高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.2 雙曲線第2課時(shí)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)3.2 雙曲線第2課時(shí)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題，共9頁(yè)。試卷主要包含了雙曲線C，若雙曲線C，已知雙曲線C等內(nèi)容，歡迎下載使用。
二十五　雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用　　　　　　　　　　　　　　(15分鐘　30分)1．已知m＜1且m≠0，則二次曲線－＝1與＋＝1必有(　　)A．不同的頂點(diǎn)       B．不同的焦距C．相同的離心率       D．相同的焦點(diǎn)【解析】選D.若m＜0，則1－m＞－m＞0，則二次曲線－＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，此時(shí)c2＝a2－b2＝1－m－(－m)＝1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1，0)，因此與橢圓＋＝1具有相同的焦點(diǎn)．當(dāng)0<m<1時(shí)，－＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線c2＝1－m＋m＝1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)和(1，0)，也與＋＝1有相同焦點(diǎn)．2．已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，F(3，0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)A．－＝1        B．－＝1C．－＝1        D．－＝1【解析】選B.由已知條件易得直線l的斜率k＝＝1，設(shè)雙曲線E的方程為－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則－＝1①，－＝1②，x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，由①②得＝，從而＝1，又因?yàn)?/span>a2＋b2＝c2＝9，故a2＝4，b2＝5，所以E的方程為－＝1.3．設(shè)F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作斜率為3的直線l與雙曲線左、右支均相交，則雙曲線離心率的取值范圍為(　　)A．(1，)        B．(1，)C．(，＋∞)       D．(，＋∞)【解析】選C.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，由斜率為3的直線l過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，則＞3，即b2＞9a2，c2＞10a2，可得e＞.4．(2019·全國(guó)Ⅲ卷)雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　)A．    B．    C．2    D．3【解析】選A.由雙曲線的方程－＝1可得一條漸近線方程為y＝x；在△PFO中|PO|＝|PF|，過點(diǎn)P作PH⊥OF.因?yàn)?/span>tan ∠POF＝，OF＝，OH＝OF，所以PH＝；所以S△PFO＝××＝.5．(2020·天津高二檢測(cè))已知雙曲線－＝1的兩條漸近線分別為直線l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F且垂直于l1的直線l分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)，且＝2，求該雙曲線的離心率．【解析】雙曲線的漸近線的方程為y＝±x.不妨設(shè)直線l的方程為y＝－，由可得，所以A.由可得，所以B，因?yàn)?/span>＝2，故，整理得到c2＝2a2－2b2，即3c2＝4a2，故e＝.　　　　　　　　　　　　　　(30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2020·池州高二檢測(cè))與橢圓C：＋＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．x2－＝1        B．y2－2x2＝1C．－＝1        D．－x2＝1【解析】選C.設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，根據(jù)題意得解得a2＝b2＝2，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.2．(2020·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)M，N均在雙曲線C：－＝1上運(yùn)動(dòng)，F1，F2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為(　　)A．2       B．4C．2       D．以上都不對(duì)【解析】選B.由題意，設(shè)O為F1F2的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得＝＝2，又由N為雙曲線C：－＝1上的動(dòng)點(diǎn)，可得≥a，所以＝2≥2a＝4，即的最小值為4.3．(2020·沈陽(yáng)高二檢測(cè))若圓x2＋(y－)2＝r2與雙曲線－＝1沒有公共點(diǎn)，則半徑r的取值范圍是(　　)A．0<r<       B．0<r<C．0<r<       D．0<r<【解析】選C.若圓x2＋2＝r2與雙曲線－＝1沒有公共點(diǎn)，則半徑r小于雙曲線上的點(diǎn)到圓心距離的最小值，設(shè)雙曲線上任意點(diǎn)P，圓心A，＝＝＝，當(dāng)y＝時(shí)，的最小值為，所以半徑r的取值范圍是0<r<.4．(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)F1，F2是雙曲線C：x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為(　　)A．    B．3    C．    D．2【解析】選B.由已知，不妨設(shè)F1(－2，0)，F2(2，0)，則a＝1，c＝2，因?yàn)?/span>|OP|＝2＝|F1F2|，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，即△F1F2P是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16－2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，所以S△F1F2P＝|PF1||PF2|＝3.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．(2020·泰安高二檢測(cè))已知雙曲線C過點(diǎn)且漸近線為y＝±x，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．C的方程為－y2＝1B．C的離心率為C．曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個(gè)焦點(diǎn)D．