二十六　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程　　　　　　　　　　　　　　(15分鐘　30分)1．已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝ax，則其焦點坐標(biāo)為(　　)A．        B．C．       D．【解析】選A.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝ax，則其焦點坐標(biāo)為.2．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　)A．y＝－1　    B．y＝－2　    C．x＝－1　    D．x＝－2【解析】選A.因為y＝x2，所以x2＝4y，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝－1.3．點M(5，3)到拋物線y＝ax2準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是　(　　)A．y＝12x2　      B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2　     D．y＝x2或y＝－x2【解析】選D.分兩類a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.4．O為坐標(biāo)原點，F為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　)A．2    B．2    C．2    D．4【解析】選C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點F(，0)，由|PF|＝4及拋物線的定義知，P點的橫坐標(biāo)xP＝3，從而yP＝±2，所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.5．拋物線拱橋離水面3 m，水面寬12 m，水位下降1 m后，水面寬為多少？【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則拋物線方程可假設(shè)為：x2＝－2py(p>0)，因為拋物線拱橋離水面3米，水面寬12米，所以將代入拋物線方程可得36＝6p，所以p＝6，所以拋物線方程為x2＝－12y.如果水面下降1 m，則令y＝－4，得x＝±4，所以水面寬8 m.　　　　　　　　　　　　　　(30分鐘　60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．已知曲線E的方程為ax2＋by2＝ab(a，b∈R)，則下列選項錯誤的是(　　)A．當(dāng)ab＝1時，E一定是橢圓B．當(dāng)ab＝－1時，E是雙曲線C．當(dāng)a＝b＞0時，E是圓D．當(dāng)ab＝0且a2＋b2≠0時，E是直線【解析】選A.A：若ab＝1，假設(shè)a＝b＝1，則方程為x2＋y2＝1，不是橢圓，所以A錯誤；B：當(dāng)ab＝－1時，因為a≠0，b≠0，所以方程為：ax2－y2＝－1，即－ax2＝1，則E表示雙曲線，所以B正確；C：當(dāng)a＝b＞0時，方程為：x2＋y2＝a(a＞0)表示圓，所以C正確；D：當(dāng)ab＝0且a2＋b2≠0時，即 a＝0，b≠0，方程為：y＝0，則E是直線；同理b＝0，a≠0，則方程為：x＝0，所以E表示直線，所以D正確．2．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F，其準(zhǔn)線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝(　　)A．3    B．4    C．6    D．8【解析】選C.如圖，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，所以B點坐標(biāo)為，又點B在雙曲線上，故－＝1，解得p＝6.3．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)A．n＋10    B．n＋20    C．2n＋10    D．2n＋20【解析】選A.由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點為(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.4．設(shè)點A(4，5)，拋物線x2＝8y的焦點為F，P為拋物線上與直線AF不共線的一點，則△PAF周長的最小值為(　　)A．18      B．13      C．12      D．7【解析】選C.因為拋物線x2＝8y，故焦點F，準(zhǔn)線方程為：y＝－2，過點P作PP1垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點P1，過點A作AA1垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點A1，根據(jù)拋物線的定義可知＝，因為A，所以＝＝5，＝5－＝7，C△PAF＝＋＋＝＋＋≥＋＝5＋7＝12.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．(2020·沈陽高二檢測)已知拋物線y2＝2px上一點M到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6，則p的值可取(　　)A．1    B．2    C．9    D．18【解析】選BD.設(shè)M(x0，y0)，所以有y＝2px0，由點M到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6，所以有x0＋＝10，＝6，所以有可得p2－20p＋36＝0，故p＝2或p＝18.6．(2020·三亞高二檢測)已知雙曲線－＝1的右焦點與拋物線y2＝12x的焦點F重合，則(　　)A．雙曲線的實軸長為2B．雙曲線的離心率為3C．雙曲線的漸近線方程為y＝±xD．F到漸近線的距離為【解析】選CD.拋物線y2＝12x的焦點F，故4＋b2＝32，b2＝5，故雙曲線方程為－＝1，雙曲線的實軸長為2a＝4，A錯誤；雙曲線的離心率為e＝＝，B錯誤；雙曲線的漸近線方程為y＝±x，C正確；F到漸近線的距離為d＝＝，D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．以橢圓＋＝1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【解析】因為橢圓的方程為＋＝1，所以右頂點為(4，0).設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，則＝4，即p＝8，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x.答案：y2＝16x8．(2020·平羅高二檢測)拋物線y2＝2px上一點M的橫坐標(biāo)為3，且＝2p，則拋物線的方程為________．【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為：x＝－，所以＝3＋＝2p，解得p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x.答案：y2＝4x四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知拋物線y2＝2x的焦點為F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此時P點的坐標(biāo)．【解析】將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±.因為＞2，所以A在拋物線內(nèi)部．設(shè)拋物線上動點P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d，由拋物線的定義，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.當(dāng)PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為，即|PA|＋|PF|的最小值為，此時P點的縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，所以P點的坐標(biāo)為(2，2).10．如圖所示，拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O，焦點F在y軸上，準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切．(1)求拋物線C的方程．(2)若點A，B都在拋物線C上，且＝2，求點A的坐標(biāo)．【解析】(1)依題意，可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，其準(zhǔn)線l的方程為y＝－.因為準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切，所以圓心(0，0)到準(zhǔn)線l的距離d＝0－＝1，解得p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由題意得F(0，1)，所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，因為＝2，所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)，即代入②得4x＝8y1＋4，即x＝2y1＋1，又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，解得y1＝，x1＝±，即點A的坐標(biāo)為或.【創(chuàng)新遷移】1．已知P為拋物線y2＝4x上的任意一點，記點P到y軸的距離為d，對于定點A(4，5)，|PA|＋d的最小值為________．【解析】拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線l：x＝－1.由題意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝－1＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F三點共線時，|PA|＋d取得最小值－1.答案：－12．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的一點M到定點A和焦點F的距離之和的最小值等于5，求拋物線的方程．【解析】拋物線的準(zhǔn)線為l：x＝－.①當(dāng)點A在拋物線內(nèi)部時，42＜2p·，即p＞時，過M作MA′⊥l，垂足為A′，則|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.當(dāng)A，M，A′共線時，(|MF|＋|MA|)min＝5，即＋＝5，所以p＝3，滿足p＞，所以拋物線方程為y2＝6x.②當(dāng)點A在拋物線外部時，42＞2p·，即p＜時，|MF|＋|MA|≥|AF|，當(dāng)A，M，F共線時取等號，|AF|＝5，即＝5，所以p＝1或p＝13(舍)，所以拋物線方程為y2＝2x.③當(dāng)點A在拋物線上，即p＝時，結(jié)合②明顯不成立．綜上，拋物線方程為y2＝6x或y2＝2x.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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