x+a2≥0恒成立.∴Δ=(4a+1)2-4a2≤0,即12a2+8a+1≤0,即(2a+1)(6a+1)≤0,∴-≤a≤-,∴a的取值范圍為.20.(本小題滿分12分)已知關(guān)于x的不等式<0的解集為M.(1)若3∈M,且5?M,求實數(shù)a的取值范圍.(2)當(dāng)a=4時,求集合M.解:(1)由3∈M,知<0,解得a<或a>9;若5∈M,則<0,解得a<1或a>25.則由5?M,知1≤a≤25,因此所求a的取值范圍是1≤a<或9<a≤25.(2)當(dāng)a=4時,<0.<0???<x<2或x<-2.故M=.21.(本小題滿分12分)證明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).證明:∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).22.(本小題滿分12分)某商店預(yù)備在一個月內(nèi)分批購買每張價值為20元的書桌共36張,每批都購入x張(x是正整數(shù)),且每批均需付運費4元,儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值(不含運費)成正比,若每批購入4張,則該月需用去運費和保管費共52元,現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運費和保管費.(1)求該月需用去的運費和保管費的總費用y;(2)能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由.解:(1)設(shè)題中比例系數(shù)為k,若每批購入x張,則共需分批,每批價值20x.由題意,y=·4+k·20x,由x=4時,y=52,得k=.故y=+4x(0<x≤36,x∈N*).(2)可以使資金夠用.理由如下:由(1)知y=+4x(0<x≤36,x∈N*),則y≥2=48(元).當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=6時,上式等號成立.故只需每批購入6張書桌,可以使資金夠用.

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