3.2.2　奇偶性課后訓練鞏固提升A組1.函數(shù)f(x)=x4+x2(　　)A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)答案:B2.函數(shù)f(x)=-x的圖象(　　)A.關于y軸對稱 B.關于直線y=x對稱C.關于坐標原點對稱 D.關于直線y=-x對稱解析:∵f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱,且f(-x)=--(-x)=x-=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù),其圖象關于原點對稱.答案:C3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的為(　　)A.y= B.y=C.y=x2 D.y=解析:易判斷A,C為偶函數(shù),B,D為奇函數(shù),但函數(shù)y=x2在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以選A.答案:A4.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)=(　　)A.-3 B.-1 C.1 D.3解析:因為f(x)是奇函數(shù),所以f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.答案:A5.下列判斷正確的是(　　)A.函數(shù)f(x)=是奇函數(shù)B.函數(shù)f(x)=是偶函數(shù)C.函數(shù)f(x)=x+是非奇非偶函數(shù)D.函數(shù)f(x)=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析:A中函數(shù)的定義域為{x|x≠2},不關于原點對稱,故f(x)不是奇函數(shù),故A錯誤;B中函數(shù)的定義域為{x|x≠-1},不關于原點對稱,故f(x)不是偶函數(shù),故B錯誤;C中函數(shù)的定義域為{x|x≤-1,或x≥1},f(-x)=-x+≠f(x),f(-x)=-x+≠-f(x),故f(x)是非奇非偶函數(shù),故C正確;D中函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù),故D錯誤.故選C.答案:C6.設函數(shù)f(x)=且f(x)為偶函數(shù),則g(-2)=(　　)A.6 B.-6 C.2 D.-2解析:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-2)=g(-2)=f(2)=22+2=6.答案:A7.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),定義域為[a-1,2a],則a=　　　　　,b=　　　　　. 解析:依題意應有a-1+2a=0,解得a=,此時f(x)=x2+bx+1+b,而f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即x2-bx+1+b=x2+bx+1+b,解得b=0.答案:　08.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且當x>2時,f(x)=x2-,則當x<-2時,f(x)=　　　　　. 解析:設x<-2,則-x>2,于是f(-x)=(-x)2-=x2+.又因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=x2+,故f(x)=-x2-.答案:-x2-9.判斷下列各函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=|x+2|-|x-2|;(4)f(x)=解:(1)定義域是{x|x≠1},不關于原點對稱,故f(x)是非奇非偶函數(shù).(2)定義域是{-1,1},f(x)=0,故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(3)定義域是R,f(-x)=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f(x),故f(x)是奇函數(shù).(4)當x<0時,-x>0,則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);當x>0時,-x<0,則f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).綜上所述,對任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).10.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-2x.(1)求f(-2);(2)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式;(3)在坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象.解:由于函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)內(nèi)的奇函數(shù),因此對于任意的x都有f(-x)=-f(x).(1)f(-2)=-f(2);又f(2)=22-2×2=0,故f(-2)=0.(2)①因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),所以f(0)=0;②當x<0時,-x>0,由f(x)是奇函數(shù),知f(-x)=-f(x).則f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.綜上,f(x)=(3)圖象如下:B組1.下列說法中,不正確的是(　　)A.若函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),則f(-3)=f(3)B.若f(-3)=f(3),則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C.若f(-3)≠-f(3),則函數(shù)f(x)一定不是R上的奇函數(shù)D.若函數(shù)f(x)不是定義域為R的偶函數(shù),則仍可能有f(-3)=f(3)答案:B2.設函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是(　　)A.|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)D.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)解析:因為f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),令h(x)=f(x)+|g(x)|,則h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=h(x),所以h(x)是偶函數(shù),選項D正確.答案:D3.已知函數(shù)f(x)的定義域為(3-2a,a+1),且f(x+1)為偶函數(shù),則實數(shù)a的值為(　　)A. B.2 C.4 D.6解析:∵f(x)的定義域為(3-2a,a+1),∴由3-2a<x+1<a+1,得2-2a<x<a,∴f(x+1)的定義域為(2-2a,a).又f(x+1)為偶函數(shù),∴其定義域關于原點對稱,∴2-2a=-a,即a=2.故選B.答案:B4.已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于(　　)A.4 B.3 C.2 D.1解析:因為f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),所以由已知得-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,解得g(1)=3.答案:B5.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實數(shù)a=　　　　　. 解析:依題意知f(-x)=f(x)恒成立,故x2-|x-a|=x2-|x+a|,因此|x-a|=|x+a|,解得a=0.答案:06.設奇函數(shù)f(x)的定義域為[-6,6],當x∈[0,6]時,f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)<0的解集用區(qū)間表示為　　　　　　 . 解析:由f(x)在區(qū)間[0,6]上的圖象知,滿足f(x)<0的不等式的解集為(0,3).又f(x)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,所以在區(qū)間[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集為[-6,-3).綜上可知,不等式f(x)<0的解集為[-6,-3)∪(0,3).答案:[-6,-3)∪(0,3)7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≤0時,f(x)=x2+2x.(1)求出f(x)的解析式;(2)現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示,請補出函數(shù)f(x)完整的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和值域.解:(1)令x>0,則-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.∵f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x)=x2-2x.∴f(x)的解析式為f(x)=(2)f(x)的圖象如圖所示.由圖知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0]和[1,+∞),f(x)的值域為[-1,+∞).8.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),設g(x)=,h(x)=.(1)試判斷g(x)與h(x)的奇偶性;(2)試判斷g(x),h(x)與f(x)的關系;(3)由此你能猜想出什么樣的結(jié)論?并說明理由.解:(1)∵g(x)和h(x)的定義域均為R,又g(-x)==g(x),h(-x)==-h(x),∴g(x)是偶函數(shù),h(x)是奇函數(shù).(2)g(x)+h(x)==f(x).(3)如果一個函數(shù)的定義域關于原點對稱,那么這個函數(shù)就一定可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和.

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3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

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