直線x－y－1＝0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)【解析】選AC.對(duì)于選項(xiàng)A：由已知y＝±x，可得y2＝x2，從而設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2＝λ，又由雙曲線C過點(diǎn)，從而×32－()2＝λ，即λ＝1，從而選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由雙曲線方程可知a＝，b＝1，c＝2，從而離心率為e＝＝＝，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足y＝ex－2－1，從而選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：聯(lián)立，整理，得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(2)2－4×2＝0，知直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．6．(2020·濟(jì)南高二檢測(cè))若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．C的漸近線上的點(diǎn)到F距離的最小值為4B．C的離心率為C．C上的點(diǎn)到F距離的最小值為2D．過F的最短的弦長(zhǎng)為【解析】選AC.由題意知，2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因?yàn)?/span>b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦點(diǎn)為F，雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，對(duì)于選項(xiàng)A：由點(diǎn)F向雙曲線C的漸近線作垂線時(shí)，垂線段的長(zhǎng)度即為C的漸近線上的點(diǎn)到F距離的最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，d＝＝4，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>a＝3，c＝5，所以雙曲線C的離心率為e＝＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)雙曲線C上的點(diǎn)為其右頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)雙曲線C上的點(diǎn)到F的距離最小為2，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：過點(diǎn)F且斜率為零的直線與雙曲線的交點(diǎn)為A，B，此時(shí)過點(diǎn)F的最短弦為AB＝6，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．三、填空題(每小題5分，共10分)7．如果雙曲線－＝1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是__________.【解析】如圖，因?yàn)?/span>OA＝AF，F(c，0)，所以xA＝，因?yàn)?/span>A在右支上且不在頂點(diǎn)處，所以>a，所以e＝>2.答案：(2，＋∞)8．已知雙曲線C的方程為－＝1(a＞0)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且AF⊥BF，則△ABF的面積為__________．【解析】雙曲線C的方程為－＝1(a＞0)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)AF＝m，BF＝n，可得m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得：m2＋n2－2mn＝4a2，可得：mn＝c2－a2＝b2＝9.答案：9四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，虛軸長(zhǎng)為4.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)(0，1)，傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．【解析】(1)依題意可得解得a＝1，b＝2，c＝，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.(2)直線l的方程為y＝x＋1，聯(lián)立消去y得3x2－2x－5＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝，x1x2＝－，則|AB|＝|x1－x2|＝＝×＝，原點(diǎn)到直線l的距離為d＝，所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝.所以△OAB的面積為.10．已知雙曲線C：－＝1.(1)求與雙曲線C有共同的漸近線，且實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)P為雙曲線C右支上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，求|PA|的最小值．【解析】(1)由題可設(shè)所求雙曲線的方程為－＝λ(λ≠0)，①當(dāng)λ＞0時(shí)，方程為－＝1，令4λ＝得λ＝，即雙曲線方程為－＝1，②當(dāng)λ＜0時(shí)，方程為－＝1，令－3λ＝得λ＝－3，即雙曲線方程為－＝1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)(x0≥2)，滿足－＝1，|PA|＝＝＝＝.則當(dāng)x0＝時(shí)，|PA|有最小值，為.【創(chuàng)新遷移】1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率e的最大值為__________.【解析】由雙曲線定義知|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos ∠F1PF2的最小值，因?yàn)?/span>cos ∠F1PF2≥－1，所以cos ∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值為.答案：2．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線C2的方程．(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且·＞2，求k的取值范圍．【解析】(1)設(shè)雙曲線C2的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故雙曲線C2的方程為－y2＝1.(2)將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得所以k2＜1且k2≠.①設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.又因?yàn)?/span>·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，所以＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②由①②得＜k2＜1，故k的取值范圍為∪.