?二十八　拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用

　　　　　　　　　　　　　　(15分鐘　30分)
1．過點P(0，1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有(　　)
A．4條　 B．3條　 C．2條　 D．1條
【解析】選B.當(dāng)直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條；當(dāng)直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條．
2．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(　　)
A．2x－y＋3＝0　 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0　 D．2x－y－1＝0
【解析】選D.設(shè)切線方程為2x－y＋m＝0，與y＝x2聯(lián)立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，
即切線方程為2x－y－1＝0.
3．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　)
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
【解析】選B.因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性，知直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°.
由方程組得或所以易得A，B兩點的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，－2p).
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
4．(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p＞0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標(biāo)為(　　)
A． B．
C．(1，0) D．(2，0)
【解析】選B.將x＝2代入y2＝2px(p＞0)得y＝±2，由OD⊥OE得kOD·kOE＝－1，即·＝－1，得p＝1，所以拋物線C：y2＝2x的焦點坐標(biāo)為.
5．若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合．
【解析】因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，
所以方程組有唯一一組實數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，
整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①
(1)當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時，原方程組有唯一解
(2)當(dāng)a＋1≠0，即a≠－1時，
方程①是關(guān)于x的一元二次方程．
令Δ＝[－(3a＋2)]2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，
解得a＝0或a＝－.
當(dāng)a＝0時，原方程組有唯一解
當(dāng)a＝－時，原方程組有唯一解.
綜上實數(shù)a的取值集合是.

　　　　　　　　　　　　　　(30分鐘　60分)
一、單選題(每小題5分，共20分)
1．若拋物線y2＝x上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋b對稱，且y1y2＝－1，則實數(shù)b的值為(　　)
A．－3　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．－2
【解析】選D.因為拋物線y2＝x上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋b對稱，所以＝－1，所以＝－1，所以y1＋y2＝－1.
因為y1y2＝－1，
所以x1＋x2＝y(tǒng)＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，
所以兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)中點坐標(biāo)為.代入y＝x＋b，可得b＝－2.
2．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，P到其準(zhǔn)線的距離為d，Q為圓C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上一個動點，d＋|PQ|的最小值是(　　)
A．5 B．4
C．2＋1 D．＋1
【解析】選B.點P是拋物線y2＝4x上的點，又點P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，點P到圓C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的動點Q的距離為|PQ|，
由拋物線定義知：點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點F的距離，如圖所示，連接圓心C與F，交圓于Q.
FC交拋物線的點即為使d＋|PQ|最小時P的位置，
所以d＋|PQ|的最小值為：|FC|－1，
因為C(－2，4)，F(xiàn)(1，0)，
所以|FC|＝＝5，|CQ|＝1，
所以d＋|PQ|的最小值為5－1＝4.

3．(2020·哈爾濱高二檢測)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于(　　)
A． B．3 C． D．2
【解析】選B.設(shè)點Q到l的距離為d，則|QF|＝d.
因為＝4，所以|PQ|＝3d.所以直線PF的斜率為－＝－2.因為F(2，0)，所以直線PF的方程為y＝－2(x－2)，與y2＝8x聯(lián)立，得x＝1，x＝4(舍)，所以Q點橫坐標(biāo)為1，所以|QF|＝d＝1＋2＝3.
4．(2020·合肥高二檢測)已知直線l與拋物線x2＝4y交于A，B兩點，·＝0(其中O為坐標(biāo)原點).若＝＋，則直線OP的斜率的取值范圍是(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
【解析】選D.如圖，設(shè)A，B，
因為＝＋，則P，
又·＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋＝0，即x1x2＝－16，
設(shè)直線OP的斜率為k，則k＝＝＝＝＋，＝＋≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即＝4時等號成立，故k∈∪.
二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)
5．(2020·濟南高二檢測)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1，1)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．點P到拋物線焦點的距離為
B．過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q，則△OPQ的面積為
C．過點P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0
D．過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N點，則直線MN的斜率為定值
【解析】選BCD.因為拋物線C：y2＝2px過點P(1，1)，
所以p＝，所以拋物線方程為y2＝x，焦點坐標(biāo)為F，對于A，＝1＋＝，故A錯誤．對于B，kPF＝，
所以lPF：y＝，與y2＝x聯(lián)立得4y2－3y－1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以S△OPQ＝·＝××＝，故B正確．對于C，依題意知斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立得ky2－y＋1－k＝0，Δ＝1－4k＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，
所以切線方程為x－2y＋1＝0，故C正確．
對于D，依題意知斜率存在，設(shè)lPM：y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立得：ky2－y＋1－k＝0，
所以yM＋1＝，即yM＝－1，則xM＝2，
所以點M，
同理點N，
所以kMN＝＝＝－，故D正確．
6．已知拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線經(jīng)過點M，過C的焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．p＝2
B．＋的最小值為16
C．四邊形ADBE的面積的最小值為64
D．若直線l1的斜率為2，則∠AMB＝90°
【解析】選ABD.由題可知＝1，所以p＝2，故A正確．
設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為－.
設(shè)A，B，D，E，直線l1：y＝k，直線l2：y＝－.
聯(lián)立，消去y整理得k2x2－x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1.
所以＝x1＋x2＋p＝＋2＝4＋.
同理＝x3＋x4＋p＝＋2＝4＋4k2，
從而＋＝8＋4≥16，當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時等號成立，故B正確．
因為S四邊形ADBE＝·
＝8≥32＝32，當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時等號成立，故C錯誤．
·＝·＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－＋1，將x1＋x2＝3，x1x2＝1與y1＋y2＝2，y1y2＝－4代入上式，得·＝0，所以∠AMB＝90°，故D正確．
三、填空題(每小題5分，共10分)
7．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是______．
【解析】由拋物線定義知P到準(zhǔn)線l2：x＝－1的距離等于它到焦點(1，0)的距離，所以P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于焦點到l1的距離d＝＝2.
答案：2
8．(2018·全國Ⅲ卷)已知點M和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________．
【解析】由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點F的坐標(biāo)為(1，0)，所以直線AB的方程為y＝k(x－1)，
由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，
因為∠AMB＝90°，
所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
整理可解得k＝2.
答案：2
四、解答題(每小題10分，共20分)
9．(2020·全國Ⅱ卷)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的離心率；
(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】(1)因為F是橢圓C1的右焦點，且AB⊥x軸，
所以F(c，0)，直線AB的方程為x＝c，
聯(lián)立，得＝1－＝，又因為
a2＝b2＋c2，所以y2＝2，解得y＝±，
則|AB|＝，
因為點F(c，0)是拋物線C2的焦點，所以拋物線C2的方程為y2＝4cx，聯(lián)立，解得，
所以|CD|＝4c，因為|CD|＝|AB|，即4c＝，2b2＝3ac，即2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，

因為0

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3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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